Samenvatting Uitwerking van CE/SE stof wiskunde B VWO

Wiskunde B CE

Domein B: Functies, grafieken en vergelijkingen
Product
Een functie van de vorm f ( x)=p (x)⋅q( x)heet een productfunctie.
● De nulpunten van f kun je berekenen door op te lossen: p( x )=0 of q ( x)=0

Bij het oplossen van vergelijkingen waarin en wortelvorm voorkomt of bij logaritmische functies moet je
controleren of de oplossing voldoet.

Een productfunctie differentieer je met de productregel: f ' (x)=p ' (x) ⋅ q ( x)+ p( x )⋅ q ' (x)

Quotiënt
t( x )
Een functie van de vorm f ( x)= heet een quotiëntfunctie. Grafieken van quotiëntfuncties kunnen
n ( x)
asymptoten hebben.
● De verticale asymptoot vind je door de noemer gelijk te stellen aan 0. De teller mag dan niet
gelijk zijn aan 0.
Er geldt dan: lim ¿ f (x )=∞ of lim ¿ f (x )=−∞.
x→ a x→ a
● De limiet van f als x naar a nadert, is oneindig of min oneindig.

● De horizontale asymptoot vind je door x → +/- oneindig. Deel door de hoogste macht van x in de
noemer en teller.
Er geldt dan: lim ¿ f (x)=c of lim ¿ f ( x)=c .
x→ ∞ x→−∞
● De limiet van f als x naar oneindig of min oneindig nadert, is gelijk aan c.


Om lim ¿ f (x) of lim ¿ f (x) exact te berekenen moet je de teller en noemer door de hoogste macht van
x→ ∞ x→−∞
x delen die in de noemer voorkomt.

● De nulpunten vindt door de teller gelijk te stellen aan 0. de noemer mag dan niet gelijk zijn aan
0.

t ' ⋅ n−t ⋅ n'
Een quotiëntfunctie differentieer je met de quotiëntregel: f ' (x)=
n2
● De teller werk je zo ver mogelijk uit, het kwadraat in de noemer hoef je in het algemeen niet uit te
werken.

Maak altijd een schets van de grafiek omdat bij de verticale asymptoot niet alle mogelijke antwoorden
hoeven te kloppen. Let bij deze schets op dat je de asymptoten stippelt en formule erbij zet.

Exponentiële functies
N (t )=b ⋅ g xis een exponentiële functie.
● De grafiek van een exponentiële functie met b > 0, is stijgend als g > 1 en dalend als 0 < g < 1.
● De grafiek gaat door het punt (0,b) op de verticale as.
● De grafiek heeft de x-as, met vergelijking y=0, als horizontale asymptoot.
● Het domein van f =🇷
● Het bereik van f = ( 0 , → )

, g log [ g]=1
g log [ 1]=0
g log ¿
glog [g n]=n

Standaardfuncties
● f ( x)=c ● f (x)=x
● f ( x)=x ² ● f (x)=xn
1 ● f (x)=√ ❑ met minimum want domein ≥ 0. Altijd controleren!
● f ( x)=
x ● f ( x)=cos(x )
● f ( x)=sin( x) ● f (x)=g log ( x)
● f ( x)=g x


Rekenregels
A² = B^2 dan A = B of A = -B
A x B = A x C dan B = C of A = nul

Ongelijkheden
3-stappenplan: vergelijking oplossen, schetsen, controleren

Overige
x y
+ =1 met [p,0] en [0,q}
p q
loodrecht: factor van richtingscoëfficiënten = -1 of bij vectoren [p / q] en [q / -p]
afhankelijk 0 x y = 0. Oneindig veel oplossingen.
strijdig 0 x y ≠ 0. Dus geen oplossingen.

Raken
Twee grafieken raken elkaar als f’[x] = g’[x] en f[x] = g[x]

Transformaties




Absolute waarde
De absolute waarde van x (lxl) is de afstand van een getal x tot 0. Dit heeft als gevolg voor grafieken dat
delen die normaal gesproken onder de x-as liggen gespiegeld worden in de x-as. Op plekken waar de
normale formule onder de x-as zou liggen is dan vermenivuldigd met -.

, De toppen van een absolute waarde zijn de toppen van de grafiek zonder absolute waarde strepen en de
nulpunten van de grafiek zonder absolute waarde strepen op y=0. (opg.10)

1. Onderzoek de nulpunten van de uitdrukking tussen de absolute waarde-strepen.
2. Plot hetgeen van de functie met absolute waarde-strepen, nu zonder absolute waarde strepen en
kijk waar de grafiek negatief is. Dus alleen hetgeen tussen haakjes.

Let op dat je bij absolute waarde zonder absolute waarden schrijven, je maar bij een = mag doen. Dus niet
dat = bij de twee verschillende voorkomt.
● Absolute waarde strepen in GR vindt bij numeric → ab
● Gebruik

Als de grafiek van een functie een knik vertoont in het punt met x = a, dan kun je de richtingscoëfficiënten
van de raaklijnen aan de twee delen van de grafiek bij x = a bereken. Zijn die twee richtingscoëfficiënten
verschillend van teken, dan is er een extreme waarde voor x = a. Twee verschillende raaklijnen ontstaan door
absolute waarde-strepen.

Inverse functies
❑
de grafiek f ivn inv is de beeldgrafiek van f(x) gespiegeld in de lijn y = x. De inverse van y = f(x) kan
algebraïsch gevonden worden door x en y om te wisselen, en vervolgens de functie weer te schrijven
waarbij y geschreven is als functie van x.

Oppervlakte
oppervlakte driehoek A = ½ x basis x hoogte
oppervlakte cirkel A = pi x straal^2

Extreme waarden en buigpunten
Extreme waarden kun je vinden:
● Afgeleide gelijk stellen aan 0
● Randen van domein of bereik
● Een knik
● Verticale asymptoot

Er is sprake van een maximum als de grafiek overgaat van stijgen naar dalen. Het is een minimum als de
grafiek overgaat van dalen naar stijgen. Noteer je als: min f{2] = b.
Bij het buigpunt gaat een grafiek over van afnemend stijgend/dalend naar toenemend stijgend/dalend.
Het is mogelijk dat er een buigpunt hoewel f’’[x] ≠ 0 en andersom.

Scheve asymptoten
Zodra x → ∞ of x →−∞ kan een functie een scheve asymptoot hebben met de vergelijking y=ax+ b
a=lim f ' ( x)
x→∞

b=lim ( f ( x )−ax )
x→∞


Maar het is makkelijker om de quotiëntfunctie met staartdeling te berekenen, dan hiervan het limiet te
nemen [let op de breuk wordt dan = 0, want alleen bij een breuk kan je delen door de grootste macht, bij