UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS MATERIA: CÁLCULO I (MAT101)
FACULTAD DE INGENIERÍA GRUPO: F
CURSO BÁSICO AUXILIAR: UNIV. ROCHA JAUREGUI DAVID
SEMESTRE II - 2022
FORMULARIO
2º PARCIAL
DERIVADAS
NOTACIÓN DE LA DERIVADA
𝒅𝒚
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥): La derivada puede escribirse como: 𝒚′ , 𝒅𝒙 , 𝒇′ (𝒙), 𝑫𝒇(𝒙), 𝒚̇ , 𝒚(𝟏) entre otros
LÍMITES NOTABLES
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒂𝒙 − 𝟏 𝟏
𝐥𝐢𝐦 =𝟏 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐧 𝒂 𝐥𝐢𝐦(𝟏 + 𝒙)𝒙 = 𝒆
𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 𝒆𝒙 − 𝟏 𝟏 𝒙
𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 =𝟏 𝐥𝐢𝐦 (𝟏 + ) = 𝒆
𝒙→𝟎 𝒙𝟐 𝟐 𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙
DERIVADA POR DEFINICIÓN
𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥): La derivada por definición es: 𝒇′ (𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎 𝒉
TABLAS DE DERIVACIÓN (Sea: 𝑢 = 𝑓(𝑥 ), 𝑣 = 𝑔(𝑥 ); 𝑎, 𝑏, 𝑛 → 𝑐𝑡𝑡𝑒𝑠.)
𝒚 = 𝒂 → 𝒚′ = 𝟎 𝒚 = 𝐜𝐬𝐜 𝒖 → 𝒚′ = − 𝐜𝐬𝐜 𝒖 𝐜𝐭𝐠 𝒖 𝒖′
′
𝒚 = 𝒂𝒖 → 𝒚 = 𝒂𝒖′ 𝒚 = 𝐜𝐭𝐠 𝒖 → 𝒚′ = − 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝒖 ∙ 𝒖′
𝒚 = 𝒂𝒖 ± 𝒃𝒗 ± ⋯ → 𝒚′ = 𝒂𝒖′ ± 𝒃𝒗′ ± ⋯ 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒖 → 𝒚′ = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒖 ∙ 𝒖′
𝒚 = 𝒖𝒗 → 𝒚′ = 𝒖′𝒗 + 𝒖𝒗′ 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒖 → 𝒚′ = −𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒖 ∙ 𝒖′
′
𝒖
𝒚 = → 𝒚′ =
𝒖 𝒗−𝒖𝒗′ 𝒚 = 𝐭𝐠𝐡 𝒖 → 𝒚′ = 𝐬𝐞𝐜𝐡𝟐 𝒖 ∙ 𝒖′
𝒗 𝒗𝟐
𝒚 = 𝒖 → 𝒚 = 𝒏𝒖𝒏−𝟏 ∙ 𝒖′
𝒏 ′ 𝒚 = 𝐬𝐞𝐜𝐡 𝒖 → 𝒚′ = 𝐬𝐞𝐜𝐡 𝒖 𝐭𝐠𝐡 𝒖 ∙ 𝒖′
𝒚 = 𝒂𝒖 → 𝒚′ = 𝒂𝒖 𝐥𝐧 𝒂 ∙ 𝒖′ 𝒚 = 𝐜𝐬𝐜𝐡 𝒖 → 𝒚′ = − 𝐜𝐬𝐜𝐡 𝒖 𝐜𝐭𝐠𝐡 𝒖 ∙ 𝒖′
𝒗
𝒚 = 𝒖𝒗 → 𝒚′ = 𝒖𝒗 (𝒖 𝒖′ + 𝒗′ 𝐥𝐧 𝒖) 𝒚 = 𝐜𝐭𝐠𝐡 𝒖 → 𝒚′ = − 𝐜𝐬𝐜𝐡𝟐 𝒖 ∙ 𝒖′
𝒚 = 𝒆𝒖 → 𝒚′ = 𝒆𝒖 ∙ 𝒖′ 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒖 → 𝒚′ =
𝟏
∙ 𝒖′
√𝟏−𝒖𝟐
𝟏 𝟏
𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒖 → 𝒚′ = 𝒖 𝐥𝐧 𝒂 ∙ 𝒖′ 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒖 → 𝒚′ = − ∙ 𝒖′
√𝟏−𝒖𝟐
𝟏 𝟏
𝒚 = 𝐥𝐧 𝒖 → 𝒚′ = 𝒖 ∙ 𝒖′ 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 𝒖 → 𝒚′ = 𝟏+𝒖𝟐 ∙ 𝒖′
𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒖 → 𝒚′ = 𝐜𝐨𝐬 𝒖 ∙ 𝒖′ 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐜 𝒖 → 𝒚′ =
𝟏
∙ 𝒖′
𝒖∙√𝒖𝟐−𝟏
𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒖 → 𝒚′ = − 𝐬𝐢𝐧 𝒖 ∙ 𝒖′ 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐬𝐜 𝒖 → 𝒚′ = −
𝟏
∙ 𝒖′
𝒖∙√𝒖𝟐−𝟏
𝒚 = 𝐭𝐠 𝒖 → 𝒚′ = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒖 ∙ 𝒖′ 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐭𝐠 𝒖 → 𝒚′ = − 𝟏+𝒖𝟐 ∙ 𝒖′
𝟏
𝒖
𝒚 = 𝐬𝐞𝐜 𝒖 → 𝒚′ = 𝐬𝐞𝐜 𝒖 ∙ 𝐭𝐠 𝒖 ∙ 𝒖′ 𝒚 = |𝒖| → 𝒚′ = |𝒖| ∙ 𝒖′
DERIVADAS N-SIMAS
La derivada n-sima de un producto por Leibniz es: 𝒚(𝒏) = (𝒖𝒗)(𝒏) = ∑𝒏𝒌=𝟎(𝒏𝒌)𝒖(𝒏−𝒌)𝒗(𝒌)
𝝅𝒏
𝒚 = 𝒆𝒂𝒙 → 𝒚(𝒏) = 𝒂𝒏 𝒆𝒂𝒙 𝒚 = 𝐥𝐧 𝒙 → 𝒚′ = (−𝟏)𝒏−𝟏 (𝒏−𝟏)! 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙) → 𝒚′ = 𝒂𝒏 𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙 + )
𝒙𝒏 𝟐
𝒙 ′ 𝒏 𝒙 ′ 𝒏 𝝅𝒏
𝒚 = 𝒂 → 𝒚 = 𝐥𝐧 𝒂 ∙ 𝒂 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒂𝒙) → 𝒚 = 𝒂 𝐜𝐨𝐬(𝒂𝒙 + )
𝟐
RELACIONES IMPORTANTES
Si 𝒙 = 𝒇(𝒚)
𝒅𝒚
=
𝟏 𝒚 = 𝒇(𝒖) 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒖
𝒅𝒙 𝒅𝒙 Si { = 𝒅𝒖 ∙ 𝒅𝒙
𝒅𝒚 𝒖 = 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙
𝒙 = 𝒇(𝒕)
DERIVADAS PARAMÉTRICAS (Teniendo como función paramétrica a { )
𝒚 = 𝒈(𝒕)
UNIV. ROCHA JAUREGUI DAVID CÁLCULO I MAT101 1
FACULTAD DE INGENIERÍA GRUPO: F
CURSO BÁSICO AUXILIAR: UNIV. ROCHA JAUREGUI DAVID
SEMESTRE II - 2022
FORMULARIO
2º PARCIAL
DERIVADAS
NOTACIÓN DE LA DERIVADA
𝒅𝒚
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥): La derivada puede escribirse como: 𝒚′ , 𝒅𝒙 , 𝒇′ (𝒙), 𝑫𝒇(𝒙), 𝒚̇ , 𝒚(𝟏) entre otros
LÍMITES NOTABLES
𝐬𝐢𝐧 𝒙 𝒂𝒙 − 𝟏 𝟏
𝐥𝐢𝐦 =𝟏 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐧 𝒂 𝐥𝐢𝐦(𝟏 + 𝒙)𝒙 = 𝒆
𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝟏 𝒆𝒙 − 𝟏 𝟏 𝒙
𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 =𝟏 𝐥𝐢𝐦 (𝟏 + ) = 𝒆
𝒙→𝟎 𝒙𝟐 𝟐 𝒙→𝟎 𝒙 𝒙→𝟎 𝒙
DERIVADA POR DEFINICIÓN
𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥): La derivada por definición es: 𝒇′ (𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎 𝒉
TABLAS DE DERIVACIÓN (Sea: 𝑢 = 𝑓(𝑥 ), 𝑣 = 𝑔(𝑥 ); 𝑎, 𝑏, 𝑛 → 𝑐𝑡𝑡𝑒𝑠.)
𝒚 = 𝒂 → 𝒚′ = 𝟎 𝒚 = 𝐜𝐬𝐜 𝒖 → 𝒚′ = − 𝐜𝐬𝐜 𝒖 𝐜𝐭𝐠 𝒖 𝒖′
′
𝒚 = 𝒂𝒖 → 𝒚 = 𝒂𝒖′ 𝒚 = 𝐜𝐭𝐠 𝒖 → 𝒚′ = − 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝒖 ∙ 𝒖′
𝒚 = 𝒂𝒖 ± 𝒃𝒗 ± ⋯ → 𝒚′ = 𝒂𝒖′ ± 𝒃𝒗′ ± ⋯ 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒖 → 𝒚′ = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒖 ∙ 𝒖′
𝒚 = 𝒖𝒗 → 𝒚′ = 𝒖′𝒗 + 𝒖𝒗′ 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒖 → 𝒚′ = −𝐬𝐢𝐧𝐡 𝒖 ∙ 𝒖′
′
𝒖
𝒚 = → 𝒚′ =
𝒖 𝒗−𝒖𝒗′ 𝒚 = 𝐭𝐠𝐡 𝒖 → 𝒚′ = 𝐬𝐞𝐜𝐡𝟐 𝒖 ∙ 𝒖′
𝒗 𝒗𝟐
𝒚 = 𝒖 → 𝒚 = 𝒏𝒖𝒏−𝟏 ∙ 𝒖′
𝒏 ′ 𝒚 = 𝐬𝐞𝐜𝐡 𝒖 → 𝒚′ = 𝐬𝐞𝐜𝐡 𝒖 𝐭𝐠𝐡 𝒖 ∙ 𝒖′
𝒚 = 𝒂𝒖 → 𝒚′ = 𝒂𝒖 𝐥𝐧 𝒂 ∙ 𝒖′ 𝒚 = 𝐜𝐬𝐜𝐡 𝒖 → 𝒚′ = − 𝐜𝐬𝐜𝐡 𝒖 𝐜𝐭𝐠𝐡 𝒖 ∙ 𝒖′
𝒗
𝒚 = 𝒖𝒗 → 𝒚′ = 𝒖𝒗 (𝒖 𝒖′ + 𝒗′ 𝐥𝐧 𝒖) 𝒚 = 𝐜𝐭𝐠𝐡 𝒖 → 𝒚′ = − 𝐜𝐬𝐜𝐡𝟐 𝒖 ∙ 𝒖′
𝒚 = 𝒆𝒖 → 𝒚′ = 𝒆𝒖 ∙ 𝒖′ 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐢𝐧 𝒖 → 𝒚′ =
𝟏
∙ 𝒖′
√𝟏−𝒖𝟐
𝟏 𝟏
𝒚 = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒖 → 𝒚′ = 𝒖 𝐥𝐧 𝒂 ∙ 𝒖′ 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝒖 → 𝒚′ = − ∙ 𝒖′
√𝟏−𝒖𝟐
𝟏 𝟏
𝒚 = 𝐥𝐧 𝒖 → 𝒚′ = 𝒖 ∙ 𝒖′ 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠 𝒖 → 𝒚′ = 𝟏+𝒖𝟐 ∙ 𝒖′
𝒚 = 𝐬𝐢𝐧 𝒖 → 𝒚′ = 𝐜𝐨𝐬 𝒖 ∙ 𝒖′ 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐜 𝒖 → 𝒚′ =
𝟏
∙ 𝒖′
𝒖∙√𝒖𝟐−𝟏
𝒚 = 𝐜𝐨𝐬 𝒖 → 𝒚′ = − 𝐬𝐢𝐧 𝒖 ∙ 𝒖′ 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐬𝐜 𝒖 → 𝒚′ = −
𝟏
∙ 𝒖′
𝒖∙√𝒖𝟐−𝟏
𝒚 = 𝐭𝐠 𝒖 → 𝒚′ = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒖 ∙ 𝒖′ 𝒚 = 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐭𝐠 𝒖 → 𝒚′ = − 𝟏+𝒖𝟐 ∙ 𝒖′
𝟏
𝒖
𝒚 = 𝐬𝐞𝐜 𝒖 → 𝒚′ = 𝐬𝐞𝐜 𝒖 ∙ 𝐭𝐠 𝒖 ∙ 𝒖′ 𝒚 = |𝒖| → 𝒚′ = |𝒖| ∙ 𝒖′
DERIVADAS N-SIMAS
La derivada n-sima de un producto por Leibniz es: 𝒚(𝒏) = (𝒖𝒗)(𝒏) = ∑𝒏𝒌=𝟎(𝒏𝒌)𝒖(𝒏−𝒌)𝒗(𝒌)
𝝅𝒏
𝒚 = 𝒆𝒂𝒙 → 𝒚(𝒏) = 𝒂𝒏 𝒆𝒂𝒙 𝒚 = 𝐥𝐧 𝒙 → 𝒚′ = (−𝟏)𝒏−𝟏 (𝒏−𝟏)! 𝒚 = 𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙) → 𝒚′ = 𝒂𝒏 𝐬𝐢𝐧(𝒂𝒙 + )
𝒙𝒏 𝟐
𝒙 ′ 𝒏 𝒙 ′ 𝒏 𝝅𝒏
𝒚 = 𝒂 → 𝒚 = 𝐥𝐧 𝒂 ∙ 𝒂 𝒚 = 𝐜𝐨𝐬(𝒂𝒙) → 𝒚 = 𝒂 𝐜𝐨𝐬(𝒂𝒙 + )
𝟐
RELACIONES IMPORTANTES
Si 𝒙 = 𝒇(𝒚)
𝒅𝒚
=
𝟏 𝒚 = 𝒇(𝒖) 𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒅𝒖
𝒅𝒙 𝒅𝒙 Si { = 𝒅𝒖 ∙ 𝒅𝒙
𝒅𝒚 𝒖 = 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙
𝒙 = 𝒇(𝒕)
DERIVADAS PARAMÉTRICAS (Teniendo como función paramétrica a { )
𝒚 = 𝒈(𝒕)
UNIV. ROCHA JAUREGUI DAVID CÁLCULO I MAT101 1
