Samenvatting - Wiskunde voor Bedrijfskunde (E_BK1_WISB)

Wiskunde voor bedrijfskunde – Tentamenstof
Hoorcollege 1A – Sommen en producten

Sommatie-operator

De sommatieoperator ziet er als volgt uit:
"

! 𝑥!
!#$
en wordt als volgt gede3inieerd:
"

! 𝑥! = 𝑥$ + 𝑋$&' + ⋯ + 𝑥"(' + 𝑥"
!#$
∑ is de Griekse hoo3letter sigma. De sommatie wordt uitgesproken als ‘som van
𝑖 is 𝑚 tot 𝑛 van 𝑥! ’. De 𝑖 geeft een index aan. Het indexsymbool is willekeurig, dus kan ook
een 𝑖, 𝑗 of 𝑘 zijn.

Voorbeeld 1:
Neem 𝑥! = 𝑖, 𝑚 = 1 en 𝑛 = 10:
" ')

! 𝑥! = ! 𝑖 = 1 + 2 + ⋯ + 10 = 55
!# $ !#'



Voorbeeld 2:
Neem 𝑥! = 2 (geldt voor alle 𝑖), 𝑚 = 0, en 𝑛 = 10:
" ')

! 𝑥! = ! 2 = 2 + 2 + ⋯ + 2 = 22
!#$ !#)

Let op! Het zijn 11 termen, want de telling begint bij 0.


Er zijn twee soorten sommatie:
- Incline form:
"
! 𝑥!
!#'
- Display form:
"

! 𝑥!
!#'

Eigenschappen van een sommatie

, • Additivititeit: ∑(𝑥! + 𝑦! ) = ∑ 𝑥! + ∑ 𝑦! ß belangrijk
• Homogeniteit: ∑ 𝑐𝑥! = 𝑐 ∑ 𝑥! ß belangrijk
• Uitbreiding: ∑"!#' 𝑥! + ∑"&$ "&$
!#"&' 𝑥! = ∑!#' 𝑥!
• Contante term (zie voorbeeld 2): ∑"!#' 𝑐 = 𝑛𝑐
• Telescopisch: ∑"!#' 𝑥! − 𝑥!(' = 𝑥" − 𝑥)

Voorbeeld 3:
Gegeven:
𝑥! = 2𝑦! + 1
En:
*

! 𝑦! = 11
!#'
Vind:
*

!(𝑥! + 2)
!#'


Uitwerking:
*
! (2𝑦' + 1 + 2)
!#'

*
! (2𝑦' + 3)
!#'

* *
! (2𝑦') + ! 3
!#' !#'

*
! 2𝑦' + 9
!#'

*

2 E! 𝑦! F + 9
!#'

2 × 11 + 9 = 31


Dubbele sommatie

Een sommatie kan ook meerdere indexen hebben, het kan er dan zo uit zien: verkoop!,-

De dubbele sommatie ziet er als volgt uit:
" $

! ! 𝑥!- = HIIIJIIIK
𝑥'' + ⋯ + 𝑥'$ + HIIIJIIIK
𝑥.' + ⋯ + 2$ + ⋯ + HI
𝑥"'II
+IJI
⋯ +II
𝑥IK
"$
!#' -#' !#' !#. !#"

,Let op! Je rekent eerst de binnenste som uit.

Voorbeeld 4:
Neem 𝑥!- = 𝑖 + 2𝑗 en 𝑛 = 4 en 𝑚 = 3.
/ *

(1 + 2) + (1 + 4) + (1 + 6) + HIIIIIIIIJIIIIIIIIK
! ! 𝑖 + 2𝑗 = HIIIIIIIIJIIIIIIIIK (2 + 2) + (2 + 4) + (2 + 6)
!#' -#' !#' !#.
(3 + 2) + (3 + 4) + (3 + 6) + HIIIIIIIIJIIIIIIIIK
+ HIIIIIIIIJIIIIIIIIK (4 + 2) + (4 + 4) + (4 + 6) = 78
!#* !#/

Product-operator

De product-operator ∏ kan als volgt worden gede3inieerd:
"

R 𝑥! = 𝑥$ × 𝑥$&' × … ×𝑥"(' × 𝑥"
!#$
∏ is de Griekse hoofdletter pi.

Let op! Je werkt met sommaties en product-operator van binnen naar buiten.
Let op! Als je een dubbele sommatie hebt en de product-operator voor staat dan doe je plus
binnen de haakjes en vermenigvuldig je buiten de haakjes. Als de sommatie-operator voor
staat, vermenigvuldig je in de haakjes en tel je op buiten de haakjes. Zie voorbeeld 7.

Voorbeeld 5:
Neem 𝑥! = 1, 𝑚 = 1 en 𝑛 = 10.
')

R 𝑖 = 1 × 2 × 3 × … × 10 = 10! = 3628800
!#'



Voorbeeld 6:
Neem 𝑥! = 2, 𝑚 = 0 en 𝑛 = 10.
')

R 2 = 2 × 2 × 2 … × 2 = 2'' = 2048
!#)



Eigenschappen van een product-operator
• Uitbreiding: ∏"!#' 𝑥! × ∏"&$ "&$
!#"&' 𝑥! = ∏!#' 𝑥!
• Constante term: ∏"!#' 𝑐𝑥! = 𝑐 " ∏"!#' 𝑥!

Voorbeeld 7:

Vind:

, . "
R ! 𝑗
"#' -#'


Uitwerking:

U × (1
(1)( HIJ+I2)
K=3
"#' !#.



Voorbeeld 8:
Druk deze som uit in sommatie notatie:

𝑎!' 𝑏'- + 𝑎!. 𝑏.- + ⋯ + 𝑎!" 𝑏"-

Uitwerking:
"

! 𝑎!0 𝑏0-
0#'



Voorbeeld 9:
Werk de volgende som uit en bereken de uitkomst:
. /
𝑟𝑠 .
!!X [
𝑟+𝑠
2#) 1#.
Uitwerking:
0 . 0 . 0 . 2 . 3 . 4 . 4 . 6 . 8 .
\] ^ + ] ^ + ] ^ _ + \] ^ + ] ^ + ] ^ _ + \] ^ + ] ^ + ] ^ _
2 3 4 3 4 5 4 5 6
Dit geeft:
4 9 16 36 64 3113
`(0 + 0 + 0)a + b] ^ + ] ^ + ] ^c + b1 + ] ^ + ] ^c = 5 ] ^
9 16 25 25 36 3600