Dit is een samenvatting uit de boeken ‘Rekenen en Wiskunde – Uitgelegd’
en ‘Rekenen en Wiskunde – Didactiek’. Er is specifiek samengevat uit het
boek. De volgende delen zijn samengevat en uitgelegd:
Rekenen en wiskunde Didaktiek Rekenen en wiskunde Uitgelegd
3.1 1.2.1 Talstelsels
3.2.1 tot 3.2.4 1.2.2 Contexten en modellen
3.3.1 en 3.3.2 1.2.3 Eigenschappen van de bewerkingen
4.1 1.2.4 Kenmerken van deelbaarheid
4.2 1.2.5 Volgorde van de bewerkingen
4.3.1 en 4.3.2 1.2.6 Cijferen en schatten
5.1 1.2.7 De rekenmachine
5.2 1.3.1 Talstelsels + octaal stelsel
5.3.1 en 5.3.2 (excl. Hexadecimaal en optellen/aftrekken)
1.3.4 Deelbaarheid door 3 en 9
1.3.7 Priemgetallen
1.3.9 Negatieve getallen
1.3.11 Ontbinden in factoren
1.3.15 Grote getallen en wetenschappelijke notatie
,Rekenen samenvatting
(Eigen kunnen = Blauw Didactiek = Rood)
Boek: ‘Rekenen en Wiskunde – uitgelegd’
Kenmerken van deelbaarheid (1.2.4)
Een getal is deelbaar door .. Als :
Een getal is deelbaar door 1 : Altijd deelbaar
Een getal is deelbaar door 2 : Het laatste cijfer eindigt op 0, 2, 4, 6, 8
Een getal is deelbaar door 3 : Je de cijfers los bij elkaar optelt, en dat deelbaar is door 3
Een getal is deelbaar door 4 : De laatste 2 cijfers (die samen een getal zijn) deelbaar is door 4
Een getal is deelbaar door 5 : Het laatste cijfer eindigt op 0 of 5
Een getal is deelbaar door 6 : Je de cijfers los bij elkaar optelt, en dat deelbaar is door 6 en het laatste cijfer
even is. (1368 is deelbaar, want 1+3+6+8 = 18 = deelbaar door 6, en 8 is even)
Een getal is deelbaar door 7 : Je het laatste cijfer weghaalt van het hele getal, vervolgens de rest van het
hele getal – 2 x het cijfer dat je eraf haalde doet. (364 = 36 – 2 x 4 = 21 = deelb.)
Een getal is deelbaar door 8 : De laatste 3 cijfers (die samen een getal zijn) deelbaar is door 8
Een getal is deelbaar door 9 : Je de cijfers los bij elkaar optelt, en dat deelbaar is door 9
Een getal is deelbaar door 10 : Het eindigt op 0
Driehoeks- vierkantsgetallen (1.3.2)
Regelmaat in getallen kun je krijgen door de getallen in een figuur te zetten (= figurale getallen):
Soort figurale getal Hoe je het berekent De eerste paar getallen: Voorbeeld
Driehoeksgetal Driehoekgetal formule = 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 Bereken het 8e driehoeksgetal:
(kun je in △ zetten) Dn = n x (n + 1) : 2 (N 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) - Dn = 8 x (8 + 1) : 2 = (72:2) = 36
Bereken de rang v driehoeksgetal 15:
- (N = 2 x Dn = .. = .. x (.. – 1) = N)
- N = 2 x 15 = 30 = 5 x (6 – 1) = 5
Vierkantsgetal Zijn kwadraten, formule = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 Bereken het 8e vierkantsgetal:
(kun je in ▢ zetten) Vn = n2 (= 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72) - V8 = 82 = 64
(of als je 2 opeenvolgende (= 1x1, 2x2, 3x3, 4x4, 5x5) Bereken de rang v vierkantsgetal 169:
driehoeksgetallen bij - N = √169 = 132
elkaar optelt)
Rechthoeksgetal Formule = 2, 6, 12, 20, 30, 42 Bereken het 8e rechthoeksgetal:
(kun je in ▭ zetten) Rn = n x (n + 1) (N 1, 2, 3, 4, 5, 6) - Rn = 8 x (8 + 1) = 72
Bereken de rang v driehoeksgetal 20:
- (N = .. x (.. – 1)
- N = 4 x (5 – 1) = 4
(n = de rij/de rang, basis, het aantal stippen op onderste rij v.d. figuur)
Priemgetallen (1.3.7)
- Priemgetallen zijn hele getallen (groter dan 1) die je alleen kan delen door 1 en zichzelf. Alle cijfers die je
dus door 2, 3, 5 en 7 kan delen, zijn geen priemgetallen. Priemgetallen tot 100 zijn:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
- Priemgetallen zijn dus niet alleen oneven, want 2 is wel even.
, Talstelsels (1.2.1)
Om hoeveelheden op te kunnen schrijven en ermee te rekenen is en systeem nodig dat iedereen gebruikt
en begrijpt, dit heet een talstelsel. Er zijn 2 soorten:
- Het additief talstelsel: Hierbij ligt de waarde van symbolen vast, een getal wordt bepaald door de
symbolen bij elkaar op te tellen. Nadeel: heeft een beperkt aantal symbolen. Voordeel: er is geen 0 nodig.
→ Er zijn verschillende soorten systemen, zoals het turfsysteem en de romeinse cijfers:
Romeinse cijfers
Waardes:
I=1 II = 2 III = 3 IV = 4 V=5 VI = 6 VII = 7 VIII = 8 IX = 9 X = 10
L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000
De Romeinse abacus (rekenhulpmiddel/regels):
- Een symbool dat een even of kleiner cijfer erachter heeft, wordt bij elkaar opgeteld.
- Een symbool dat een groter cijfer erachter heeft, moet het kleinste getal van het grootste getal worden afgetrokken.
Ezelsbrug: Ik Verving Xanders Lekkere Citroenen Door Mandarijnen!
- Het positiestelsel: Hierbij wordt de waarde van een cijfer niet alleen bepaald door het cijfer zelf, maar
ook door de plaats waar dat cijfer in een getal staat. Ook de 0 is hierbij nodig. Het getal 3273 is dus:
3 duizendtallen (103), 2 honderdtallen (102), 7 tientallen (101) en 3 eenheden (100).
Visualiseren
Je kunt getallen in beeld brengen door context en materiaal. Een goede context voor het tientallig stelsel
leren is geld. Materiaal is het MAB-materiaal, dit is het tientallig stelsel weergegeven in losse blokjes
(eenheden), staafjes van 10 (tientallen), platen van 10x10 (honderdtallen) en kubussen van 10x10x10
(duizendtallen).
Zo wordt de opdracht zichtbaar en inzichtelijk en krijgen leerlingen meer grip op de getallen, de structuur
en bewerking van getallen. Uiteindelijk moet een lln het zonder hulpmiddel kunnen. De tussenstap is ‘allen
aan het hulpmiddel denken’ (geestelijk denken) gebruikt, dit word wegdenken genoemd.
De getallenlijn is een belangrijk model om inzicht te krijgen in het positiestelsel. Het gaat niet alleen om de
waarde die een cijfer heeft op basis van de plek van het getal, maar ook welke plaats een cijfer heeft
binnen een verzameling van cijfers.
Eigenschappen van bewerkingen (1.2.3)
Om handig te rekenen kun je verschillende eigenschappen gebruiken:
1 De commutatieve/wisseleigenschap: 3 + 6 = 6 + 3 of 3 x 4 = 4 x 3.
Kan alleen bij optellen en vermenigvuldigen worden gebruikt.
2 De distributieve/verdeeleigenschap: (5,5 x 37) + (5,5 x 63) = 5,5 x 100 of 18 x 25 = 10 x 25 + 8 x 25
of 132 : 12 = 120 : 12 + 12 : 12. Deze eigenschap kan niet bij delen.
3 De associatieve/schakeleigenschap: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) of 2 x 3 x 4 = 2 x 12/6 x 4.
Mag alleen bij volgorde van optellen en vermenigvuldigen worden gebruikt.
4 De inverse eigenschap: 411 – 395 = 395 + … = 411 of 1250 : 25 = .. x 25 = 1250.
Deze eigenschap kan bij alles gebruikt worden.
5 Compenseren/transformeren/term veranderen: 189 + 124 = 200 + 112 of 2876 – 387 = 2889 – 400.
Deze eigenschap kan alleen bij + en – gebruikt worden.
6 Groter en kleiner maken (GEK) bij vermenigvuldigen (halveren en verdubbelen): 50 x 32 = 100 x 16
7 Groter of kleiner maken (GOK) bij delen: 336 : 12 = 112 : 4 of 15 : 7,5 = 30 : 15.
en ‘Rekenen en Wiskunde – Didactiek’. Er is specifiek samengevat uit het
boek. De volgende delen zijn samengevat en uitgelegd:
Rekenen en wiskunde Didaktiek Rekenen en wiskunde Uitgelegd
3.1 1.2.1 Talstelsels
3.2.1 tot 3.2.4 1.2.2 Contexten en modellen
3.3.1 en 3.3.2 1.2.3 Eigenschappen van de bewerkingen
4.1 1.2.4 Kenmerken van deelbaarheid
4.2 1.2.5 Volgorde van de bewerkingen
4.3.1 en 4.3.2 1.2.6 Cijferen en schatten
5.1 1.2.7 De rekenmachine
5.2 1.3.1 Talstelsels + octaal stelsel
5.3.1 en 5.3.2 (excl. Hexadecimaal en optellen/aftrekken)
1.3.4 Deelbaarheid door 3 en 9
1.3.7 Priemgetallen
1.3.9 Negatieve getallen
1.3.11 Ontbinden in factoren
1.3.15 Grote getallen en wetenschappelijke notatie
,Rekenen samenvatting
(Eigen kunnen = Blauw Didactiek = Rood)
Boek: ‘Rekenen en Wiskunde – uitgelegd’
Kenmerken van deelbaarheid (1.2.4)
Een getal is deelbaar door .. Als :
Een getal is deelbaar door 1 : Altijd deelbaar
Een getal is deelbaar door 2 : Het laatste cijfer eindigt op 0, 2, 4, 6, 8
Een getal is deelbaar door 3 : Je de cijfers los bij elkaar optelt, en dat deelbaar is door 3
Een getal is deelbaar door 4 : De laatste 2 cijfers (die samen een getal zijn) deelbaar is door 4
Een getal is deelbaar door 5 : Het laatste cijfer eindigt op 0 of 5
Een getal is deelbaar door 6 : Je de cijfers los bij elkaar optelt, en dat deelbaar is door 6 en het laatste cijfer
even is. (1368 is deelbaar, want 1+3+6+8 = 18 = deelbaar door 6, en 8 is even)
Een getal is deelbaar door 7 : Je het laatste cijfer weghaalt van het hele getal, vervolgens de rest van het
hele getal – 2 x het cijfer dat je eraf haalde doet. (364 = 36 – 2 x 4 = 21 = deelb.)
Een getal is deelbaar door 8 : De laatste 3 cijfers (die samen een getal zijn) deelbaar is door 8
Een getal is deelbaar door 9 : Je de cijfers los bij elkaar optelt, en dat deelbaar is door 9
Een getal is deelbaar door 10 : Het eindigt op 0
Driehoeks- vierkantsgetallen (1.3.2)
Regelmaat in getallen kun je krijgen door de getallen in een figuur te zetten (= figurale getallen):
Soort figurale getal Hoe je het berekent De eerste paar getallen: Voorbeeld
Driehoeksgetal Driehoekgetal formule = 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 Bereken het 8e driehoeksgetal:
(kun je in △ zetten) Dn = n x (n + 1) : 2 (N 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) - Dn = 8 x (8 + 1) : 2 = (72:2) = 36
Bereken de rang v driehoeksgetal 15:
- (N = 2 x Dn = .. = .. x (.. – 1) = N)
- N = 2 x 15 = 30 = 5 x (6 – 1) = 5
Vierkantsgetal Zijn kwadraten, formule = 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 Bereken het 8e vierkantsgetal:
(kun je in ▢ zetten) Vn = n2 (= 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72) - V8 = 82 = 64
(of als je 2 opeenvolgende (= 1x1, 2x2, 3x3, 4x4, 5x5) Bereken de rang v vierkantsgetal 169:
driehoeksgetallen bij - N = √169 = 132
elkaar optelt)
Rechthoeksgetal Formule = 2, 6, 12, 20, 30, 42 Bereken het 8e rechthoeksgetal:
(kun je in ▭ zetten) Rn = n x (n + 1) (N 1, 2, 3, 4, 5, 6) - Rn = 8 x (8 + 1) = 72
Bereken de rang v driehoeksgetal 20:
- (N = .. x (.. – 1)
- N = 4 x (5 – 1) = 4
(n = de rij/de rang, basis, het aantal stippen op onderste rij v.d. figuur)
Priemgetallen (1.3.7)
- Priemgetallen zijn hele getallen (groter dan 1) die je alleen kan delen door 1 en zichzelf. Alle cijfers die je
dus door 2, 3, 5 en 7 kan delen, zijn geen priemgetallen. Priemgetallen tot 100 zijn:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
- Priemgetallen zijn dus niet alleen oneven, want 2 is wel even.
, Talstelsels (1.2.1)
Om hoeveelheden op te kunnen schrijven en ermee te rekenen is en systeem nodig dat iedereen gebruikt
en begrijpt, dit heet een talstelsel. Er zijn 2 soorten:
- Het additief talstelsel: Hierbij ligt de waarde van symbolen vast, een getal wordt bepaald door de
symbolen bij elkaar op te tellen. Nadeel: heeft een beperkt aantal symbolen. Voordeel: er is geen 0 nodig.
→ Er zijn verschillende soorten systemen, zoals het turfsysteem en de romeinse cijfers:
Romeinse cijfers
Waardes:
I=1 II = 2 III = 3 IV = 4 V=5 VI = 6 VII = 7 VIII = 8 IX = 9 X = 10
L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000
De Romeinse abacus (rekenhulpmiddel/regels):
- Een symbool dat een even of kleiner cijfer erachter heeft, wordt bij elkaar opgeteld.
- Een symbool dat een groter cijfer erachter heeft, moet het kleinste getal van het grootste getal worden afgetrokken.
Ezelsbrug: Ik Verving Xanders Lekkere Citroenen Door Mandarijnen!
- Het positiestelsel: Hierbij wordt de waarde van een cijfer niet alleen bepaald door het cijfer zelf, maar
ook door de plaats waar dat cijfer in een getal staat. Ook de 0 is hierbij nodig. Het getal 3273 is dus:
3 duizendtallen (103), 2 honderdtallen (102), 7 tientallen (101) en 3 eenheden (100).
Visualiseren
Je kunt getallen in beeld brengen door context en materiaal. Een goede context voor het tientallig stelsel
leren is geld. Materiaal is het MAB-materiaal, dit is het tientallig stelsel weergegeven in losse blokjes
(eenheden), staafjes van 10 (tientallen), platen van 10x10 (honderdtallen) en kubussen van 10x10x10
(duizendtallen).
Zo wordt de opdracht zichtbaar en inzichtelijk en krijgen leerlingen meer grip op de getallen, de structuur
en bewerking van getallen. Uiteindelijk moet een lln het zonder hulpmiddel kunnen. De tussenstap is ‘allen
aan het hulpmiddel denken’ (geestelijk denken) gebruikt, dit word wegdenken genoemd.
De getallenlijn is een belangrijk model om inzicht te krijgen in het positiestelsel. Het gaat niet alleen om de
waarde die een cijfer heeft op basis van de plek van het getal, maar ook welke plaats een cijfer heeft
binnen een verzameling van cijfers.
Eigenschappen van bewerkingen (1.2.3)
Om handig te rekenen kun je verschillende eigenschappen gebruiken:
1 De commutatieve/wisseleigenschap: 3 + 6 = 6 + 3 of 3 x 4 = 4 x 3.
Kan alleen bij optellen en vermenigvuldigen worden gebruikt.
2 De distributieve/verdeeleigenschap: (5,5 x 37) + (5,5 x 63) = 5,5 x 100 of 18 x 25 = 10 x 25 + 8 x 25
of 132 : 12 = 120 : 12 + 12 : 12. Deze eigenschap kan niet bij delen.
3 De associatieve/schakeleigenschap: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) of 2 x 3 x 4 = 2 x 12/6 x 4.
Mag alleen bij volgorde van optellen en vermenigvuldigen worden gebruikt.
4 De inverse eigenschap: 411 – 395 = 395 + … = 411 of 1250 : 25 = .. x 25 = 1250.
Deze eigenschap kan bij alles gebruikt worden.
5 Compenseren/transformeren/term veranderen: 189 + 124 = 200 + 112 of 2876 – 387 = 2889 – 400.
Deze eigenschap kan alleen bij + en – gebruikt worden.
6 Groter en kleiner maken (GEK) bij vermenigvuldigen (halveren en verdubbelen): 50 x 32 = 100 x 16
7 Groter of kleiner maken (GOK) bij delen: 336 : 12 = 112 : 4 of 15 : 7,5 = 30 : 15.
