Instituto de Ciencias - UNGS I NTRODUCCIÓN A LA M ATEMÁTICA Guía de TP No 7
Práctica 7 - Funciones Polinómicas y Racionales
Funciones Polinómicas
1. Para las funciones f y g de cada ítem se define la función h : R → R definida como h(x) = f (x) · g(x).
Utilizando la factorización dada hallar C0 (h), C+ (h) y C− (h), en forma analítica.
(a) f (x) = x − 1 g(x) = (x + 1)2 + 4.
2
(b) f (x) = 2x − 4 g(x) = x − 12 − 49 .
(c) f (x) = x2 + x − 2 g(x) = x + 3.
2. Sea h : R → R una función que es producto de dos “funciones” f y g, con h definida por
h(x) = x3 + 4x2 + x − 6
(a) ¿Puede ser g(x) = x − 2? Si no es posible explicar por qué. En caso afirmativo encontrar f .
(b) ¿Puede ser g(x) = x + 3? Si no es posible explicar por qué. En caso afirmativo encontrar f .
(c) ¿Es posible que h se factorice de la forma h(x) = a (x − r) (x − r1 ) (x + 3) para a, r, r1 ∈ R?
3. Sea h : R → R una función definida por h(x) = x3 − x2 + x − 1.
(a) Decidir en cada caso si el polinomio P divide a h. En caso afirmativo hallar la factorización correspon-
diente:
i) P(x) = x − 2 ii) P(x) = x − 1
(b) ¿Es posible que h se factorice de la forma h(x) = a (x − r) (x − r1 ) (x − 1) para a, r, r1 ∈ R?
4. Escribir las fórmulas de las siguientes funciones en su forma factorizada y luego hallar sus ceros. Para
muchas de las factorizaciones es necesario recordar la propiedad “diferencia de cuadrados”, es decir,
a2 − b2 = (a + b)(a − b) para todo a, b ∈ R.
i) h(x) = x8 − 16 iii) h(x) = (x5 + 1)2 − 2x5 − 2 v) h(x) = (x + 1)2 − x2
ii) h(x) = x7 − x3 iv) h(x) = 9x2 − 36 vi) h(x) = 52 x3 − x5
5. Para cada ítem hallar, si existe, la fórmula de un polinomio f de grado 3 que verifique lo pedido:
(a) r = 7 es la única raíz de f .
(b) r = −5 es raíz doble de f y (1, 3) ∈ Gr( f ).
(c) f tiene una sola raíz y esa raíz es doble.
(d) f tiene una raíz triple.
6. Para cada ítem hallar, si existe, la fórmula de un polinomio f de grado 4 que verifique lo pedido:
(a) r = 1 es la única raíz de f y es raíz doble.
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, Instituto de Ciencias - UNGS I NTRODUCCIÓN A LA M ATEMÁTICA Guía de TP No 7
(b) r = −2 es raíz triple de f y (1, 1) ∈ Gr( f ).
(c) f no tiene raíces.
7. Resolver el siguiente cuestionario de la práctica 7 del aula virtual del ESAO-IM ingresando al enlace:
http://virtual.ungs.edu.ar/moodle/mod/quiz/view.php?id=12697
(a) Sea f una función lineal y g una función cuadrática, dadas por sus respectivos gráficos. Se define la
función h : R → R, h(x) = f (x) · g(x). Seleccionar en el cuestionario las opciones correctas.
(b) Se sabe que h es una función polinómica de grado 4 que tiene una sola raíz en x = −4. Seleccionar en
el cuestionario cuál o cuáles de la fórmulas propuestas son las correctas.
8. Sean f , g : R → R, definidas por f (x) = 2x3 − 2x2 − 4x, g(x) = 3x4 − 12
(a) Expresar a las funciones f y g en forma factorizada y utilizar estas factorizaciones para determinar
conjunto de ceros o raíces y conjuntos de positividad y negatividad de ambas funciones en forma
analítica.
(b) Trazar un gráfico aproximado de cada función polinómica utilizando GeoGebra y luego seleccionar la
opción Puntos Especiales. Utilizando el gráfico realizado, hallar intervalos de crecimiento y decrec-
imiento y extremos locales.
(c) ¿Cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones? f (x) = 1, g(x) = − 25
2.
9. A continuación se presentan fórmulas y gráficos de funciones polinómicas. Sin utilizar
GeoGebra, asignarle a cada fórmula un posible gráfico explicando la decisión. Hallar la forma factorizada
de cada función.
• f (x) = x3 + 2x2 − 5x − 6 • j(x) = x3 + x2 + x + 1
• g(x) = x4 + 3x3 − 3x2 − 11x − 6 • k(x) = x4 + x3 − 5x2 + x − 6
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Práctica 7 - Funciones Polinómicas y Racionales
Funciones Polinómicas
1. Para las funciones f y g de cada ítem se define la función h : R → R definida como h(x) = f (x) · g(x).
Utilizando la factorización dada hallar C0 (h), C+ (h) y C− (h), en forma analítica.
(a) f (x) = x − 1 g(x) = (x + 1)2 + 4.
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(b) f (x) = 2x − 4 g(x) = x − 12 − 49 .
(c) f (x) = x2 + x − 2 g(x) = x + 3.
2. Sea h : R → R una función que es producto de dos “funciones” f y g, con h definida por
h(x) = x3 + 4x2 + x − 6
(a) ¿Puede ser g(x) = x − 2? Si no es posible explicar por qué. En caso afirmativo encontrar f .
(b) ¿Puede ser g(x) = x + 3? Si no es posible explicar por qué. En caso afirmativo encontrar f .
(c) ¿Es posible que h se factorice de la forma h(x) = a (x − r) (x − r1 ) (x + 3) para a, r, r1 ∈ R?
3. Sea h : R → R una función definida por h(x) = x3 − x2 + x − 1.
(a) Decidir en cada caso si el polinomio P divide a h. En caso afirmativo hallar la factorización correspon-
diente:
i) P(x) = x − 2 ii) P(x) = x − 1
(b) ¿Es posible que h se factorice de la forma h(x) = a (x − r) (x − r1 ) (x − 1) para a, r, r1 ∈ R?
4. Escribir las fórmulas de las siguientes funciones en su forma factorizada y luego hallar sus ceros. Para
muchas de las factorizaciones es necesario recordar la propiedad “diferencia de cuadrados”, es decir,
a2 − b2 = (a + b)(a − b) para todo a, b ∈ R.
i) h(x) = x8 − 16 iii) h(x) = (x5 + 1)2 − 2x5 − 2 v) h(x) = (x + 1)2 − x2
ii) h(x) = x7 − x3 iv) h(x) = 9x2 − 36 vi) h(x) = 52 x3 − x5
5. Para cada ítem hallar, si existe, la fórmula de un polinomio f de grado 3 que verifique lo pedido:
(a) r = 7 es la única raíz de f .
(b) r = −5 es raíz doble de f y (1, 3) ∈ Gr( f ).
(c) f tiene una sola raíz y esa raíz es doble.
(d) f tiene una raíz triple.
6. Para cada ítem hallar, si existe, la fórmula de un polinomio f de grado 4 que verifique lo pedido:
(a) r = 1 es la única raíz de f y es raíz doble.
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(b) r = −2 es raíz triple de f y (1, 1) ∈ Gr( f ).
(c) f no tiene raíces.
7. Resolver el siguiente cuestionario de la práctica 7 del aula virtual del ESAO-IM ingresando al enlace:
http://virtual.ungs.edu.ar/moodle/mod/quiz/view.php?id=12697
(a) Sea f una función lineal y g una función cuadrática, dadas por sus respectivos gráficos. Se define la
función h : R → R, h(x) = f (x) · g(x). Seleccionar en el cuestionario las opciones correctas.
(b) Se sabe que h es una función polinómica de grado 4 que tiene una sola raíz en x = −4. Seleccionar en
el cuestionario cuál o cuáles de la fórmulas propuestas son las correctas.
8. Sean f , g : R → R, definidas por f (x) = 2x3 − 2x2 − 4x, g(x) = 3x4 − 12
(a) Expresar a las funciones f y g en forma factorizada y utilizar estas factorizaciones para determinar
conjunto de ceros o raíces y conjuntos de positividad y negatividad de ambas funciones en forma
analítica.
(b) Trazar un gráfico aproximado de cada función polinómica utilizando GeoGebra y luego seleccionar la
opción Puntos Especiales. Utilizando el gráfico realizado, hallar intervalos de crecimiento y decrec-
imiento y extremos locales.
(c) ¿Cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones? f (x) = 1, g(x) = − 25
2.
9. A continuación se presentan fórmulas y gráficos de funciones polinómicas. Sin utilizar
GeoGebra, asignarle a cada fórmula un posible gráfico explicando la decisión. Hallar la forma factorizada
de cada función.
• f (x) = x3 + 2x2 − 5x − 6 • j(x) = x3 + x2 + x + 1
• g(x) = x4 + 3x3 − 3x2 − 11x − 6 • k(x) = x4 + x3 − 5x2 + x − 6
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