Toets verbanden, meten en meetkunde
Hoofdstuk 1 samenhang meten en meetkunde
1.1 Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde
De domeinen meten en meetkunde hebben veel raakvlakken.
Bij meten gaat het om het getalsmatg greee krijgen oe eigenschaeeen van de wereld, zoals lengte,
oeeervlakte, inhoud, gewicht en tjdsduur. Dergelijke eigenschaeeen heten grootheden. De essente
van meten is dat een grootheid wordt afgeeast met een maat, bijvoorbeeld de maateenheid meter
voor de grootheid lente. Een metng levert een meetgetal oe, bijvoorbeeld 2 meter. Om iets te
kunnen meten, kan je meetnntrumenten gebruiken, zoals een liniaal, weegschaal of maakbeker.
Meten kan natuurlijk ook zonderen meetnstrumenten, door bijvoorbeeld te beredeneren of
rekenen.
Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte. Het gaat
bijvoorbeeld om elategronden, routes, richtngen en eigenschaeeen van vormen en fguren. Verder
gaat het om erojectes, schaduwen, symmetrieën, eatronen en om allerlei twee- en driedimensionale
weergaven van de werkelijkheid. Meetkunde is ruimtelijke oriëntate in wiskundige zin.
Ruimtelijk redeneren: het gaat om het redeneren waarbij men zich bij voorkeur een mentale
voorstelling maakt van de oegave. Het mentaal verelaatsen in een standeunt. Er wordt een
meetkundige (denk)handeling gemaakt om de meetvraag te kunnen beantwoorden.
1.1.1 Meten van inhoud
Het in elkaar zeten van een bouwplaat valt onder meetkunde. De vraag wat is de
inhoud van een doos valt onder meten: het gaat om het kwantficeren van de
eigenschae inhoud. Een kwantteit is een hoeveelheid en kwantficeren
betekent: ergens een getal aan toekennen. Als kinderen dan in gedachten de
doos vullen met kubieke decimeters zijn zij ruimtelijk aan het redeneren.
1.1.2 Lengte en oppervlakte
Bij lengte en oeeervlakte komen ook meetkundige inzichten naar
boven. Bijv. van een oeeervlakte van 1cm² kan je verschillende fguren
laten zien.
Een meetkundige actviteit als het omvormen van fguren kan worden
toegeeast bij het meten van oeeervlaktes.
Ook het werken met vlakvulling ligt oe het snijvalk van meten en
meetkunde: een beeaalde oeeervlakte wordt volgelegd met
meetkundige vormen. De oeeervlakte van de rechthoek is nu uit te
drukken in het aantal driehoekjes dat nodig is om de rechthoek te
bedekken.
1.1.3 Uit de geschiedenis van meten en meetkunde
Bij de ntelling van Pythagoran komen meten en meetkunde ook samen. De stelling van Pythagoras
geldt alleen bij een rechthoekige driehoek. a²+b²= c². a²= b²-c². b²= c²-a².
De gulden nnede verhouding staat voor een schoonheidsideaal. Ook hierin gaat het om meten en
meetkunde: in allerlei meetkundige fguren zijn afmetngen volgens deze verhouding terug te vinden.
,htes://www.nemokennislink.nl/eublicates/het-geheim-van-de-gulden-snede/
Bekijk deze link voor de uitleg van de gulden snede verhouding.
Het is eigenlijk een reek van getallen. 1 1 23 5 8 13 21. Als je dit in cm zou zien komt er elke keer het
vorige blokje erbij.
1.2 Meten en meetkunde op de basisschool
1.2.1 Overeenkomsten tussen meten en meetkunde
Vanaf de kleutergroee komen meten en meetkunde al aan bod. Het onderwijs in meten en
meetkunde verschaf kinderen het wiskundige gereedschae om hun dagelijkse leefwereld te kunnen
begrijeen en beschrijven. Dat gereedschae kun je leterlijk oevaten als een liniaal of maatbeker.
Kinderen leren hierdoor de winkundetaal die van eas komt in het dagelijks leven. Bijv. breed, smal,
hoog en laag en richtngen zoals noord en zuid.
Een andere overeenkomst tussen meten en meetkunde is dat het onderwijs zich in beide domeinen
kenmerkt door redeneren en het ontwikkelen van een onderzoekende houding. Zo’n houding wordt
een winkundige attitude genoemd. Bezig zijn met meten en meetkunde levert een belangrijke
bijdrage aan de ontwikkeling van gecijferdheid. Wie gecijferd is, beschikt onder andere over een
groot aantal referentes in het dagelijks leven. Veel van die referentes zijn over het algemeen
meetgetallen. Het begrijeen van de wereld in meetkundige termen is een aseect van gecijferdheid.
1.2.2 Verschillen tussen meten en meetkunde
Bij meten: Leren meten met een eassende maat en zijn kinderen vooral bezig met doen ( uitvoeren
van metngen, afezen van meetnstrumenten), kennen (bijvoorbeeld de maten uit het metriek
stelsel) en begrijpen (oetreden van meetouten, maatverfjning en kiezen van de juiste maat).
Bij meetkunde: gaat het vooral om het onderzoeken van ruimtelijke relates en het beredeneren
hiervan; kinderen zijn bezig met waarnemen, beschouwen, stellen en beantwoorden van
waaromvraag, gericht oe verklaren.
1.2.3 Samenhang in activiteiten
In reken-wiskundemethodes is de samenhang regelmatg herkenbaar. Actviteiten rondom
conntrueren (bouwen) en reprenenteren (afbeelden van de werkelijkheid, zoals oe een elategrond
of bouwtekening) vallen binnen meetkunde. Rondom bouwwerk kan het tegelijkertjd gaan om
meetactviteiten. Bijvoorbeeld inhoud of oeeervlakte berekenen.
Andere voorbeeldactviteiten liggen oe het terrein van tjdzones: lokalineren of plaatnbepaling oe de
aarde valt onder meetkunde, evenals de kennis die te maken heef met het draaien van de aarde om
haar as en om de zon. Tijdmetng ligt oe het terrein van meten.
Ook het maken van een zonnewijzer kent zo’n samenhang: voorseellen van het verlooe van de
nchaduw valt onder meetkunde, tjdmetng onder meten.
Hoofdstuk 2 Meten
2.1 Meten en meetgetallen zijn overal
Meten is niet meer weg te denken uit onze samenleving. We komen voortdurend meetgetallen
tegen, bijvoorbeeld oe de etketen oe levensmiddelen, oe de snelheidsmeter van je auto, bij de
temeeratuur en windsnelheid in een weerbericht. Meetgetallen zeggen iets over grootheden, zoals
, inhoud, gewicht, temeeratuur en snelheid. Bij elke grootheden eassen verschillende maten of
maateenheden.
In het dagelijks leven gebruik je veel meetreferenten, zoals: 50 kilometer eer uur is de maximale
snelheid binnen de bebouwde kom, we weten ook bij 39 graden Celsius dat we sereken over koorts;
het referentegetal waar je van uitgaat is hier namelijk 37 graden Celsius. Nog zo’n referentegetal is
365. Zonder dat er wat bij staat denk je gelijk aan het aantal dagen in een jaar.
We kunnen ons ook bij verschillende voorwereen ons wat voorstellen. Zoals een stae is een meter,
eak sae een liter, eak suiker een kilogram. De stae, het eak sae en een eak suiker zijn
referentematen.
2.1.1 Meetinstrumenten
Bij sommige meetnstrumenten is het afpannen goed zichtbaar. Bijvoorbeeld een maatbeker waar
een vloeistof in gaat, zo kan je de hoeveelheid afmeten. Andere meetnstrumenten liggen in het
verlengde van afeassen, zoals een rolmaat. Er is een aaneenschakeling van meters te zien. Er zijn ook
meetnstrumenten waarbij het afezen is vervaagd, bijvoorbeeld het gewicht oe een weegschaal. Dat
noem je direct meten. Bij indirect meten wordt er een grootheid gemeten om een andere grootheid
te weten te komen. Dit komt bijvoorbeeld voor bij de unnter. Dit is een weeghaak met trekveer.
Doordat je er iets aanhangt rekt de veer uit. Hoe zwaarder het gewicht hoe meer de veer uitrekt. Je
meet dus de lengte van het uitrekken, en zo kom je het gewicht te weten. Ook een kwikmeter gaat
via indirect meten. Het kwik zet uit bij warmte, zo kan je de temeeratuur oemeten.
Oe meetnstrumenten is soms een nchaalverdeling aanwezig. Oe een maatbeker staan bijvoorbeeld
meerdere grootheden. Je kan er van alles mee meten, zoals vloeistofen, suiker etc.
2.1.2 Meetnauwkeurigheid
Veel meetgetallen zijn kommagetallen. Of een meetgetal een kommagetal is, hang af van de
gehanteerde maat en de precinie. Je kan zeggen iemand is 1,86 meter (kommagetal), maar je kan
ook zeggen iemand is 186 centmeter (geen kommagetal. Bij de 1,86 is de gehanteerde maat de
meter en is het meetgetal tot oe de centmeter nauwkeurig. Bij 186 centmeter is de centmeter
zowel de maat als de gehanteerde precinie.
Meetgetallen kunnen een verschillende meetnauwkeurigheid hebben. Wanneer men zegt het is
buiten 19 graden, kan dat schommelen tussen 18,5 en 19,5. Terwijl als iemand zegt je hebt koorts
38,2. Schommelt dit maar tussen 38,15 en 38,25. De meetnauwkeurigheid van de koorts is ereciezer
dan die van de buitenlucht. De afstand tussen twee getallen noemen we een meetnterval.
Bij meetnauwkeurigheid van metngen imeliceert ook een meetonnauwkeurigheid. Er treden eer
defnite meetfouten oe. De meetout valt binnen het meetnterval, dat in dit verband wordt
aangeduid als foutenmarge. Om een meetout oe het meetresultaat te verkleinen kun je de
metngen vaker uitvoeren en dan daarvan het gemiddelde te nemen.
2.1.3 Uit de geschiedenis van meten
In de looe van de geschiedenis hebben mensen steeds meer greee gekregen oe grootheden. Als
elementaire vorm van meten werden voorwereen rechtstreeks met elkaar vergeleken. Dit
vergelijken deden ze met bijvoorbeeld natuurlijke maten. De breedte van je duim is 2,5cm of de
lengte van je voetzool 30cm etc. Het gebruik van natuurlijke maten heef meetonnauwkeurigheid tot
gevolg: niet alle voeten zijn immers aan elkaar gelijk. Om dit te voorkomen werd er een ntandaard
nagestreefd: een vaste afgeseroken maat. Dit deden ze eerst voor elke regio anders, zo verschilde de
standaard maten alsnog, daarom ontstond de behoefe naar ntandaardinering. Kort na de Franse
Hoofdstuk 1 samenhang meten en meetkunde
1.1 Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde
De domeinen meten en meetkunde hebben veel raakvlakken.
Bij meten gaat het om het getalsmatg greee krijgen oe eigenschaeeen van de wereld, zoals lengte,
oeeervlakte, inhoud, gewicht en tjdsduur. Dergelijke eigenschaeeen heten grootheden. De essente
van meten is dat een grootheid wordt afgeeast met een maat, bijvoorbeeld de maateenheid meter
voor de grootheid lente. Een metng levert een meetgetal oe, bijvoorbeeld 2 meter. Om iets te
kunnen meten, kan je meetnntrumenten gebruiken, zoals een liniaal, weegschaal of maakbeker.
Meten kan natuurlijk ook zonderen meetnstrumenten, door bijvoorbeeld te beredeneren of
rekenen.
Bij meetkunde draait het om het verklaren en beschrijven van de ons omringende ruimte. Het gaat
bijvoorbeeld om elategronden, routes, richtngen en eigenschaeeen van vormen en fguren. Verder
gaat het om erojectes, schaduwen, symmetrieën, eatronen en om allerlei twee- en driedimensionale
weergaven van de werkelijkheid. Meetkunde is ruimtelijke oriëntate in wiskundige zin.
Ruimtelijk redeneren: het gaat om het redeneren waarbij men zich bij voorkeur een mentale
voorstelling maakt van de oegave. Het mentaal verelaatsen in een standeunt. Er wordt een
meetkundige (denk)handeling gemaakt om de meetvraag te kunnen beantwoorden.
1.1.1 Meten van inhoud
Het in elkaar zeten van een bouwplaat valt onder meetkunde. De vraag wat is de
inhoud van een doos valt onder meten: het gaat om het kwantficeren van de
eigenschae inhoud. Een kwantteit is een hoeveelheid en kwantficeren
betekent: ergens een getal aan toekennen. Als kinderen dan in gedachten de
doos vullen met kubieke decimeters zijn zij ruimtelijk aan het redeneren.
1.1.2 Lengte en oppervlakte
Bij lengte en oeeervlakte komen ook meetkundige inzichten naar
boven. Bijv. van een oeeervlakte van 1cm² kan je verschillende fguren
laten zien.
Een meetkundige actviteit als het omvormen van fguren kan worden
toegeeast bij het meten van oeeervlaktes.
Ook het werken met vlakvulling ligt oe het snijvalk van meten en
meetkunde: een beeaalde oeeervlakte wordt volgelegd met
meetkundige vormen. De oeeervlakte van de rechthoek is nu uit te
drukken in het aantal driehoekjes dat nodig is om de rechthoek te
bedekken.
1.1.3 Uit de geschiedenis van meten en meetkunde
Bij de ntelling van Pythagoran komen meten en meetkunde ook samen. De stelling van Pythagoras
geldt alleen bij een rechthoekige driehoek. a²+b²= c². a²= b²-c². b²= c²-a².
De gulden nnede verhouding staat voor een schoonheidsideaal. Ook hierin gaat het om meten en
meetkunde: in allerlei meetkundige fguren zijn afmetngen volgens deze verhouding terug te vinden.
,htes://www.nemokennislink.nl/eublicates/het-geheim-van-de-gulden-snede/
Bekijk deze link voor de uitleg van de gulden snede verhouding.
Het is eigenlijk een reek van getallen. 1 1 23 5 8 13 21. Als je dit in cm zou zien komt er elke keer het
vorige blokje erbij.
1.2 Meten en meetkunde op de basisschool
1.2.1 Overeenkomsten tussen meten en meetkunde
Vanaf de kleutergroee komen meten en meetkunde al aan bod. Het onderwijs in meten en
meetkunde verschaf kinderen het wiskundige gereedschae om hun dagelijkse leefwereld te kunnen
begrijeen en beschrijven. Dat gereedschae kun je leterlijk oevaten als een liniaal of maatbeker.
Kinderen leren hierdoor de winkundetaal die van eas komt in het dagelijks leven. Bijv. breed, smal,
hoog en laag en richtngen zoals noord en zuid.
Een andere overeenkomst tussen meten en meetkunde is dat het onderwijs zich in beide domeinen
kenmerkt door redeneren en het ontwikkelen van een onderzoekende houding. Zo’n houding wordt
een winkundige attitude genoemd. Bezig zijn met meten en meetkunde levert een belangrijke
bijdrage aan de ontwikkeling van gecijferdheid. Wie gecijferd is, beschikt onder andere over een
groot aantal referentes in het dagelijks leven. Veel van die referentes zijn over het algemeen
meetgetallen. Het begrijeen van de wereld in meetkundige termen is een aseect van gecijferdheid.
1.2.2 Verschillen tussen meten en meetkunde
Bij meten: Leren meten met een eassende maat en zijn kinderen vooral bezig met doen ( uitvoeren
van metngen, afezen van meetnstrumenten), kennen (bijvoorbeeld de maten uit het metriek
stelsel) en begrijpen (oetreden van meetouten, maatverfjning en kiezen van de juiste maat).
Bij meetkunde: gaat het vooral om het onderzoeken van ruimtelijke relates en het beredeneren
hiervan; kinderen zijn bezig met waarnemen, beschouwen, stellen en beantwoorden van
waaromvraag, gericht oe verklaren.
1.2.3 Samenhang in activiteiten
In reken-wiskundemethodes is de samenhang regelmatg herkenbaar. Actviteiten rondom
conntrueren (bouwen) en reprenenteren (afbeelden van de werkelijkheid, zoals oe een elategrond
of bouwtekening) vallen binnen meetkunde. Rondom bouwwerk kan het tegelijkertjd gaan om
meetactviteiten. Bijvoorbeeld inhoud of oeeervlakte berekenen.
Andere voorbeeldactviteiten liggen oe het terrein van tjdzones: lokalineren of plaatnbepaling oe de
aarde valt onder meetkunde, evenals de kennis die te maken heef met het draaien van de aarde om
haar as en om de zon. Tijdmetng ligt oe het terrein van meten.
Ook het maken van een zonnewijzer kent zo’n samenhang: voorseellen van het verlooe van de
nchaduw valt onder meetkunde, tjdmetng onder meten.
Hoofdstuk 2 Meten
2.1 Meten en meetgetallen zijn overal
Meten is niet meer weg te denken uit onze samenleving. We komen voortdurend meetgetallen
tegen, bijvoorbeeld oe de etketen oe levensmiddelen, oe de snelheidsmeter van je auto, bij de
temeeratuur en windsnelheid in een weerbericht. Meetgetallen zeggen iets over grootheden, zoals
, inhoud, gewicht, temeeratuur en snelheid. Bij elke grootheden eassen verschillende maten of
maateenheden.
In het dagelijks leven gebruik je veel meetreferenten, zoals: 50 kilometer eer uur is de maximale
snelheid binnen de bebouwde kom, we weten ook bij 39 graden Celsius dat we sereken over koorts;
het referentegetal waar je van uitgaat is hier namelijk 37 graden Celsius. Nog zo’n referentegetal is
365. Zonder dat er wat bij staat denk je gelijk aan het aantal dagen in een jaar.
We kunnen ons ook bij verschillende voorwereen ons wat voorstellen. Zoals een stae is een meter,
eak sae een liter, eak suiker een kilogram. De stae, het eak sae en een eak suiker zijn
referentematen.
2.1.1 Meetinstrumenten
Bij sommige meetnstrumenten is het afpannen goed zichtbaar. Bijvoorbeeld een maatbeker waar
een vloeistof in gaat, zo kan je de hoeveelheid afmeten. Andere meetnstrumenten liggen in het
verlengde van afeassen, zoals een rolmaat. Er is een aaneenschakeling van meters te zien. Er zijn ook
meetnstrumenten waarbij het afezen is vervaagd, bijvoorbeeld het gewicht oe een weegschaal. Dat
noem je direct meten. Bij indirect meten wordt er een grootheid gemeten om een andere grootheid
te weten te komen. Dit komt bijvoorbeeld voor bij de unnter. Dit is een weeghaak met trekveer.
Doordat je er iets aanhangt rekt de veer uit. Hoe zwaarder het gewicht hoe meer de veer uitrekt. Je
meet dus de lengte van het uitrekken, en zo kom je het gewicht te weten. Ook een kwikmeter gaat
via indirect meten. Het kwik zet uit bij warmte, zo kan je de temeeratuur oemeten.
Oe meetnstrumenten is soms een nchaalverdeling aanwezig. Oe een maatbeker staan bijvoorbeeld
meerdere grootheden. Je kan er van alles mee meten, zoals vloeistofen, suiker etc.
2.1.2 Meetnauwkeurigheid
Veel meetgetallen zijn kommagetallen. Of een meetgetal een kommagetal is, hang af van de
gehanteerde maat en de precinie. Je kan zeggen iemand is 1,86 meter (kommagetal), maar je kan
ook zeggen iemand is 186 centmeter (geen kommagetal. Bij de 1,86 is de gehanteerde maat de
meter en is het meetgetal tot oe de centmeter nauwkeurig. Bij 186 centmeter is de centmeter
zowel de maat als de gehanteerde precinie.
Meetgetallen kunnen een verschillende meetnauwkeurigheid hebben. Wanneer men zegt het is
buiten 19 graden, kan dat schommelen tussen 18,5 en 19,5. Terwijl als iemand zegt je hebt koorts
38,2. Schommelt dit maar tussen 38,15 en 38,25. De meetnauwkeurigheid van de koorts is ereciezer
dan die van de buitenlucht. De afstand tussen twee getallen noemen we een meetnterval.
Bij meetnauwkeurigheid van metngen imeliceert ook een meetonnauwkeurigheid. Er treden eer
defnite meetfouten oe. De meetout valt binnen het meetnterval, dat in dit verband wordt
aangeduid als foutenmarge. Om een meetout oe het meetresultaat te verkleinen kun je de
metngen vaker uitvoeren en dan daarvan het gemiddelde te nemen.
2.1.3 Uit de geschiedenis van meten
In de looe van de geschiedenis hebben mensen steeds meer greee gekregen oe grootheden. Als
elementaire vorm van meten werden voorwereen rechtstreeks met elkaar vergeleken. Dit
vergelijken deden ze met bijvoorbeeld natuurlijke maten. De breedte van je duim is 2,5cm of de
lengte van je voetzool 30cm etc. Het gebruik van natuurlijke maten heef meetonnauwkeurigheid tot
gevolg: niet alle voeten zijn immers aan elkaar gelijk. Om dit te voorkomen werd er een ntandaard
nagestreefd: een vaste afgeseroken maat. Dit deden ze eerst voor elke regio anders, zo verschilde de
standaard maten alsnog, daarom ontstond de behoefe naar ntandaardinering. Kort na de Franse
