MATH6103 Differential & Integral Calculus
Notes in Brief
Department of Mathematics,
University College London
Matthew Scroggs
web: www.mscroggs.co.uk/6103
e-mail:
Spring 2016
,Contents
1 Functions 2
1.1 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Some polynomial degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Measuring angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Properties of sin, cos and tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Polar co-ordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Differentiation 7
2.1 Finding the gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Some common derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Rules for differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Polar co-ordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 Uses of differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5.1 Finding the gradient at a point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5.2 Finding the maximum and minimum points . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 Differentiating inverse functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Exponentials and Logarithms 10
3.1 Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
i
, CONTENTS ii
3.2.1 The natural logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.2 Differentiation of other logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Differentiation of other exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Integration 13
4.1 Finding integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Rules for integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2.1 Partial fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.2 Trapezium method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Differential Equations 16
5.1 First order differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.1.1 Integrating factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Complementary functions and particular integrals . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2.1 Finding complementary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2.2 Finding a particular integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2.3 Euler’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Notes in Brief
Department of Mathematics,
University College London
Matthew Scroggs
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,Contents
1 Functions 2
1.1 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Some polynomial degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Measuring angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Properties of sin, cos and tan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Polar co-ordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Differentiation 7
2.1 Finding the gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Some common derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Rules for differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Polar co-ordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 Uses of differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5.1 Finding the gradient at a point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5.2 Finding the maximum and minimum points . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 Differentiating inverse functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Exponentials and Logarithms 10
3.1 Exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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, CONTENTS ii
3.2.1 The natural logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.2 Differentiation of other logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3 Differentiation of other exponentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Integration 13
4.1 Finding integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2 Rules for integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2.1 Partial fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2.2 Trapezium method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 Differential Equations 16
5.1 First order differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.1.1 Integrating factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2 Complementary functions and particular integrals . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2.1 Finding complementary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2.2 Finding a particular integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2.3 Euler’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
