Notas de Clase Primera Parte. Algebra Lineal
Apuntes de Matemática Avanzada
Primera Parte
Algebra Lineal
Jennifer Obregon
Cátedra: Matemática Avanzada Año 2015
,Notas de Clase Primera Parte. Algebra Lineal
I
Espacios Vectoriales y Transformaciones
Lineales
Cátedra: Matemática Avanzada Año 2015
,1 Prefacio
Este material está dedicado a la disciplina Matemática Avanzada que se encuentra en el primer
cuatrimestre del cuarto a ñ o de la carrera de Licenciatura en Meteorolog´ıa y Ciencias de la
Atmósfera, de la Facultad de Cs. Astronómicas y Geof´ısicas de la Universidad Nacional de
La Plata.
Matemática Avanzada es una materia compuesta por las siguientes unidades temáticas
• Á lgebra Lineal: Espacios Vectoriales. Subespacios. Base. Transformaciones lineales.
Cambio de base. Algebra de transformaciones lineales. Formas canónicas de transforma-
ciones lineales. Algebra tensorial. Autovalores y autovectores. Polinomio caracter´ıstico.
Polinomio m´ınimo. Forma de Jordan. Sistemas de ecuaciones lineales.
• Variable Compleja: Números complejos. Funciones complejas elementales. Funciones
anal´ıticas. Funciones armónicas. Transformaciones conformes. Integración en el campo
complejo. Propiedades. Teorema de Cauchy-Goursat. Corolarios. Series de funciones
complejas. Ceros y singularidades. Teorema de Laurent. Integración en el campo real
mediante el teorema de los residuos.
• Ecuaciones Diferenciales: Concepto de ecuación diferencial. Ecuaciones lineales de
primer orden a coeficientes anal´ıticos. Caso homogéneo. Puntos ordinarios y singulares
regulares. Teorema de existencia y unicidad de las soluciones. Solución mediante series
de potencias. Concepto de serie, integral y transformada de Fourier.
Esta materia tiene Análisis Matemático II como correlativa, de lo que se desprende que
los estudiantes que cursen esta materia ya tendrán, como m´ınimo, aprobados los trabajos
prácticos de las disciplinas Álgebra, Análisis Matemático I y Análisis Matemático II.
En virtud de la profundidad alcanzada en estas disciplinas, se puede afirmar sin lugar a
dudas que el nivel en Matemática de los estudiantes es elevado, conjuntamente con el ritmo
de estudio alcanzado a esta altura de la Carrera.
Es por esto que hemos decidido elaborar un material de gu´ıa para el estudio de la materia.
Queremos aclarar que este material de manera alguna suprime la necesidad de los libros
recomendados para el estudio de la materia, sino que est á pensado para hacer coherente el
recorte de temas que la constituye.
, Notas de Clase Primera Parte. Algebra Lineal
2 Espacios Vectoriales
Definición: Todo conjunto V de elementos x, y, z... de naturaleza arbitraria para los cuales
están definidas dos operaciones, de adición y multiplicación por nú meros (escalares los cuales
se encuentran en un cuerpo) que cumplen los axiomas siguientes:
• Suma
– La suma es cerrada, es decir, x + y ∈ V
– x+y = y+x
– (x + y) + z = x + (y + z)
– Existe un elemento nulo, 0 tal que x + 0 = x ∀x ∈ V
– Para todo x ∈ V existe un xi ∈ V tal que x + xi = 0
• Producto por Nú meros
– λ·x∈V
– 1·x = x
– λ · (µ · x) = (λµ) · x
– (λ + µ) · x = λ · x + µ · x
– λ · (x + y) = λ · x + λ · y
Se denomina Espacio Vectorial.
Ejemplo 1: Sea V el conjunto de las ternas (x, y, z) de números reales para las cuales
definimos una suma:
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
y un producto por nú meros reales como
λ · (x, y, z) = (λx, λy, λz)
tiene estructura de espacio vectorial.
En efecto, consideremos tres ternas v�1 = (x1, y1, z1), v�2 = (x2, y2, z2) y v�3 = (x3, y3, z3)en
V . Tenemos que
v�1 + v�2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (x2 + x1, y2 + y1, z2 + z1)
= v�2 + v�1
v�1 + (v�2 + v�2) =
= (x1, y1, z1) + (x2 + x3, y2 + y3, z2 + z3)
= (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3), z1 + (z2 + z3))
= ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3, (z1 + z2) + z3)
= (v�1 + v�2) + v�3
Cátedra: Matemática Avanzada Año 2015
Apuntes de Matemática Avanzada
Primera Parte
Algebra Lineal
Jennifer Obregon
Cátedra: Matemática Avanzada Año 2015
,Notas de Clase Primera Parte. Algebra Lineal
I
Espacios Vectoriales y Transformaciones
Lineales
Cátedra: Matemática Avanzada Año 2015
,1 Prefacio
Este material está dedicado a la disciplina Matemática Avanzada que se encuentra en el primer
cuatrimestre del cuarto a ñ o de la carrera de Licenciatura en Meteorolog´ıa y Ciencias de la
Atmósfera, de la Facultad de Cs. Astronómicas y Geof´ısicas de la Universidad Nacional de
La Plata.
Matemática Avanzada es una materia compuesta por las siguientes unidades temáticas
• Á lgebra Lineal: Espacios Vectoriales. Subespacios. Base. Transformaciones lineales.
Cambio de base. Algebra de transformaciones lineales. Formas canónicas de transforma-
ciones lineales. Algebra tensorial. Autovalores y autovectores. Polinomio caracter´ıstico.
Polinomio m´ınimo. Forma de Jordan. Sistemas de ecuaciones lineales.
• Variable Compleja: Números complejos. Funciones complejas elementales. Funciones
anal´ıticas. Funciones armónicas. Transformaciones conformes. Integración en el campo
complejo. Propiedades. Teorema de Cauchy-Goursat. Corolarios. Series de funciones
complejas. Ceros y singularidades. Teorema de Laurent. Integración en el campo real
mediante el teorema de los residuos.
• Ecuaciones Diferenciales: Concepto de ecuación diferencial. Ecuaciones lineales de
primer orden a coeficientes anal´ıticos. Caso homogéneo. Puntos ordinarios y singulares
regulares. Teorema de existencia y unicidad de las soluciones. Solución mediante series
de potencias. Concepto de serie, integral y transformada de Fourier.
Esta materia tiene Análisis Matemático II como correlativa, de lo que se desprende que
los estudiantes que cursen esta materia ya tendrán, como m´ınimo, aprobados los trabajos
prácticos de las disciplinas Álgebra, Análisis Matemático I y Análisis Matemático II.
En virtud de la profundidad alcanzada en estas disciplinas, se puede afirmar sin lugar a
dudas que el nivel en Matemática de los estudiantes es elevado, conjuntamente con el ritmo
de estudio alcanzado a esta altura de la Carrera.
Es por esto que hemos decidido elaborar un material de gu´ıa para el estudio de la materia.
Queremos aclarar que este material de manera alguna suprime la necesidad de los libros
recomendados para el estudio de la materia, sino que est á pensado para hacer coherente el
recorte de temas que la constituye.
, Notas de Clase Primera Parte. Algebra Lineal
2 Espacios Vectoriales
Definición: Todo conjunto V de elementos x, y, z... de naturaleza arbitraria para los cuales
están definidas dos operaciones, de adición y multiplicación por nú meros (escalares los cuales
se encuentran en un cuerpo) que cumplen los axiomas siguientes:
• Suma
– La suma es cerrada, es decir, x + y ∈ V
– x+y = y+x
– (x + y) + z = x + (y + z)
– Existe un elemento nulo, 0 tal que x + 0 = x ∀x ∈ V
– Para todo x ∈ V existe un xi ∈ V tal que x + xi = 0
• Producto por Nú meros
– λ·x∈V
– 1·x = x
– λ · (µ · x) = (λµ) · x
– (λ + µ) · x = λ · x + µ · x
– λ · (x + y) = λ · x + λ · y
Se denomina Espacio Vectorial.
Ejemplo 1: Sea V el conjunto de las ternas (x, y, z) de números reales para las cuales
definimos una suma:
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
y un producto por nú meros reales como
λ · (x, y, z) = (λx, λy, λz)
tiene estructura de espacio vectorial.
En efecto, consideremos tres ternas v�1 = (x1, y1, z1), v�2 = (x2, y2, z2) y v�3 = (x3, y3, z3)en
V . Tenemos que
v�1 + v�2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
= (x2 + x1, y2 + y1, z2 + z1)
= v�2 + v�1
v�1 + (v�2 + v�2) =
= (x1, y1, z1) + (x2 + x3, y2 + y3, z2 + z3)
= (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3), z1 + (z2 + z3))
= ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3, (z1 + z2) + z3)
= (v�1 + v�2) + v�3
Cátedra: Matemática Avanzada Año 2015
