Samenvatting rekenen 1
Aantekeningen
College 0
Geschiedenis van rekenen en wiskunde:
- Van meet af aan is rekenen/wiskunde aanwezig geweest in ieder facet van de menselijke
verrichtingen. Handel, landbouw, architectuur, godsdienst, oorlog, kunst, alle hebben de
invloed van rekenen/wiskunde gevoeld. Ondanks dat rekenen/wiskunde dus overal om ons
heen is, zien veel mensen rekenen/wiskunde echter nog steeds als een vak op school, waar je
verder niet veel aan hebt.
- Leerkrachten moeten iets weten van de geschiedenis van rekenen/wiskunde en kinderen
bijbrengen hoe belangrijk en interessant het vakgebied kan zijn.
Rekenen is iets van de mensheid, kunnen dieren dit ook?:
- Dieren - en mensen - hebben tot op zekere hoogte een aangeboren gevoel voor hoeveelheid.
Subiteren = direct overzien van hoeveelheid
- Goudvinken kunnen onderscheid maken tussen verschillende hoeveelheden (3 en 1; 3 en 2; 4
en 3; maar ook 6 en 3. Proeven met ratten geven eenzelfde beeld)
- Uit experimenten blijkt dat o.a. honden, olifanten en apen het in de gaten hebben wanneer
één exemplaar weg is van een kleine hoeveelheid voorwerpen/jongenen
- Wilhelm van Osten (1838-1909) was een gepassioneerde wiskunde docent uit Berlijn,hij
bezat een paard dat kon ‘rekenen’, Kluger Hans
De eerste archeologische vondsten (kerfstokken):
- De oudste aanwijzing (35.000 v. C.) voor het vastleggen van getallen werd opgegraven in
Swaziland en bestaat uit een kuitbeen van een baviaan met 29 duidelijke inkepingen
(Lebombo-been). Het lijkt op de calendar sticks die in Namibië nog steeds worden gebruikt
door de primitieve bosjesmannen om de tijd (dagen) bij te houden.
- Ook in Europa zijn dergelijke botten uit de steentijd gevonden. Een spaakbeen van een wolf
dat in Tsjechië werd gevonden heeft 55 inkepingen in groepen van 5.
Rekenen/wiskunde in de oudheid:
- De oudste bekende teksten waarin wordt gerekend met getallen, zijn kleitabletten uit
Mesopothamie (Irak)
- In de periode 3500-300 v. Chr. waren in het Midden-Oosten en Azië wetenschappers bezig
met rekenen en wiskunde. Men gebruikte rekenen en wiskunde vaak om hele praktische
zaken op te lossen.
- Voortrekkers: Perzie, India, China, Egypte, Babylon, Mesopothamie
Het positiestelsel uit het oosten:
- Uit Mesopotamië, nu Irak, (Babyloniërs) kwam een zestigtalligstelsel. Vergelijkbaar met ons
huidige decimale stelsel, maar veel ingewikkelder. Ook gebruikte men het cijfer 0 nog niet.
- De cijfers werden geschreven in spijkerschrift. Met riet werd zacht in een kleitablet gekrast.
- Wiskunde was bij de Babyloniërs ver ontwikkeld. Ze konden met breuken en wortels
rekenen, en renteberekeningen uitvoeren
Het sexagesimale stelsel van de Babyloniers:
- Dit sexagesimale stelsel gebruiken we tegenwoordig nog voor het berekenen van de tijd.
Egyptische getalsysteem:
- Optellen: alles bij elkaar gooien en kleine getallen inwisselen voor grotere
, - Aftrekken: kleinste getal aanvullen tot grootste getal bereikt is
- Vermenigvuldigen: door verdubbelen, halveren en optellen
Het additieve systeem uit Rome:
- De romeinen 753 voor tot 476 na Christus gebruikten een additief systeem (zonder 0)
‘Ons’ decimaal positioneel getalsysteem:
- Rond 250 na Christus kwam in India het getal nul en het huidige decimale positiestelsel in
gebruik.
- Via de Arabische wereld kwam het Indiase decimale positiestelsel naar Europa. Twee boeken
van de Arabische wiskundige Al-Chwarizmi hebben veel invloed uigeoefend op het
verspreiden van dit getalsysteem.
- De wortels uit India en de Arabische wereld zijn terug te vinden in woorden zoals: cijfer, zero,
algebra en algoritme
- In 1202 publiceerde Leonardo di Pisa, bijgenaamd Fibonacci, het boek Liber Abaci, dat lange
tijd het voornaamste boek was over het rekenen met het decimale positionele getalsysteem
(o.a. het voordeel van onder elkaar rekenen)
- Het duurde tot ongeveer 1550 voordat het nieuwe systeem de traditionele systeem met
traditionele Romeinse getallen en het Romeinse telraam (abacus) verdrongen
Symbolen:
- In 1489 werd het plusteken, samen met het minteken, voor het eerst in gedrukte vorm
gebruikt in een boek van Johannes Widmann. Hij gebruikte de tekens echter om
overschotten en tekorten aan te duiden in bedrijfseconomische zin. Hij schreef over de
betekenis van de tekens: "Was - ist / das ist minus ... und das + das ist mer".
- Robert Recorde introduceerde de tekens in 1557 in Engeland; hij introduceerde tegelijkertijd
overigens ook het =-teken (bicause noe 2 thynges, can be moare equalle). In zijn boek is te
lezen: "There be other 2 signes in often use of which the first is made thus + and betokeneth
more: the other is thus made - and betokeneth lesse"
- Pas in 1700 toen grote namen als Newton het gingen gebruiken raakte het pas echt in zwang
Kommagetallen:
- In 1586 schreef Simon Stevin zijn beroemde boek ‘De Thiende’, waarin hij breken op basis
van het tientallig stelsel beschreef.
Simon Stevin:
- Volgens Stevin hadden Adam en Eva Nederlands gesproken in het paradijs. Een oertaal met
de meest korte woorden die makkelijk samenstellingen vormen. Stevin werd èèn van de
grondleggers van het wetenschappelijke Nederlands.
, - In de meeste talen is het woord voor wiskunde afgeleid van het Griekse woord Mathema, dat
wetenschap, kennis of leren betekent. Het woord wiskunde is door Stevin als Wisconst (kunst
van het zekere) aan deze wetenschap verbonden.
- Andere Nederlandse woorden die Stevin bedacht zijn: evenredigheid, loodrecht, middellijn,
maar ook het woord scheikunde
Het metriek stelsel:
- Ieder land, provincie en stad had eigen standaardmaten en daardoor was het
onderling handel drijven erg moeilijk
- Eind 18e eeuw gaf Lodewijk de 16e wetenschappers de opdracht om tot een universeel
meetsysteem te komen. Hij werd onthoofd tijdens de Franse revolutie
- Het metriekstelsel gebruikt de meter als rekeneenheid voor lengte, oppervlakte en inhoud
(ook gram en liter)
- Napoleon heeft het daarna proberen in te voeren in de landen die hij veroverd had.
College 1
Theorie
Mijn subjectief concept: wat moet een (startbekwame) leerkracht kennen en kunnen voor het vak
rekenen?:
- Zelf voldoende rekenvaardig en gecijferd zijn: sommen op niveau basisschool en onderbouw
v.o. inzichtelijk oplossen
- Rekenen-wiskunde betekenis kunnen geven voor kinderen: leerkracht herkent rekenen-
wiskunde in de omgeving en betrek actualiteiten in de les
- Oplossingsprocessen en niveauverhoging bij kinderen kunnen realiseren: de leerkracht kan
rekenfouten begrijpen en analyseren en zorgen voor niveauverhoging door het inzetten van
materialen, modellen en goede voorbeelden
- Wiskundig denken van kinderen kunnen bevorderen: de leerkracht stimuleert de wiskundige
activiteit bij de verschillende leerprocessen, zoals problemen oplossen, verwoorden, notaties
ontwikkelen
Wanneer ben je volgens kinderen een goede leerkracht?:
- Rust
- Humor
- Goede sfeer
- Duidelijke structuur
- Goede uitleg geven
- Voldoende oefenen
- Serieus worden genomen
Traditionele rekendidactiek (volgehouden tot jaren 60)
- Klassikale instructie
- Didactiek van voordoen-nadoen: veel herhalen zonder inzicht
- Weinig inzet van materialen en modellen
- Gericht op 1 vast oplossing: gebruik standaardprocedure zoals cijferen
- Rekenen los van de realiteit: veelal kale sommen zonder context
Realistische rekendidactiek:
- Hans Freudenthal verzet zich met zijn crew tegen de traditionele rekendidactiek. Zij
ontwikkelen (1970) de realistische rekendidactiek welke grote gevolgen heeft voor het
rekenen op onze basisscholen
- 1987: 15% RRD-rekenmethoden
, - 2004: 100% RRD-rekenmethonden
5 principes van realistisch rekenen-wiskunde
5 leerprincipes verbonden met 5 onderwijsprincipes:
- De opvatting leren als construeren (actieve rol kind) met het leggen van een concrete
oriëntatiebasis (context) in het onderwijs.
De verjaardag van Maaike (betekenisvol onderwijs)
Verdeel op zoveel mogelijke manieren 5 repen eerlijk onder zes kinderen (hoeveel
krijgt iedereen?)
Verdeel een cake/pannenkoeken eerlijk in 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 stukken
Wat is meer 1/5 of 3/10 pannenkoek?
- De verschillende niveaus van leren op de lange termijn met het verschaffen van modellen,
schema’s en symbolen.
- Het reflectieve moment van leren met het maken van eigen producties (ook eigen
oplossingenmanieren).
- Leren als sociale activiteit met interactief onderwijs.
- Het structuurkarakter van leren met het verstrengelen van leergangen: de relatie tussen
breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen.
Traditionele rekendidactiek versus Realistische rekendidactiek:
- Twee ‘kampen’ die elkaar bevechten in de media
- Voorlopige conclusies KNAWrapport:
Het rekenniveau is de afgelopen jaren wat gedaald (veel zelfstandig werken/weinig
interactie, weinig aandacht/onderhoud in v.o./ mbo)
TRD en RRD zijn geen eenduidige begrippen
Geen verschil gemeten tussen beide didactieken (weinig onderzoek)
RRD vraagt meer van de leerkracht dan TRD
Niveau van de leerkracht is belangrijker dan de gekozen didactiek
Meer onderwijstijd en aandacht helpt
Zwakkere leerlingen hebben behoefte aan meer sturing
Hoofdlijnenmodel:
Handelingsmodel:
Aantekeningen
College 0
Geschiedenis van rekenen en wiskunde:
- Van meet af aan is rekenen/wiskunde aanwezig geweest in ieder facet van de menselijke
verrichtingen. Handel, landbouw, architectuur, godsdienst, oorlog, kunst, alle hebben de
invloed van rekenen/wiskunde gevoeld. Ondanks dat rekenen/wiskunde dus overal om ons
heen is, zien veel mensen rekenen/wiskunde echter nog steeds als een vak op school, waar je
verder niet veel aan hebt.
- Leerkrachten moeten iets weten van de geschiedenis van rekenen/wiskunde en kinderen
bijbrengen hoe belangrijk en interessant het vakgebied kan zijn.
Rekenen is iets van de mensheid, kunnen dieren dit ook?:
- Dieren - en mensen - hebben tot op zekere hoogte een aangeboren gevoel voor hoeveelheid.
Subiteren = direct overzien van hoeveelheid
- Goudvinken kunnen onderscheid maken tussen verschillende hoeveelheden (3 en 1; 3 en 2; 4
en 3; maar ook 6 en 3. Proeven met ratten geven eenzelfde beeld)
- Uit experimenten blijkt dat o.a. honden, olifanten en apen het in de gaten hebben wanneer
één exemplaar weg is van een kleine hoeveelheid voorwerpen/jongenen
- Wilhelm van Osten (1838-1909) was een gepassioneerde wiskunde docent uit Berlijn,hij
bezat een paard dat kon ‘rekenen’, Kluger Hans
De eerste archeologische vondsten (kerfstokken):
- De oudste aanwijzing (35.000 v. C.) voor het vastleggen van getallen werd opgegraven in
Swaziland en bestaat uit een kuitbeen van een baviaan met 29 duidelijke inkepingen
(Lebombo-been). Het lijkt op de calendar sticks die in Namibië nog steeds worden gebruikt
door de primitieve bosjesmannen om de tijd (dagen) bij te houden.
- Ook in Europa zijn dergelijke botten uit de steentijd gevonden. Een spaakbeen van een wolf
dat in Tsjechië werd gevonden heeft 55 inkepingen in groepen van 5.
Rekenen/wiskunde in de oudheid:
- De oudste bekende teksten waarin wordt gerekend met getallen, zijn kleitabletten uit
Mesopothamie (Irak)
- In de periode 3500-300 v. Chr. waren in het Midden-Oosten en Azië wetenschappers bezig
met rekenen en wiskunde. Men gebruikte rekenen en wiskunde vaak om hele praktische
zaken op te lossen.
- Voortrekkers: Perzie, India, China, Egypte, Babylon, Mesopothamie
Het positiestelsel uit het oosten:
- Uit Mesopotamië, nu Irak, (Babyloniërs) kwam een zestigtalligstelsel. Vergelijkbaar met ons
huidige decimale stelsel, maar veel ingewikkelder. Ook gebruikte men het cijfer 0 nog niet.
- De cijfers werden geschreven in spijkerschrift. Met riet werd zacht in een kleitablet gekrast.
- Wiskunde was bij de Babyloniërs ver ontwikkeld. Ze konden met breuken en wortels
rekenen, en renteberekeningen uitvoeren
Het sexagesimale stelsel van de Babyloniers:
- Dit sexagesimale stelsel gebruiken we tegenwoordig nog voor het berekenen van de tijd.
Egyptische getalsysteem:
- Optellen: alles bij elkaar gooien en kleine getallen inwisselen voor grotere
, - Aftrekken: kleinste getal aanvullen tot grootste getal bereikt is
- Vermenigvuldigen: door verdubbelen, halveren en optellen
Het additieve systeem uit Rome:
- De romeinen 753 voor tot 476 na Christus gebruikten een additief systeem (zonder 0)
‘Ons’ decimaal positioneel getalsysteem:
- Rond 250 na Christus kwam in India het getal nul en het huidige decimale positiestelsel in
gebruik.
- Via de Arabische wereld kwam het Indiase decimale positiestelsel naar Europa. Twee boeken
van de Arabische wiskundige Al-Chwarizmi hebben veel invloed uigeoefend op het
verspreiden van dit getalsysteem.
- De wortels uit India en de Arabische wereld zijn terug te vinden in woorden zoals: cijfer, zero,
algebra en algoritme
- In 1202 publiceerde Leonardo di Pisa, bijgenaamd Fibonacci, het boek Liber Abaci, dat lange
tijd het voornaamste boek was over het rekenen met het decimale positionele getalsysteem
(o.a. het voordeel van onder elkaar rekenen)
- Het duurde tot ongeveer 1550 voordat het nieuwe systeem de traditionele systeem met
traditionele Romeinse getallen en het Romeinse telraam (abacus) verdrongen
Symbolen:
- In 1489 werd het plusteken, samen met het minteken, voor het eerst in gedrukte vorm
gebruikt in een boek van Johannes Widmann. Hij gebruikte de tekens echter om
overschotten en tekorten aan te duiden in bedrijfseconomische zin. Hij schreef over de
betekenis van de tekens: "Was - ist / das ist minus ... und das + das ist mer".
- Robert Recorde introduceerde de tekens in 1557 in Engeland; hij introduceerde tegelijkertijd
overigens ook het =-teken (bicause noe 2 thynges, can be moare equalle). In zijn boek is te
lezen: "There be other 2 signes in often use of which the first is made thus + and betokeneth
more: the other is thus made - and betokeneth lesse"
- Pas in 1700 toen grote namen als Newton het gingen gebruiken raakte het pas echt in zwang
Kommagetallen:
- In 1586 schreef Simon Stevin zijn beroemde boek ‘De Thiende’, waarin hij breken op basis
van het tientallig stelsel beschreef.
Simon Stevin:
- Volgens Stevin hadden Adam en Eva Nederlands gesproken in het paradijs. Een oertaal met
de meest korte woorden die makkelijk samenstellingen vormen. Stevin werd èèn van de
grondleggers van het wetenschappelijke Nederlands.
, - In de meeste talen is het woord voor wiskunde afgeleid van het Griekse woord Mathema, dat
wetenschap, kennis of leren betekent. Het woord wiskunde is door Stevin als Wisconst (kunst
van het zekere) aan deze wetenschap verbonden.
- Andere Nederlandse woorden die Stevin bedacht zijn: evenredigheid, loodrecht, middellijn,
maar ook het woord scheikunde
Het metriek stelsel:
- Ieder land, provincie en stad had eigen standaardmaten en daardoor was het
onderling handel drijven erg moeilijk
- Eind 18e eeuw gaf Lodewijk de 16e wetenschappers de opdracht om tot een universeel
meetsysteem te komen. Hij werd onthoofd tijdens de Franse revolutie
- Het metriekstelsel gebruikt de meter als rekeneenheid voor lengte, oppervlakte en inhoud
(ook gram en liter)
- Napoleon heeft het daarna proberen in te voeren in de landen die hij veroverd had.
College 1
Theorie
Mijn subjectief concept: wat moet een (startbekwame) leerkracht kennen en kunnen voor het vak
rekenen?:
- Zelf voldoende rekenvaardig en gecijferd zijn: sommen op niveau basisschool en onderbouw
v.o. inzichtelijk oplossen
- Rekenen-wiskunde betekenis kunnen geven voor kinderen: leerkracht herkent rekenen-
wiskunde in de omgeving en betrek actualiteiten in de les
- Oplossingsprocessen en niveauverhoging bij kinderen kunnen realiseren: de leerkracht kan
rekenfouten begrijpen en analyseren en zorgen voor niveauverhoging door het inzetten van
materialen, modellen en goede voorbeelden
- Wiskundig denken van kinderen kunnen bevorderen: de leerkracht stimuleert de wiskundige
activiteit bij de verschillende leerprocessen, zoals problemen oplossen, verwoorden, notaties
ontwikkelen
Wanneer ben je volgens kinderen een goede leerkracht?:
- Rust
- Humor
- Goede sfeer
- Duidelijke structuur
- Goede uitleg geven
- Voldoende oefenen
- Serieus worden genomen
Traditionele rekendidactiek (volgehouden tot jaren 60)
- Klassikale instructie
- Didactiek van voordoen-nadoen: veel herhalen zonder inzicht
- Weinig inzet van materialen en modellen
- Gericht op 1 vast oplossing: gebruik standaardprocedure zoals cijferen
- Rekenen los van de realiteit: veelal kale sommen zonder context
Realistische rekendidactiek:
- Hans Freudenthal verzet zich met zijn crew tegen de traditionele rekendidactiek. Zij
ontwikkelen (1970) de realistische rekendidactiek welke grote gevolgen heeft voor het
rekenen op onze basisscholen
- 1987: 15% RRD-rekenmethoden
, - 2004: 100% RRD-rekenmethonden
5 principes van realistisch rekenen-wiskunde
5 leerprincipes verbonden met 5 onderwijsprincipes:
- De opvatting leren als construeren (actieve rol kind) met het leggen van een concrete
oriëntatiebasis (context) in het onderwijs.
De verjaardag van Maaike (betekenisvol onderwijs)
Verdeel op zoveel mogelijke manieren 5 repen eerlijk onder zes kinderen (hoeveel
krijgt iedereen?)
Verdeel een cake/pannenkoeken eerlijk in 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 stukken
Wat is meer 1/5 of 3/10 pannenkoek?
- De verschillende niveaus van leren op de lange termijn met het verschaffen van modellen,
schema’s en symbolen.
- Het reflectieve moment van leren met het maken van eigen producties (ook eigen
oplossingenmanieren).
- Leren als sociale activiteit met interactief onderwijs.
- Het structuurkarakter van leren met het verstrengelen van leergangen: de relatie tussen
breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen.
Traditionele rekendidactiek versus Realistische rekendidactiek:
- Twee ‘kampen’ die elkaar bevechten in de media
- Voorlopige conclusies KNAWrapport:
Het rekenniveau is de afgelopen jaren wat gedaald (veel zelfstandig werken/weinig
interactie, weinig aandacht/onderhoud in v.o./ mbo)
TRD en RRD zijn geen eenduidige begrippen
Geen verschil gemeten tussen beide didactieken (weinig onderzoek)
RRD vraagt meer van de leerkracht dan TRD
Niveau van de leerkracht is belangrijker dan de gekozen didactiek
Meer onderwijstijd en aandacht helpt
Zwakkere leerlingen hebben behoefte aan meer sturing
Hoofdlijnenmodel:
Handelingsmodel:
