Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Samenvatting Beeld van een kind
Hoofdstuk 1 (Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen)
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen
Bij deze domeinen kan je bij elk domein een relatief aspect onderscheiden, zijn
kommagetallen decimale breuken en kunnen breuken en procenten allebei een verhouding
aangeven. Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel. Een
percentage geeft de verhouding aan tussen een deel en een gehele dat op 100 is gesteld.
Aan de andere kant kennen de domeinen elk hun eigen gebruik en verschijningsvormen in
de realiteit. Bij geldbedragen gebruiken we kommagetallen, en procenten kom je veel tegen
bij kortingen en rente.
1.1.2 Absoluut en relatief
Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen
verwijzen. Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige
gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt aflezen. Voor de
zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het onderscheid van absoluut en relatief
belangrijk. Zonder begrip hiervan kun je veel informatie uit het nieuws niet begrijpen.
Je kan de absolute en relatieve gegevens onderscheiden door middel van het strookmodel.
Bij stroken staan zowel de absolute gegevens als de relatieve gegevens. De strook maakt
zichtbaar hoe je verschillende relatieve gegevens met elkaar kunt vergelijken: door het
totale aantal op 100% te stellen en de stroken even lang te maken.
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is het verstandig
de getallen benoemd te noten. Bijvoorbeeld: zoveel keer raak, of zoveel euro. Dit helpt om
het onderscheid tussen absolute en relatieve gegevens duidelijk te houden.
1.2 Onderlinge relaties
Om goed te kunnen redeneren en rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen moeten kinderen greep krijgen op de onderlinge samenhang. Voor sommige
kinderen is dit lastig, met name als gebroken getallen, verhoudingen en procenten voor hen
onvoldoende betekenis hebben. De leerkracht moet bewust aandacht besteden aan
betekenisverlening.
1.2.1 Begrip
Om kinderen greep te laten krijgen op verhoudingen, procenten, en gebroken getallen,
besteden methodes aandacht aan de verschillende verschijningsvormen ervan. Om de
samenhang te kunnen doorzien, is het nodig dat kinderen leren dat de domeinen in de
realiteit door elkaar voorkomen. Daarnaast leren kinderen de betekenis van bewerkingen
met verhoudingen en breuken te doorzien, zoals:
1/5 x 10 betekent het 1/5 deel nemen van 10;
20% is hetzelfde als 1/5, want 100 : 5 is 20;
1/5 is eigenlijk 1 gedeeld door 5.
,Door het beredeneren van onderlinge relaties, kan je misvattingen voorkomen, zoals: een
vierde deel is hetzelfde als 4%. Ook als kinderen hier goed inzicht op hebben, blijft het
helpen om onderlinge relaties te visualiseren.
Breuken en kommagetallen kennen overeenkomsten en verschillen. In betekenis komen ze
met elkaar overeen: het zijn beiden gebroken getallen. De notatie verschilt echter.
Kommagetallen lijken op hele getallen. Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen
en breuken rationele getallen met verschillende notitiewijzen.
De opvallendste overeenkomst is dat je zowel breuken als kommagetallen tegenkomst als
meetgetallen. Verder zijn er vooral verschillen. Breuken komen vaker voor als deel van een
geheel en een deel van een hoeveelheid, een kommagetal bijna nooit. Bij onvoldoende
begrip halen kinderen dit soort getallen door elkaar. Ze denken dat 1/5 gelijk staat aan 0,5.
Om dit soort relaties inzichtelijk te laten afleiden, kun je naast het strookmodel
gebruikmaken van de verschijningvorm meetgetal. Bijvoorbeeld met behulp van geld.
Een moeilijkheid hierbij kan zijn is dat 0,10 gelijk staat aan 0,1. Kinderen moet duidelijk
gemaakt worden dat je alleen nullen kan toevoegen na het laatste getal en niet daarvoor.
Een manier om hier inzichtelijk mee om te gaan, is het gebruik van verschillende
ondermaten die kinderen zelf kunnen beredeneren. Bijvoorbeeld: 0,1 meter = 1 decimeter, 1
decimeter = 10 centimeter, en daarom mag je ook schrijven 0,10 meter. Dat 0,01 meter een
andere afstand is, kan worden nagegaan met dezelfde ondermaat: 0,01 meter = 1
centimeter.
Als je breuken als 1/7 opschrijft als kommagetal door de breuk op te vatten als een deling,
zie je dat de uitkomst van die deling een bijzonder uiterlijk heeft. Als je de uitkomst
hoofdrekenend bepaalt, is die ontdekking makkelijk te doen:
- Hoeveel zevens gaan er in 1? Noteer een 0 en een komma. Over 1;
- Hoeveel zevens in 10? 1, over 3;
- Hoeveel zevens in 30? 4, over 2;
- Hoeveel zevens in 20? 2 over 6;
- Hoeveel zevens in 60? 8, over 4;
- Hoeveel zevens in 40? 5, over 5;
- Hoeveel zevens in 50? 7, over 1;
Hoeveel zevens in 10? Dat hadden we al, dus vanaf hier herhaald het zich. Er is een sliert van
decimalen die zichzelf herhaalt: 0,142857142857... De breuk 1/7 heet een repeterende
breuk en de sliert 142857 heet het repetendum.
Omgekeerd kan het ook. Als de breuk niet repeteert, is het eenvoudig. Bijvoorbeeld 3,152 =
3 + 1/10 + 5/100 + 2/1000 = 3 152/1000 = 197/64 = 3 5/64. Je schrijft het getal als tiendelige
breuk die je verder vereenvoudigt.
Bij een repeterende breuk vermenigvuldig je het gezochte getal net zo vaak met 10 als het
repetendum lang is. Bij de repeterende breuk 0,461538461538... zijn er 6 cijfers, dus je
vermenigvuldigt met 1 000 000. Trek van deze uitkomst de gedeelde breuk af, dan
verdwijnen de decimalen. Wat overblijft is 999 999 (1 000 000 – 1) keer het gezochte getal
met als uitkomst 461 538. Daarmee is de breuk bekend: 461 538/999 999 = 6/13.
, Een breuk kan een absoluut getal of operator zijn. Een breuk als absoluut getal kun je
weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een heel getal. Een operator doet iets met
een getal, hoeveelheid of prijs. Als een pak konijnenvoer 1 kg weegt, heeft 3/5 aan wat er
met 1 kg gebeurt. Zo wordt er een deel van een geheel bepaald (relatief gegeven). Een breuk
kan een absoluut als relatief getal representeren.
Een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is altijd een operator. 20% staat niet
gelijk aan 1/5 omdat dit een absoluut getal is en 20% een operator. Wel is het zo dat 20%
van iets hetzelfde is als 1/5 deel van iets. In het laatste geval is de breuk een operator.
1.2.2 Weetjes
Allerlei relaties moeten in de vorm van declaratieve kennis (parate feitenkennis) beschikbaar
zijn, zoals 1/2 = 5/10 = 0,5 = 1 : 2 = 50%. Eerst oefen je dit modelondersteund, maar al snel
formeel.
Verhoudingen fotocamera
Op een fotocamera kun je de volgende getallen aantreffen: 1, 2, 4, 8, 15, 30, 60, 125, 250,
500 en 1000. Dit zijn de noemers van breuken die de sluitingstijd aangeven, dus 1/1, 1/2,
1/250, etc. De sluitertijd is de tijd die de sluiter van de camera openstaat, gemeten in
seconden. Dus 1/1000 staat voor een sluitertijd van een milliseconde.
Ook kan je een andere reeks getallen aantreffen: 1, 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16 en 22.6. dit
zijn diafragmagetallen: een maat voor de grootte van de lensopening. Per stap treedt
ongeveer een halvering op. Dit is een halvering van oppervlakte (van de hoeveelheid licht die
naar binnen kan).
Beide systemen zijn ontworpen om de hoeveelheid licht die op de gevoelige plaat komt te
reguleren. Door een slimme combinatie van sluitertijd en diafragma te kiezen, kan een
fotograaf in elke omstandigheid een goede foto maken.
Hoofdstuk 2 (Verhoudingen)
2.2 Verhoudingen op de basisschool
Om verhoudingen aan de orde te stellen, worden allerlei verschijningsvormen uit de realiteit
benut: vergroten/verkleinen, verhoudingsgetrouwe afbeeldingen en modellen en kaarten op
schaal. Bij meten en meetkunde gaat het vaak om verhoudingen.
2.2.1 Schets van de leerlijn verhoudingen
Informeel handelend en redeneren Kwalitatieve verhoudingen Groep 1/2
Kwantificeren van verhoudingen Vanaf groep 3
Modelondersteund redeneren en Eenvoudige contexten vermenigvuldigen en Vanaf groep 4
rekenen in contextsituaties delen
Complexere contexten en getallen Vanaf groep 5
Formele verhoudingentaal
Modelondersteund en formeel Relatie met breuken Vanaf groep 6
redeneren en rekenen Procenten Vanaf groep 7
Samenvatting Beeld van een kind
Hoofdstuk 1 (Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen)
1.1.1 Overeenkomsten en verschillen
Bij deze domeinen kan je bij elk domein een relatief aspect onderscheiden, zijn
kommagetallen decimale breuken en kunnen breuken en procenten allebei een verhouding
aangeven. Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel. Een
percentage geeft de verhouding aan tussen een deel en een gehele dat op 100 is gesteld.
Aan de andere kant kennen de domeinen elk hun eigen gebruik en verschijningsvormen in
de realiteit. Bij geldbedragen gebruiken we kommagetallen, en procenten kom je veel tegen
bij kortingen en rente.
1.1.2 Absoluut en relatief
Absolute gegevens zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden of aantallen
verwijzen. Relatieve gegevens over hoeveelheden of aantallen zijn verhoudingsmatige
gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke getal of aantal aan kunt aflezen. Voor de
zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het onderscheid van absoluut en relatief
belangrijk. Zonder begrip hiervan kun je veel informatie uit het nieuws niet begrijpen.
Je kan de absolute en relatieve gegevens onderscheiden door middel van het strookmodel.
Bij stroken staan zowel de absolute gegevens als de relatieve gegevens. De strook maakt
zichtbaar hoe je verschillende relatieve gegevens met elkaar kunt vergelijken: door het
totale aantal op 100% te stellen en de stroken even lang te maken.
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is het verstandig
de getallen benoemd te noten. Bijvoorbeeld: zoveel keer raak, of zoveel euro. Dit helpt om
het onderscheid tussen absolute en relatieve gegevens duidelijk te houden.
1.2 Onderlinge relaties
Om goed te kunnen redeneren en rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen moeten kinderen greep krijgen op de onderlinge samenhang. Voor sommige
kinderen is dit lastig, met name als gebroken getallen, verhoudingen en procenten voor hen
onvoldoende betekenis hebben. De leerkracht moet bewust aandacht besteden aan
betekenisverlening.
1.2.1 Begrip
Om kinderen greep te laten krijgen op verhoudingen, procenten, en gebroken getallen,
besteden methodes aandacht aan de verschillende verschijningsvormen ervan. Om de
samenhang te kunnen doorzien, is het nodig dat kinderen leren dat de domeinen in de
realiteit door elkaar voorkomen. Daarnaast leren kinderen de betekenis van bewerkingen
met verhoudingen en breuken te doorzien, zoals:
1/5 x 10 betekent het 1/5 deel nemen van 10;
20% is hetzelfde als 1/5, want 100 : 5 is 20;
1/5 is eigenlijk 1 gedeeld door 5.
,Door het beredeneren van onderlinge relaties, kan je misvattingen voorkomen, zoals: een
vierde deel is hetzelfde als 4%. Ook als kinderen hier goed inzicht op hebben, blijft het
helpen om onderlinge relaties te visualiseren.
Breuken en kommagetallen kennen overeenkomsten en verschillen. In betekenis komen ze
met elkaar overeen: het zijn beiden gebroken getallen. De notatie verschilt echter.
Kommagetallen lijken op hele getallen. Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen
en breuken rationele getallen met verschillende notitiewijzen.
De opvallendste overeenkomst is dat je zowel breuken als kommagetallen tegenkomst als
meetgetallen. Verder zijn er vooral verschillen. Breuken komen vaker voor als deel van een
geheel en een deel van een hoeveelheid, een kommagetal bijna nooit. Bij onvoldoende
begrip halen kinderen dit soort getallen door elkaar. Ze denken dat 1/5 gelijk staat aan 0,5.
Om dit soort relaties inzichtelijk te laten afleiden, kun je naast het strookmodel
gebruikmaken van de verschijningvorm meetgetal. Bijvoorbeeld met behulp van geld.
Een moeilijkheid hierbij kan zijn is dat 0,10 gelijk staat aan 0,1. Kinderen moet duidelijk
gemaakt worden dat je alleen nullen kan toevoegen na het laatste getal en niet daarvoor.
Een manier om hier inzichtelijk mee om te gaan, is het gebruik van verschillende
ondermaten die kinderen zelf kunnen beredeneren. Bijvoorbeeld: 0,1 meter = 1 decimeter, 1
decimeter = 10 centimeter, en daarom mag je ook schrijven 0,10 meter. Dat 0,01 meter een
andere afstand is, kan worden nagegaan met dezelfde ondermaat: 0,01 meter = 1
centimeter.
Als je breuken als 1/7 opschrijft als kommagetal door de breuk op te vatten als een deling,
zie je dat de uitkomst van die deling een bijzonder uiterlijk heeft. Als je de uitkomst
hoofdrekenend bepaalt, is die ontdekking makkelijk te doen:
- Hoeveel zevens gaan er in 1? Noteer een 0 en een komma. Over 1;
- Hoeveel zevens in 10? 1, over 3;
- Hoeveel zevens in 30? 4, over 2;
- Hoeveel zevens in 20? 2 over 6;
- Hoeveel zevens in 60? 8, over 4;
- Hoeveel zevens in 40? 5, over 5;
- Hoeveel zevens in 50? 7, over 1;
Hoeveel zevens in 10? Dat hadden we al, dus vanaf hier herhaald het zich. Er is een sliert van
decimalen die zichzelf herhaalt: 0,142857142857... De breuk 1/7 heet een repeterende
breuk en de sliert 142857 heet het repetendum.
Omgekeerd kan het ook. Als de breuk niet repeteert, is het eenvoudig. Bijvoorbeeld 3,152 =
3 + 1/10 + 5/100 + 2/1000 = 3 152/1000 = 197/64 = 3 5/64. Je schrijft het getal als tiendelige
breuk die je verder vereenvoudigt.
Bij een repeterende breuk vermenigvuldig je het gezochte getal net zo vaak met 10 als het
repetendum lang is. Bij de repeterende breuk 0,461538461538... zijn er 6 cijfers, dus je
vermenigvuldigt met 1 000 000. Trek van deze uitkomst de gedeelde breuk af, dan
verdwijnen de decimalen. Wat overblijft is 999 999 (1 000 000 – 1) keer het gezochte getal
met als uitkomst 461 538. Daarmee is de breuk bekend: 461 538/999 999 = 6/13.
, Een breuk kan een absoluut getal of operator zijn. Een breuk als absoluut getal kun je
weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een heel getal. Een operator doet iets met
een getal, hoeveelheid of prijs. Als een pak konijnenvoer 1 kg weegt, heeft 3/5 aan wat er
met 1 kg gebeurt. Zo wordt er een deel van een geheel bepaald (relatief gegeven). Een breuk
kan een absoluut als relatief getal representeren.
Een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is altijd een operator. 20% staat niet
gelijk aan 1/5 omdat dit een absoluut getal is en 20% een operator. Wel is het zo dat 20%
van iets hetzelfde is als 1/5 deel van iets. In het laatste geval is de breuk een operator.
1.2.2 Weetjes
Allerlei relaties moeten in de vorm van declaratieve kennis (parate feitenkennis) beschikbaar
zijn, zoals 1/2 = 5/10 = 0,5 = 1 : 2 = 50%. Eerst oefen je dit modelondersteund, maar al snel
formeel.
Verhoudingen fotocamera
Op een fotocamera kun je de volgende getallen aantreffen: 1, 2, 4, 8, 15, 30, 60, 125, 250,
500 en 1000. Dit zijn de noemers van breuken die de sluitingstijd aangeven, dus 1/1, 1/2,
1/250, etc. De sluitertijd is de tijd die de sluiter van de camera openstaat, gemeten in
seconden. Dus 1/1000 staat voor een sluitertijd van een milliseconde.
Ook kan je een andere reeks getallen aantreffen: 1, 1.4, 2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16 en 22.6. dit
zijn diafragmagetallen: een maat voor de grootte van de lensopening. Per stap treedt
ongeveer een halvering op. Dit is een halvering van oppervlakte (van de hoeveelheid licht die
naar binnen kan).
Beide systemen zijn ontworpen om de hoeveelheid licht die op de gevoelige plaat komt te
reguleren. Door een slimme combinatie van sluitertijd en diafragma te kiezen, kan een
fotograaf in elke omstandigheid een goede foto maken.
Hoofdstuk 2 (Verhoudingen)
2.2 Verhoudingen op de basisschool
Om verhoudingen aan de orde te stellen, worden allerlei verschijningsvormen uit de realiteit
benut: vergroten/verkleinen, verhoudingsgetrouwe afbeeldingen en modellen en kaarten op
schaal. Bij meten en meetkunde gaat het vaak om verhoudingen.
2.2.1 Schets van de leerlijn verhoudingen
Informeel handelend en redeneren Kwalitatieve verhoudingen Groep 1/2
Kwantificeren van verhoudingen Vanaf groep 3
Modelondersteund redeneren en Eenvoudige contexten vermenigvuldigen en Vanaf groep 4
rekenen in contextsituaties delen
Complexere contexten en getallen Vanaf groep 5
Formele verhoudingentaal
Modelondersteund en formeel Relatie met breuken Vanaf groep 6
redeneren en rekenen Procenten Vanaf groep 7
