Hoofdstuk 2 Verhoudingen
2.1 Verhoudingen zijn overal
Voorbeelden verhoudingsgewijs redeneren
- Dat Pieters grote broer meer eet dan Pieter, komt natuurlijk doordat hij veel groter is.
- Aan de grootte van de schoenen, kan Pieter zien of ze van zijn broer of vader zijn, zelfs al kent hij
de schoenen niet.
- Als de honden een kluif krijgen, krijgt de herder een grotere dan de teckel, dat is wel zo eerlijk.
- Als er vrienden komen eten, maak je overal meer van klaar dan wanneer je in je eentje eet.
2.1.1 Evenredige verbanden
- Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
- Interne en externe verhoudingen
- Verhoudingsdeling en Verdelingsdeling
- Lineair verband
Recht evenredig verband
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen. Een evenredig verband: Als het ene getal zoveel keer zo groot (of klein) wordt, wordt
het andere getal (of de andere getallen) ook zoveel keer zo groot (of klein).
Bijv. de verhouding tussen jongens en meisjes op de pabo. Als 1 op de 4 studenten een jongen is, dan
zitten op een pabo met ongeveer 800 studenten waarschijnlijk zo’n 200 jongens.
In verhouding en eenheid
Dagelijks kom je veel verhoudingen tegen. In de supermarkt zijn vergelijkbare producten vaak te
koop in verpakkingen met verschillende inhoud. Welk merk is in verhouding het goedkoopst? Niet
kijken naar absolute prijs (=prijs voor een toevallige verpakking of hoeveelheid), maar naar prijs van
een bepaalde, vergelijkbare eenheid of maat.
Naar rato
Bijv. een verhouding tussen prijs en gewicht. Naarmate je meer gewicht koopt, stijgt de prijs
evenredig. Als de slager vraagt of het een beetje meer mag zijn, ga je er vanuit dat de prijs naar rato,
ofwel naar verhouding, stijgt.
Andere verhoudingen zijn tussen hoeveelheid en prijs, inhoud en prijs en tussen gewicht en prijs.
Grootheid
Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte, gewicht en inhoud.
Verschijningsvormen
Verhoudingen maken het mogelijk zaken met elkaar te vergelijken. Verschijningsvormen:
- Hoeveel elk merk koffie per bepaalde eenheid kost.
- Benzineverbruik van auto’s: als je 1 op 12 rijdt betaal je meer dan bij 1 op 20.
- Sterkte van koffie (of zoetheid van ranja, of sterkte van alcoholische dranken).
- Recepten, bijv. als je de ingrediënten voor een recept voor vier personen omrekent voor zes
personen.
- Snelheid.
- Bevolkingsdichtheid.
Samengestelde grootheid
Verschijningsvormen als snelheid en dichtheid.
Snelheid kun je uitdrukken in het aantal afgelegde kilometers per uur (km/u).
1
,Die km/u is samengesteld uit de grootheid lengte, met de maateenheid kilometer, en de grootheid
tijd, met de maat uur. De maat uur wordt bij het uitdrukken van snelheid op 1 gesteld.
Grootheid: lengte, afstand, tijd etc.
Maateenheid: km, uur etc.
Schaal
Een schaal geeft de verhouding aan tussen een weergave en de werkelijke grootte ervan.
Bijv. op landkaarten, plattegronden, speelgoed, schaalmodellen en Madurodam.
1 : 80000 (spreek uit: ‘1 staat tot 80.000’ of ‘1 op 80.000’) betekent dat 1 centimeter op de kaart in
werkelijkheid 80.000 centimeter is of 800 meter. Bij deze formele schaalnotatie worden beide
getallen in dezelfde maateenheid genoteerd. Welke maateenheid maakt niet uit. Schaal is
onafhankelijk van de gebruikte maateenheid.
Schaal 1 : 1: afbeelding op ware grootte. Schaal 20 : 1: iets is 20 keer zo groot afgebeeld dan in
werkelijkheid, bijv. een vergrote tekening van een klein insect.
Bij veel getalsmatige informatie gaat het om verhoudingen. Hoe vaak een bepaalde beroepsziekte
voorkomt, hoeveel de kosten van treinvervoer stijgen, hoe hoog de inflatie is, hoeveel geld je nodig
hebt voor de huur en hoeveel er overblijft voor de boodschappen. Bij deze informatie gaat het steeds
om verhoudingen, ook al worden die soms als breuk of percentage uitgedrukt.
Gestandaardiseerde verhouding
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op honderd gesteld.
Bijv. 5 procent is 5 van de 100.
Niet-gestandaardiseerde verhoudingen
Bij niet-gestandaardiseerde verhoudingen kan het totaal van alles zijn, zoals bij 2 op de 7 of 1 op de 2
miljoen. Niet-gestandaardiseerde verhoudingen zijn daardoor lastiger te vergelijken dan procenten.
Het uitdrukken van zaken in verhoudingen helpt om informatie letterlijk, maar ook figuurlijk in
verhouding te zien, ofwel op waarde te kunnen schatten (zie vb. wereldkaart p. 28).
Wanverhoudingen
Worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om aandacht te trekken. Bijv. in reclame,
(politieke) cartoons en kunst.
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Kwantitatieve verhoudingen
De verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen.
Bijv. ‘1 op de 6 Nederlandse kleuters is te zwaar terwijl 1 op de 3 kleuters in Afrika en Azië ondervoed
is’ en ’deze kaart heeft een schaal van 1 : 80000’.
Verhoudingen worden over het algemeen aangegeven met getallen.
Kwalitatieve verhoudingen
Kwalitatieve verhoudingen worden uitgedrukt in woorden, er komt geen getal aan te pas. Bijv. ‘de
schoenendoos op p. 25 is naar verhouding te groot’ en ‘een kind is lang voor zijn leeftijd’.
Meetkundig verband
Een kwalitatieve verhouding is vaak een meetkundig verband. Andersom sowieso: een meetkundige
verhouding is altijd kwalitatief.
2
,Zodra je er een getal aan toekent is sprake van een kwantitatieve verhouding, bijv. door de
schoenendoos op te meten en de schaal vast te stellen.
Het onderscheid tussen kwalitatieve en kwantitatieve verhouding zegt dus ook iets over hoe de
verhouding wordt waargenomen en tot uitdrukking wordt gebracht.
Interne en externe verhoudingen
Een verhouding kan betrekking hebben op grootheden, maar ook op andere zaken waar een getal
aan kan worden toegekend. Bijv. het aantal mannelijke en het totale aantal pabostudenten bij de
verhouding ‘1 op de 4 pabostudenten is een jongen’. Hier gaat het om de ‘eenheid’ pabostudent.
Interne verhouding
Als een verhouding één grootheid of eenheid betreft.
Bijv. ‘de spoorbomen zijn 1 op de 10 minuten dicht’, ‘1 op de 4 pabostudenten is een jongen’ en ‘1 op
de 3 kinderen uit deze klas heeft een huisdier’.
Externe verhouding
Twee verschillende grootheden.
Bijv. de afgelegde afstand in een bepaalde tijd (ofwel de samengestelde grootheid snelheid) en prijs
per gewicht.
Bij delen onderscheid tussen een verhoudingsdeling en verdelingsdeling
Verhoudingsdeling
Er zijn 12 snoepjes. Hoeveel groepjes van 4 snoepjes kan ik maken?
Bij de verhoudingsdeling representeren deeltal en deler hetzelfde: 12 (snoepjes) : 4 (snoepjes)
uitkomst is hier 3 groepjes (van elk 4 snoepjes).
Het gaat dus om de (interne) verhouding van het deel ten opzichte van het geheel.
Verdelingsdeling
3 kinderen verdelen 12 snoepjes. Hoeveel snoepjes krijgt elk kind?
Bij de verdelingsdeling representeren deeltal en deler elk iets anders: 12 (snoepjes) : 3 (kinderen) =….
De uitkomst representeert het aantal snoepjes dat elk kind krijgt.
Het aantal snoepjes per kind is feitelijk een externe verhouding.
Lineair verband
Lineair verband
Een verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft.
Gaat die grafiek door de oorsprong (het snijpunt van de verticale en de horizontale as), dan is het
verband een evenredig verband ofwel een verhouding.
Bijv. op vakantie huur je een auto en er geldt een huurprijs per dag.
Dan is er een evenredig verband – dus verhouding – tussen het aantal huurdagen en de prijs.
Maar als de prijs wordt bepaald door aan de prijs nog een vast startbedrag toe te voegen, dan is er
wél een lineair verband, maar geen verhouding.
2.1.2 Niet-evenredige verbanden
Niet-evenredige verbanden
3
, Sommige verbanden zijn niet evenredig en dus ook geen verhouding, zie p. 33. Bijv. ruimtelijke
figuren als kubus, dieren etc.
- Als iets twee keer zo groot wordt, verdubbelt de lengte.
- De oppervlakte wordt dan in twee richtingen verdubbeld (in lengte en in breedte) en wordt dan
vier keer zo groot.
- De inhoud wordt in drie richtingen verdubbeld (lengte, diepte en hoogte) en wordt dan acht keer
zo groot.
Dit principe speelt o.a. een rol bij het werken met schaal en landkaarten.
Vaak is het taalgebruik niet eenduidig, waardoor het extra ingewikkeld wordt. Met twee keer zo
groot wordt soms bedoeld dat iets twee keer lang is, soms ook dat de oppervlakte tweemaal zo groot
is. In sommige streken in NL wordt ‘een keer zo groot’ of ‘eens zo groot’ gezegd wanneer ‘twee keer
zo groot’ wordt bedoeld. Mensen spreken vaak van ‘drie keer meer’ als ze ‘drie keer zo veel’
bedoelen, terwijl ‘drie keer meer’ feitelijk ‘vier keer zo veel’ betekent. Het woord ‘meer’ duidt
namelijk op een additieve betekenis, terwijl het woord ‘keer’ in een multiplicatieve context past.
Andere niet-evenredige verbanden: exponentiële, logaritmische, logistische of wortelfuncties.
Omgekeerd evenredige verbanden
Verbanden die wel evenredig zijn maar geen verhouding.
Bijv. het verband tussen snelheid en tijd: naarmate je sneller rijdt of fietst, heb je minder tijd nodig
om op je bestemming te komen.
Break-evenpoint
Welke aanbieding is voordeliger? Je koopt een mobieltje van € 179,95 met een maandabonnement
van 19,95. Na hoeveel maanden zijn de kosten hiervan gelijk aan die van het andere abonnement?
Dit heet break-evenpoint. Visualiseer de kosten van de twee aanbiedingen in een lijngrafiek zodat
het break-evenpoint zichtbaar wordt.
2.1.3 Bijzondere verhoudingen
Gulden snede
De verhouding π
Gulden snede
Als je een lijnstuk zo in tweeën verdeelt dat de verhouding van het kleinste deel ten opzichte van het
grootste deel dezelfde is als de verhouding van het grootste deel tot het hele lijnstuk. Deze verdeling
is bij een lijnstuk van 1 meter ongeveer 38,2 en 61,8 cm.
Een veelgebruikte benadering van de gulden snede is 0,618. Het precieze verhoudingsgetal heeft een
oneindig aantal decimalen en wordt aangeduid aan met φ (phi).
Staat sinds de zeventiende eeuw voor een schoonheidsideaal: de mooiste verhouding die bestaat.
Een rechthoek waarvan de korte en de lange zijde zich verhouden als de gulden snede, zou de mooist
denkbare rechthoek opleveren. Dit werd wel de ‘goddelijke verhouding’ genoemd. In architectuur en
kunst, in de natuur bijv. bij bloemen, planten en schelpen, etc.
De verhouding π
De omtrek en de diameter van cirkels hebben een vaste verhouding (ongeveer 22 : 7).
4
2.1 Verhoudingen zijn overal
Voorbeelden verhoudingsgewijs redeneren
- Dat Pieters grote broer meer eet dan Pieter, komt natuurlijk doordat hij veel groter is.
- Aan de grootte van de schoenen, kan Pieter zien of ze van zijn broer of vader zijn, zelfs al kent hij
de schoenen niet.
- Als de honden een kluif krijgen, krijgt de herder een grotere dan de teckel, dat is wel zo eerlijk.
- Als er vrienden komen eten, maak je overal meer van klaar dan wanneer je in je eentje eet.
2.1.1 Evenredige verbanden
- Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
- Interne en externe verhoudingen
- Verhoudingsdeling en Verdelingsdeling
- Lineair verband
Recht evenredig verband
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen. Een evenredig verband: Als het ene getal zoveel keer zo groot (of klein) wordt, wordt
het andere getal (of de andere getallen) ook zoveel keer zo groot (of klein).
Bijv. de verhouding tussen jongens en meisjes op de pabo. Als 1 op de 4 studenten een jongen is, dan
zitten op een pabo met ongeveer 800 studenten waarschijnlijk zo’n 200 jongens.
In verhouding en eenheid
Dagelijks kom je veel verhoudingen tegen. In de supermarkt zijn vergelijkbare producten vaak te
koop in verpakkingen met verschillende inhoud. Welk merk is in verhouding het goedkoopst? Niet
kijken naar absolute prijs (=prijs voor een toevallige verpakking of hoeveelheid), maar naar prijs van
een bepaalde, vergelijkbare eenheid of maat.
Naar rato
Bijv. een verhouding tussen prijs en gewicht. Naarmate je meer gewicht koopt, stijgt de prijs
evenredig. Als de slager vraagt of het een beetje meer mag zijn, ga je er vanuit dat de prijs naar rato,
ofwel naar verhouding, stijgt.
Andere verhoudingen zijn tussen hoeveelheid en prijs, inhoud en prijs en tussen gewicht en prijs.
Grootheid
Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte, gewicht en inhoud.
Verschijningsvormen
Verhoudingen maken het mogelijk zaken met elkaar te vergelijken. Verschijningsvormen:
- Hoeveel elk merk koffie per bepaalde eenheid kost.
- Benzineverbruik van auto’s: als je 1 op 12 rijdt betaal je meer dan bij 1 op 20.
- Sterkte van koffie (of zoetheid van ranja, of sterkte van alcoholische dranken).
- Recepten, bijv. als je de ingrediënten voor een recept voor vier personen omrekent voor zes
personen.
- Snelheid.
- Bevolkingsdichtheid.
Samengestelde grootheid
Verschijningsvormen als snelheid en dichtheid.
Snelheid kun je uitdrukken in het aantal afgelegde kilometers per uur (km/u).
1
,Die km/u is samengesteld uit de grootheid lengte, met de maateenheid kilometer, en de grootheid
tijd, met de maat uur. De maat uur wordt bij het uitdrukken van snelheid op 1 gesteld.
Grootheid: lengte, afstand, tijd etc.
Maateenheid: km, uur etc.
Schaal
Een schaal geeft de verhouding aan tussen een weergave en de werkelijke grootte ervan.
Bijv. op landkaarten, plattegronden, speelgoed, schaalmodellen en Madurodam.
1 : 80000 (spreek uit: ‘1 staat tot 80.000’ of ‘1 op 80.000’) betekent dat 1 centimeter op de kaart in
werkelijkheid 80.000 centimeter is of 800 meter. Bij deze formele schaalnotatie worden beide
getallen in dezelfde maateenheid genoteerd. Welke maateenheid maakt niet uit. Schaal is
onafhankelijk van de gebruikte maateenheid.
Schaal 1 : 1: afbeelding op ware grootte. Schaal 20 : 1: iets is 20 keer zo groot afgebeeld dan in
werkelijkheid, bijv. een vergrote tekening van een klein insect.
Bij veel getalsmatige informatie gaat het om verhoudingen. Hoe vaak een bepaalde beroepsziekte
voorkomt, hoeveel de kosten van treinvervoer stijgen, hoe hoog de inflatie is, hoeveel geld je nodig
hebt voor de huur en hoeveel er overblijft voor de boodschappen. Bij deze informatie gaat het steeds
om verhoudingen, ook al worden die soms als breuk of percentage uitgedrukt.
Gestandaardiseerde verhouding
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op honderd gesteld.
Bijv. 5 procent is 5 van de 100.
Niet-gestandaardiseerde verhoudingen
Bij niet-gestandaardiseerde verhoudingen kan het totaal van alles zijn, zoals bij 2 op de 7 of 1 op de 2
miljoen. Niet-gestandaardiseerde verhoudingen zijn daardoor lastiger te vergelijken dan procenten.
Het uitdrukken van zaken in verhoudingen helpt om informatie letterlijk, maar ook figuurlijk in
verhouding te zien, ofwel op waarde te kunnen schatten (zie vb. wereldkaart p. 28).
Wanverhoudingen
Worden vaak gebruikt om informatie over te brengen of om aandacht te trekken. Bijv. in reclame,
(politieke) cartoons en kunst.
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Kwantitatieve verhoudingen
De verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen.
Bijv. ‘1 op de 6 Nederlandse kleuters is te zwaar terwijl 1 op de 3 kleuters in Afrika en Azië ondervoed
is’ en ’deze kaart heeft een schaal van 1 : 80000’.
Verhoudingen worden over het algemeen aangegeven met getallen.
Kwalitatieve verhoudingen
Kwalitatieve verhoudingen worden uitgedrukt in woorden, er komt geen getal aan te pas. Bijv. ‘de
schoenendoos op p. 25 is naar verhouding te groot’ en ‘een kind is lang voor zijn leeftijd’.
Meetkundig verband
Een kwalitatieve verhouding is vaak een meetkundig verband. Andersom sowieso: een meetkundige
verhouding is altijd kwalitatief.
2
,Zodra je er een getal aan toekent is sprake van een kwantitatieve verhouding, bijv. door de
schoenendoos op te meten en de schaal vast te stellen.
Het onderscheid tussen kwalitatieve en kwantitatieve verhouding zegt dus ook iets over hoe de
verhouding wordt waargenomen en tot uitdrukking wordt gebracht.
Interne en externe verhoudingen
Een verhouding kan betrekking hebben op grootheden, maar ook op andere zaken waar een getal
aan kan worden toegekend. Bijv. het aantal mannelijke en het totale aantal pabostudenten bij de
verhouding ‘1 op de 4 pabostudenten is een jongen’. Hier gaat het om de ‘eenheid’ pabostudent.
Interne verhouding
Als een verhouding één grootheid of eenheid betreft.
Bijv. ‘de spoorbomen zijn 1 op de 10 minuten dicht’, ‘1 op de 4 pabostudenten is een jongen’ en ‘1 op
de 3 kinderen uit deze klas heeft een huisdier’.
Externe verhouding
Twee verschillende grootheden.
Bijv. de afgelegde afstand in een bepaalde tijd (ofwel de samengestelde grootheid snelheid) en prijs
per gewicht.
Bij delen onderscheid tussen een verhoudingsdeling en verdelingsdeling
Verhoudingsdeling
Er zijn 12 snoepjes. Hoeveel groepjes van 4 snoepjes kan ik maken?
Bij de verhoudingsdeling representeren deeltal en deler hetzelfde: 12 (snoepjes) : 4 (snoepjes)
uitkomst is hier 3 groepjes (van elk 4 snoepjes).
Het gaat dus om de (interne) verhouding van het deel ten opzichte van het geheel.
Verdelingsdeling
3 kinderen verdelen 12 snoepjes. Hoeveel snoepjes krijgt elk kind?
Bij de verdelingsdeling representeren deeltal en deler elk iets anders: 12 (snoepjes) : 3 (kinderen) =….
De uitkomst representeert het aantal snoepjes dat elk kind krijgt.
Het aantal snoepjes per kind is feitelijk een externe verhouding.
Lineair verband
Lineair verband
Een verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft.
Gaat die grafiek door de oorsprong (het snijpunt van de verticale en de horizontale as), dan is het
verband een evenredig verband ofwel een verhouding.
Bijv. op vakantie huur je een auto en er geldt een huurprijs per dag.
Dan is er een evenredig verband – dus verhouding – tussen het aantal huurdagen en de prijs.
Maar als de prijs wordt bepaald door aan de prijs nog een vast startbedrag toe te voegen, dan is er
wél een lineair verband, maar geen verhouding.
2.1.2 Niet-evenredige verbanden
Niet-evenredige verbanden
3
, Sommige verbanden zijn niet evenredig en dus ook geen verhouding, zie p. 33. Bijv. ruimtelijke
figuren als kubus, dieren etc.
- Als iets twee keer zo groot wordt, verdubbelt de lengte.
- De oppervlakte wordt dan in twee richtingen verdubbeld (in lengte en in breedte) en wordt dan
vier keer zo groot.
- De inhoud wordt in drie richtingen verdubbeld (lengte, diepte en hoogte) en wordt dan acht keer
zo groot.
Dit principe speelt o.a. een rol bij het werken met schaal en landkaarten.
Vaak is het taalgebruik niet eenduidig, waardoor het extra ingewikkeld wordt. Met twee keer zo
groot wordt soms bedoeld dat iets twee keer lang is, soms ook dat de oppervlakte tweemaal zo groot
is. In sommige streken in NL wordt ‘een keer zo groot’ of ‘eens zo groot’ gezegd wanneer ‘twee keer
zo groot’ wordt bedoeld. Mensen spreken vaak van ‘drie keer meer’ als ze ‘drie keer zo veel’
bedoelen, terwijl ‘drie keer meer’ feitelijk ‘vier keer zo veel’ betekent. Het woord ‘meer’ duidt
namelijk op een additieve betekenis, terwijl het woord ‘keer’ in een multiplicatieve context past.
Andere niet-evenredige verbanden: exponentiële, logaritmische, logistische of wortelfuncties.
Omgekeerd evenredige verbanden
Verbanden die wel evenredig zijn maar geen verhouding.
Bijv. het verband tussen snelheid en tijd: naarmate je sneller rijdt of fietst, heb je minder tijd nodig
om op je bestemming te komen.
Break-evenpoint
Welke aanbieding is voordeliger? Je koopt een mobieltje van € 179,95 met een maandabonnement
van 19,95. Na hoeveel maanden zijn de kosten hiervan gelijk aan die van het andere abonnement?
Dit heet break-evenpoint. Visualiseer de kosten van de twee aanbiedingen in een lijngrafiek zodat
het break-evenpoint zichtbaar wordt.
2.1.3 Bijzondere verhoudingen
Gulden snede
De verhouding π
Gulden snede
Als je een lijnstuk zo in tweeën verdeelt dat de verhouding van het kleinste deel ten opzichte van het
grootste deel dezelfde is als de verhouding van het grootste deel tot het hele lijnstuk. Deze verdeling
is bij een lijnstuk van 1 meter ongeveer 38,2 en 61,8 cm.
Een veelgebruikte benadering van de gulden snede is 0,618. Het precieze verhoudingsgetal heeft een
oneindig aantal decimalen en wordt aangeduid aan met φ (phi).
Staat sinds de zeventiende eeuw voor een schoonheidsideaal: de mooiste verhouding die bestaat.
Een rechthoek waarvan de korte en de lange zijde zich verhouden als de gulden snede, zou de mooist
denkbare rechthoek opleveren. Dit werd wel de ‘goddelijke verhouding’ genoemd. In architectuur en
kunst, in de natuur bijv. bij bloemen, planten en schelpen, etc.
De verhouding π
De omtrek en de diameter van cirkels hebben een vaste verhouding (ongeveer 22 : 7).
4
