Samenvatting meten en meetkunde
Hoofdstuk 1 Samenhang meten en meetkunde
1.1 Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde
Meten = getalsmatig grip krijgen op eigenschappen van de wereld, zoals lengte, oppervlakte,
inhoud, gewicht en tijdsduur (eigenschappen = grootheden). Essentie: grootheid wordt
afgepast met een maat en dit levert een meetgetal op.
Meetkunde = ruimtelijke oriëntatie in wiskundige zin = verklaren en beschrijven van ruimte
(bijv. plattegronden, routes, richtingen en eigenschappen van vormen en figuren, projecties,
symmetrie, 2-, 3- dimensionale weergaven van de werkelijkheid). Gaat meestal niet om
opmeten.
Ruimtelijk redeneren = in gedachten met ruimtelijke activiteiten bezig zijn, verrichten van
een meetkundige (denk)handeling om de meetvraag te beantwoorden.
1.1.1 Meten van inhoud
Inhoud doos: lengte x breedte x hoogte.
Kwantiteit = hoeveelheid
Kwantificeren = ergens een getal aan toekennen.
Als het gaat om de grootheid inhoud gaat het om meten. Het onderzoeken van de vormen
die de liter kan aannemen en de benamingen daarbij vallen in meetkunde.
1.1.2 Lengte en oppervlakte
Een meetkundige activiteit als het omvormen van figuren kan worden toegepast bij het
meten van oppervlaktes (meten). Ook het werken met vlakvullingen ligt op het snijvlak van
meten en meetkunde: aantal driehoekjes dat je nodig hebt om een vlak te vullen.
1.1.3 Geschiedenis van meten en meetkunde
Stelling van Pythagoras: beschrijft de vaste relatie tussen de lengtes van de 3 zijden van een
rechthoekige driehoek: a2 + b2 = c2.
Zo konden bouwmeesters uit de oudheid met rechte hoeken werken.
Gulden snede (goddelijke verhouding) = verhouding die sinds de 17e eeuw staat voor een
schoonheidsideaal: de mooiste verhouding die er bestaat. Als je een lijnstuk zo in 2-en
verdeelt dat de verhouding van het kleinste deel t.o.v. het grootste deel hetzelfde is als de
verhouding van het grootste deel tot het hele lijnstuk (1 meter ongeveer 38,,8: 0,618).
1.2 Meten en meetkunde op de basisschool
1.2.1 Overeenkomsten tussen meten en meetkunde
- Verschaft het wiskundige gereedschap om hun dagelijkse leefwereld te kunnen begrijpen
en beschrijven;
- Redeneren en ontwikkelen van onderzoekende houding;
- Belangrijke bijdrage aan ontwikkeling van gecijferdheid.
1.2.2 Verschillen tussen meten en meetkunde
Meetactiviteiten gaat het om het leren meten met een passende maat:
- doen (uitvoeren van metingen, aflezen van meetinstrumenten);
,- kennen (bijv. maten uit metriek stelsel);
- begrijpen (optreden van meetfouten, maatverfijning, kiezen van de juiste maat).
Meetkundige activiteiten gaat het vooral om het onderzoeken van ruimtelijke relaties en het
beredeneren hiervan.
Kinderen bezig met
- waarnemen;
- beschouwen;
- stellen en beantwoorden van de ‘waarom’-vraag, gericht op verklaren.
1.2.3 Samenhang in
Het heeft meerwaarde om meten en meetkunde niet geïsoleerd, maar juist geïntegreerd aan
bod te laten komen.
Hoofdstuk 2 meten
2.1 meten en meetgetallen zijn overal
Meten zie je overal, je ziet overal meetgetallen. Meetgetallen zeggen iets over de grootheid,
als gewicht, inhoud, tempratuur.
Bij elke grootheid bestaan verschillende eenheden, die afhangen van de situatie.
Bijvoorbeeld, de afstand tussen twee steden zijn in kilometers en de afstand in een kast in
centimeters.
Meetreferentie: bijvoorbeeld 50 km/u
referentiegetal: een getal waar je van uit gaat, bijvoorbeeld lichaamstempratuur, 37 graden
celsius.
referentiemaat: bijvoorbeeld een grote stap is een meter, een pak sap is een liter. Het pak
en de stap zijn referentiematen.
Meetgetallen = zeggen iets over grootheden als gewicht, inhoud, temperatuur en snelheid.
Maat of maateenheden = bijv. kilogram.
2.1.1 meetinstrumenten.
Bij sommige meetinstrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar. Bijvoorbeeld
bij een maatbeker, die wordt gevuld om een hoeveelheid af te meten.
Of bij andere meetinstrumenten ligt het verlengde van afpassen met een maat, een rolmaat
is te zien als een aaneenschakeling van meters.
Bij weer andere meetinstrumenten is het afpassen ver naar de achtergrond verdwenen. Dat
geldt bijvoorbeeld bij een digitale weegschaal en digitale thermometer. Hierbij lees je direct
het meetresultaat af maar is de werking van het meetinstrument niet te zien.
Indirect meten = ene grootheid (lengte) gebruiken om andere grootheid (gewicht) te
bepalen. Bijv. kwikthermometer (stijgt bij hogere temperatuur)
Schaalverdeling = op meetinstrumenten is een schaalverdeling aanwezig. Soms verschillende
schaalverdelingen op 1 meetinstrument, bijv. maatbeker.
,2.1.2 meetnauwkeurigheid
Meetgetallen zijn vaak kommagetallen. Of een meetgetal een kommagetal is hangt af van de
precisie in het meten, maar ook aan de gehanteerde maat.
Bijv. 1,86 meter = 186 cm (kommagetal of niet). Of het weer is 24 graden, maar
lichaamstempratuur is 38,2 graden. (precisie)
meetnauwkeurigheid: hoe nauwkeurig meet je, 19,8 graden is nauwkeuriger dan 20 graden.
meetinterval: afstand tussen 2 getallen waarbinnen het meetresultaat ligt. Bijvoorbeeld de
tempratuur is tussen de 38,15 en 38,25.
De meetnauwkeurigheid kan ook een meetonnauwkeurigheid leiden. Dat betekent dus dat
er meetfouten gemaakt worden. De meetfout valt binnen het meetinterval, dat heet ook wel
de foutmarge.
bijvoorbeeld: als je een wand opmeet met de liniaal, dan kan je een fout maken. Ook kan het
komen doordat, een meetlengte van 186 cm is het meetinterval tussen de 1855 mm tot
1865 mm en is de meetfout ten hoogste 5 millimeter.
foutenmarge: meetfout die binnen het meetinterval ligt.
Als je een nauwkeurige meting wil, zou je een aantal keer hetzelfde kunnen meten en dan
het gemiddelde nemen.
2.1.3 uit de geschiedenis van meten.
Vroeger werden maten vormgegeven door voorwerpen, en deze werden dan met elkaar
vergeleken.
Natuurlijke maat zijn maten die vergeleken zijn met voorwerpen. Bijvoorbeeld
lichaamsdelen waarmee een lengte kan worden afgepast.
Meten met natuurlijke maten is niet heel nauwkeurig. Je gebruikt het om iets ongeveer te
meten, de lengte van een kamer of een ‘kommetje’.
Lichaamsmaten:
duim = 2,5cm / ¼ palm
palm = 10cm /4 duim;
handspan =20 cm/ 8 duim/ 2 palm
voet = 30 cm /12 duim /3 palm
el = 70cm lengte gestrekte arm
vadem = 180 cm / 6 voet, afstand tussen rechter- en linkerhand bij zijwaarts gestrekte
, armen.
Omdat niet alle lichaamsmaten even groot zijn per persoon, iedere voet heeft een andere
maat. Hierdoor waren de mensen toe aan een standaardisering.
Deze kwam na de Franse revolutie, er ontstond een metriek stelsel. De meter is daarin als
standaardmaat gekozen.
Aan de basiseenheid werden ook andere maten gekoppeld, vierkante meter bijvoorbeeld.
Ook ontstond er een maatverfijning, om een maat om te rekenen naar een andere maat,
bijvoorbeeld van Meter naar Kilometer, of van Centimeter naar Decameter.
Door deze overzichtelijke stelsel werd rekenen met maten net zo makkelijk als rekenen met
decimale getallen.
De internationale afspraken over een groot aantal grootheden en eenheden liggen vast in
het SI-stelsel of Internationaal Stelsel van Eenheden, sinds 1960. In de basisschool wordt het
stelsel, metriek stelsel genoemd.
In een aantal landen worden nog een ander systeem gebruikt, namelijk imperiale systeem.
Imperiale systeem van maten = VS
- Inch (in of “) = 2,54 cm
- Foot (ft of ‘) = 12 inches = 30,48 cm
- Yard (yd) = 3 feet = 91,44 cm
- Mile (mi)= 1760 yard = 1.609,344m
Omrekenen naar metrieke stelsel is ingewikkeld, omdat er geen tientallige structuur is.
2.1.4 wiskundetaal bij meten
In het metriek stelsel staan de maten in de verschillende grootheden: lengte, oppervlakte,
inhoud en gewicht.
Grootheid Centrale standaardmaat Symbool
Lengte Meter M
Oppervlakte Vierkante meter m2
Are a
Inhoud Kubieke meter m3
Liter l
Gewicht Kilogram Kg
Decimale relatie =
relatie tussen de
grootheden van
factor 10.
Hoofdstuk 1 Samenhang meten en meetkunde
1.1 Raakvlakken en verschillen tussen meten en meetkunde
Meten = getalsmatig grip krijgen op eigenschappen van de wereld, zoals lengte, oppervlakte,
inhoud, gewicht en tijdsduur (eigenschappen = grootheden). Essentie: grootheid wordt
afgepast met een maat en dit levert een meetgetal op.
Meetkunde = ruimtelijke oriëntatie in wiskundige zin = verklaren en beschrijven van ruimte
(bijv. plattegronden, routes, richtingen en eigenschappen van vormen en figuren, projecties,
symmetrie, 2-, 3- dimensionale weergaven van de werkelijkheid). Gaat meestal niet om
opmeten.
Ruimtelijk redeneren = in gedachten met ruimtelijke activiteiten bezig zijn, verrichten van
een meetkundige (denk)handeling om de meetvraag te beantwoorden.
1.1.1 Meten van inhoud
Inhoud doos: lengte x breedte x hoogte.
Kwantiteit = hoeveelheid
Kwantificeren = ergens een getal aan toekennen.
Als het gaat om de grootheid inhoud gaat het om meten. Het onderzoeken van de vormen
die de liter kan aannemen en de benamingen daarbij vallen in meetkunde.
1.1.2 Lengte en oppervlakte
Een meetkundige activiteit als het omvormen van figuren kan worden toegepast bij het
meten van oppervlaktes (meten). Ook het werken met vlakvullingen ligt op het snijvlak van
meten en meetkunde: aantal driehoekjes dat je nodig hebt om een vlak te vullen.
1.1.3 Geschiedenis van meten en meetkunde
Stelling van Pythagoras: beschrijft de vaste relatie tussen de lengtes van de 3 zijden van een
rechthoekige driehoek: a2 + b2 = c2.
Zo konden bouwmeesters uit de oudheid met rechte hoeken werken.
Gulden snede (goddelijke verhouding) = verhouding die sinds de 17e eeuw staat voor een
schoonheidsideaal: de mooiste verhouding die er bestaat. Als je een lijnstuk zo in 2-en
verdeelt dat de verhouding van het kleinste deel t.o.v. het grootste deel hetzelfde is als de
verhouding van het grootste deel tot het hele lijnstuk (1 meter ongeveer 38,,8: 0,618).
1.2 Meten en meetkunde op de basisschool
1.2.1 Overeenkomsten tussen meten en meetkunde
- Verschaft het wiskundige gereedschap om hun dagelijkse leefwereld te kunnen begrijpen
en beschrijven;
- Redeneren en ontwikkelen van onderzoekende houding;
- Belangrijke bijdrage aan ontwikkeling van gecijferdheid.
1.2.2 Verschillen tussen meten en meetkunde
Meetactiviteiten gaat het om het leren meten met een passende maat:
- doen (uitvoeren van metingen, aflezen van meetinstrumenten);
,- kennen (bijv. maten uit metriek stelsel);
- begrijpen (optreden van meetfouten, maatverfijning, kiezen van de juiste maat).
Meetkundige activiteiten gaat het vooral om het onderzoeken van ruimtelijke relaties en het
beredeneren hiervan.
Kinderen bezig met
- waarnemen;
- beschouwen;
- stellen en beantwoorden van de ‘waarom’-vraag, gericht op verklaren.
1.2.3 Samenhang in
Het heeft meerwaarde om meten en meetkunde niet geïsoleerd, maar juist geïntegreerd aan
bod te laten komen.
Hoofdstuk 2 meten
2.1 meten en meetgetallen zijn overal
Meten zie je overal, je ziet overal meetgetallen. Meetgetallen zeggen iets over de grootheid,
als gewicht, inhoud, tempratuur.
Bij elke grootheid bestaan verschillende eenheden, die afhangen van de situatie.
Bijvoorbeeld, de afstand tussen twee steden zijn in kilometers en de afstand in een kast in
centimeters.
Meetreferentie: bijvoorbeeld 50 km/u
referentiegetal: een getal waar je van uit gaat, bijvoorbeeld lichaamstempratuur, 37 graden
celsius.
referentiemaat: bijvoorbeeld een grote stap is een meter, een pak sap is een liter. Het pak
en de stap zijn referentiematen.
Meetgetallen = zeggen iets over grootheden als gewicht, inhoud, temperatuur en snelheid.
Maat of maateenheden = bijv. kilogram.
2.1.1 meetinstrumenten.
Bij sommige meetinstrumenten is het afpassen van een maat goed zichtbaar. Bijvoorbeeld
bij een maatbeker, die wordt gevuld om een hoeveelheid af te meten.
Of bij andere meetinstrumenten ligt het verlengde van afpassen met een maat, een rolmaat
is te zien als een aaneenschakeling van meters.
Bij weer andere meetinstrumenten is het afpassen ver naar de achtergrond verdwenen. Dat
geldt bijvoorbeeld bij een digitale weegschaal en digitale thermometer. Hierbij lees je direct
het meetresultaat af maar is de werking van het meetinstrument niet te zien.
Indirect meten = ene grootheid (lengte) gebruiken om andere grootheid (gewicht) te
bepalen. Bijv. kwikthermometer (stijgt bij hogere temperatuur)
Schaalverdeling = op meetinstrumenten is een schaalverdeling aanwezig. Soms verschillende
schaalverdelingen op 1 meetinstrument, bijv. maatbeker.
,2.1.2 meetnauwkeurigheid
Meetgetallen zijn vaak kommagetallen. Of een meetgetal een kommagetal is hangt af van de
precisie in het meten, maar ook aan de gehanteerde maat.
Bijv. 1,86 meter = 186 cm (kommagetal of niet). Of het weer is 24 graden, maar
lichaamstempratuur is 38,2 graden. (precisie)
meetnauwkeurigheid: hoe nauwkeurig meet je, 19,8 graden is nauwkeuriger dan 20 graden.
meetinterval: afstand tussen 2 getallen waarbinnen het meetresultaat ligt. Bijvoorbeeld de
tempratuur is tussen de 38,15 en 38,25.
De meetnauwkeurigheid kan ook een meetonnauwkeurigheid leiden. Dat betekent dus dat
er meetfouten gemaakt worden. De meetfout valt binnen het meetinterval, dat heet ook wel
de foutmarge.
bijvoorbeeld: als je een wand opmeet met de liniaal, dan kan je een fout maken. Ook kan het
komen doordat, een meetlengte van 186 cm is het meetinterval tussen de 1855 mm tot
1865 mm en is de meetfout ten hoogste 5 millimeter.
foutenmarge: meetfout die binnen het meetinterval ligt.
Als je een nauwkeurige meting wil, zou je een aantal keer hetzelfde kunnen meten en dan
het gemiddelde nemen.
2.1.3 uit de geschiedenis van meten.
Vroeger werden maten vormgegeven door voorwerpen, en deze werden dan met elkaar
vergeleken.
Natuurlijke maat zijn maten die vergeleken zijn met voorwerpen. Bijvoorbeeld
lichaamsdelen waarmee een lengte kan worden afgepast.
Meten met natuurlijke maten is niet heel nauwkeurig. Je gebruikt het om iets ongeveer te
meten, de lengte van een kamer of een ‘kommetje’.
Lichaamsmaten:
duim = 2,5cm / ¼ palm
palm = 10cm /4 duim;
handspan =20 cm/ 8 duim/ 2 palm
voet = 30 cm /12 duim /3 palm
el = 70cm lengte gestrekte arm
vadem = 180 cm / 6 voet, afstand tussen rechter- en linkerhand bij zijwaarts gestrekte
, armen.
Omdat niet alle lichaamsmaten even groot zijn per persoon, iedere voet heeft een andere
maat. Hierdoor waren de mensen toe aan een standaardisering.
Deze kwam na de Franse revolutie, er ontstond een metriek stelsel. De meter is daarin als
standaardmaat gekozen.
Aan de basiseenheid werden ook andere maten gekoppeld, vierkante meter bijvoorbeeld.
Ook ontstond er een maatverfijning, om een maat om te rekenen naar een andere maat,
bijvoorbeeld van Meter naar Kilometer, of van Centimeter naar Decameter.
Door deze overzichtelijke stelsel werd rekenen met maten net zo makkelijk als rekenen met
decimale getallen.
De internationale afspraken over een groot aantal grootheden en eenheden liggen vast in
het SI-stelsel of Internationaal Stelsel van Eenheden, sinds 1960. In de basisschool wordt het
stelsel, metriek stelsel genoemd.
In een aantal landen worden nog een ander systeem gebruikt, namelijk imperiale systeem.
Imperiale systeem van maten = VS
- Inch (in of “) = 2,54 cm
- Foot (ft of ‘) = 12 inches = 30,48 cm
- Yard (yd) = 3 feet = 91,44 cm
- Mile (mi)= 1760 yard = 1.609,344m
Omrekenen naar metrieke stelsel is ingewikkeld, omdat er geen tientallige structuur is.
2.1.4 wiskundetaal bij meten
In het metriek stelsel staan de maten in de verschillende grootheden: lengte, oppervlakte,
inhoud en gewicht.
Grootheid Centrale standaardmaat Symbool
Lengte Meter M
Oppervlakte Vierkante meter m2
Are a
Inhoud Kubieke meter m3
Liter l
Gewicht Kilogram Kg
Decimale relatie =
relatie tussen de
grootheden van
factor 10.
