Rekenen samenvatting – Theorie en Eigen kunnen
(Theorie = Rood, Eigen kunnen = Blauw)
Verhoudingen Blz. 2 en 3 Verhoudingen Blz. 8
Breuken Blz. 4 en 5 Breuken Blz. 9 en 10
Procenten Blz. 5 en 6 Procenten Blz. 11
Kommagetallen Blz. 6 en 7 Kommagetallen Blz. 12 en 13
Didactische hulpmiddelen – Vorig Blok
Handelingsmodel:
→ Fase 4 Formeel rekenen: kale som, zonder model
→ Fase 3 Structurerend rekenen: rekenen schematisch
met gebruik van modellen zoals het kralenrekje.
→ Fase 2 Structurerend rekenen: rekenen met plaatjes
van de werkelijkheid, bijv geldmunten.
→ Fase 1 Tellend rekenen: met echte voorwerpen tellen
Drieslagmodel:
Eigenschappen van bewerkingen (1.2.3)
Om handig te rekenen kun je verschillende eigenschappen gebruiken:
1 De commutatieve/wisseleigenschap: 3 + 6 = 6 + 3 of 3 x 4 = 4 x 3.
Kan alleen bij optellen en vermenigvuldigen worden gebruikt.
2 De distributieve/verdeeleigenschap: (5,5 x 37) + (5,5 x 63) = 5,5 x 100 of 18 x 25 = 10 x 25 + 8 x 25
of 132 : 12 = 120 : 12 + 12 : 12. Deze eigenschap kan niet bij delen.
3 De associatieve/schakeleigenschap: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) of 2 x 3 x 4 = 2 x 12/6 x 4.
Mag alleen bij volgorde van optellen en vermenigvuldigen worden gebruikt.
4 De inverse eigenschap: 411 – 395 = 395 + … = 411 of 1250 : 25 = .. x 25 = 1250.
Deze eigenschap kan bij alles gebruikt worden.
5 Compenseren/transformeren/term veranderen: 189 + 124 = 200 + 112 of 2876 – 387 = 2889 – 400.
Deze eigenschap kan alleen bij + en – gebruikt worden.
6 Groter en kleiner maken (GEK) bij vermenigvuldigen (halveren en verdubbelen): 50 x 32 = 100 x 16
7 Groter of kleiner maken (GOK) bij delen: 336 : 12 = 112 : 4 of 15 : 7,5 = 30 : 15.
1
,Verhoudingen - Theorie
Verhoudingen – Onderbouw (3.3.5)
→ Kwalitatieve Verhoudingen: Hierbij gebruik je verhoudingen globaal en eenvoudig, zoals:
langer, kort, breder, hoger enz. Het gaat om vergelijken zonder maat te gebruiken. Dit wordt al
gedaan bij de kleuters, die beginnen bij deze verhouding.
→ Kwantitatieve Verhoudingen: Hierbij gebruik je verhoudingen preciezer, de verhoudingen die
je gebruikt worden in getallen uitgedrukt. Verhoudingen worden hier precies vergeleken door te
meten. Je koppelt het aan een waarde (dat is 2x zo groot als.., hij is 3x langer dan.., 1:30).
Verhoudingen – Middenbouw (4.3.5)
→ Ondanks breuken/procenten in de middenbouw niet voorkomen is het goed leerlingen al in
aanraking te laten komen met verhoudingen, zodat ze begrijpen en inzicht krijgen over wat
verhoudingen zijn en hoe ze ontstaan.
→ Verhoudingen vaak uitgerekend in verhoudingstabellen (= fase 3, gevolg van de dubbele
getallenlijn). Ze zien zo gemakkelijk dat een verhouding hetzelfde blijft als je vermenigvuldigd.
Verhoudingen en de 4 verschijningsvormen – Bovenbouw (5.3.5)
→ Verhoudingsnotatie = Weten waar je wat neerzet in de verhoudingstabel (boven/onder).
→ Er zijn 4 verschijningsvormen (manieren van noteren) van een verhouding:
- Breuk ( ½ ) - Verhouding (1:2)
- Procent (50%) - Kommagetal (0,5)
→ Gestandaardiseerd: kommagetallen en procenten zijn dit, want je kunt ze
maar op 1 manier schrijven (0,2 en 20%).
→ Ongestandaardiseerd: breuken en verhoudingsnotatie zijn dit, want je
kunt ze op meerdere manieren schrijven (1/2 = 2/4 = 3/6 en
1 op de 3 = 3 op de 9 = 9 op de 27).
→ Relatief = Een getal is relatief als er een verhouding is, de grootte word bepaald door de
grootte waarover het gaat, relatie tussen 2 getallen dus ( .. van de … ). Percentage, verhoudingen
en breuken zijn relatief.
→ Absoluut = Een getal is absoluut als het maar 1 betekenis heeft, de waarde en uitkomst liggen
vast er is maar 1 uitkomst, kommagetallen en breuken zijn dat. Breuken zijn dus relatief (deel van
een geheel) en absoluut (als het een verhouding).
→ Interne verhouding = Verhouding waarbij 1 eindgetal/grootheid uitkomt.
→ Externe verhouding = Verhouding met verschillende grootheden (3 kg voor €5,- of 10 km/u).
→ Verhoudingsbegrip kun je verbreden door meetcontext (verhaal met plaatje) en model.
2
,Verhoudingen (2.2.1)
→ Verhoudingen kun je op 4 verschijningsvormen noteren, ondanks het getal hetzelfde blijft:
1. Breuk 2. Procent 3. Kommagetal 4. Verhouding
1/1000 0,1% 0,001 1:1000
1/100 1% 0,01 1:100
1/50 5% 0,05 1:50
1/10 10% 0,10 1:10
1/9 11,1% 0,11 1:9
1/8 12,5% 0,125 1:8
1/7 14,3% 0,143 1:7
1/6 16,67% 0,167 1:6
1/5 20% 0,20 1:5
1/4 25% 0,25 1:4
1/3 33,33% 0,33 1:3
1/2 50% 0,50 1:2
1/1 100% 1 1:1
3/10 30% 0,30 3:10
2/5 (= 4/10) 40% 0,40 2:5
3/5 (= 6/10) 60% 0,60 3:5
7/10 70% 0,70 7:10
3/4 75% 0,75 3:4
4/5 (= 8/10) 80% 0,80 4:5
9/10 90% 0,90 9:10
→ Modellen (uit fase 3 handelingsmodel) om verhoudingen uit te rekenen:
- De Verhoudingstabel: Deze wordt het meest gebruikt, er zijn 3 manieren van rekenen:
- De ‘Gewone’ manier:
- De ‘Kruiselings vermenigvuldigen’ manier: Dus D = (B x C) : A
- De Vermenigvuldigings- of Vergrotingsfactor/schaal berekenen: Deze factor is het getal
waarmee een getal uit de bovenste rij vermenigvuldigd moet worden om de juiste
verhouding in de onderste rij te krijgen. Deze blijft dan ook gelijk, doordat de verhouding
ook gelijk blijft. Deze factor reken je uit door bij de verhouding te weten wat 1 is, hierbij
deel je dus het deel door het geheel, dat is 1: … , waarbij de … de factor dus is. Zoals je bij
bovenstaande tabel ziet, is 1 (de vermenigvuldigingsfactor) 2, dus als je iets van de
bovenste rij x 2 doet, krijt je hetzelfde antwoord. Zo geen verhoudingstabel nodig.
- De Strook: Deze kunnen directer inzicht geven in de grootte van iets, maar moeilijk mee te
rekenen. Het maakt direct de relatieve verhouding duidelijk (strook 1 is groter/kleiner/..).
Het laat goed het deel van geheel zien.
- De Dubbele Getallenlijn: biedt meer mogelijkheden, maar wordt minder gebruikt. Heeft veel
weg van de verhoudingstabel, alleen is bij deze getallenlijn de structuur/volgorde belangrijk.
De context is hierbij wel zichtbaarder, en ligt dichterbij de context dan een verhoudingstabel
→ Evenredig/Evenredig verband = als een verhouding in alle rijen hetzelfde is. Je kunt de
verhouding in een verhoudingstabel zetten en hij kan uitgedrukt worden in 1 getal (boven :
onder), de vergrotingsfactor (schaal, vermenigvuldigingsfactor).
→ Niet-evenredige verhouding = als de verhouding in de rijen niet hetzelfde is. Kan je niet in een
verhoudingstabel zetten. Ze kunnen omgekeerd evenredig zijn (= als een product constant met
een bepaalde factor toe neemt, boven de nul, een andere factor neemt hierbij dan af).
3
, Breuken - Theorie
Visie Probleem oplossen (2.4.4)
→ Protocol Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie (PERWD) = protocol dat
leerlingen signaleert en begeleidt bij ernstige rekenproblemen en evt dyscalculie constateert. Het
handelingsmodel is hierbij belangrijk, hiermee kun je kijken hoe kinderen rekenen.
Onderbouw - Delen (4.3.5)
→ Verdelen: Een hoeveelheid, deel je eerlijk door het gegeven aantal. Dus als je 24 knikkers hebt en 6
kinderen, krijgt ieder kind eerlijk 6 knikkers.
→ Opdelen/Ratio: Je maakt groepjes aantallen, die je steeds van de gehele hoeveelheid afhaalt, je doet dit
net zolang totdat je het hebt opgedeeld, vervolgens kijk je hoeveel groepjes je hebt kunnen maken. Dus
stel je hebt 24 knikkers en je wilt een groepje uit 6 knikkers laten bestaan, haal je steeds een groepje van 6
knikkers van die 24 knikkers tot ze op verdeeld zijn. Uiteindelijk zie je dat je er 6 groepjes van kon maken.
Bovenbouw - Breuken (5.3.5)
→ Gebruikte contexten voor breuken zijn: pizza’s, taarten, limonade.
→ Hoe een breuk voor kan komen, verschijningsvormen:
1 Meetgetal: Er staat hierbij een eenheid achter, geeft een deel van t geheel aan: ik heb ½ liter.
2 Uitkomst eerlijke deling: Als er geen exact getal uitkomt: ieder krijgt 1 ½ pizza.
3 Deel-Geheel getal: Gaat over geen standaard/precieze maat: ¾ limonade, ½ chocola.
4 Operator/vermenigvuldiger: Deel van een hoeveelheid: ¼ deel van €35, ½ van 2 KG.
5 Rationeel getal: Gebroken getal, kale breuk, zonder hoeveelheid: ½ , ¼
→ Soorten getallen breuken/Rationale getallen:
1 Echte breuk: De ‘Gewone’ breuk, kleiner dan 1, teller kleiner dan de noemer: 1/3 , 2/5 , 5/8
2 Gemengde/Samengestelde breuk: Heel getal met een breuk: 1 ½ , 5 ¼ , 3 1/3
3 Stambreuk: Breuk met teller 1: ½ , 1/3, ¼ , 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9 , 1/33
4 Tiendelige (Decimale) breuk: Breuk met noemer 10: 1/10, 3/10, 5/10, 7/10, 9/10
5 Onechte breuk: Breuk waar helen niet uit zijn gehaald, teller is groter: 6/3 , 4/2, 8/3 , 10/4
6 Equivalente breuk: Gelijkwaardige breuken, waarbij uitkomst zelfde is: ½ = 2/4, 1/3 = 3/9
→ Modellen voor breuken:
1 Cirkel: Voor introductie van breuken (+ context pizza), voor ‘deel-geheel getal’, optellen.
2 Strook: (+ context chocola), voor makkelijk te delen in een breuk en optellen.
3 De getallenlijn, inzicht gelijknamige breuken en volgorde van waarde breuken.
4 Dubbele getallenlijn: Met daarop tussen hele getallen de breuken, optellen/aftrekken.
5 Verhoudingstabel: Deze structureert gegevens en is een rekenschema, optellen/aftrekken.
6 Bemiddelende grootheid: is een context bij een kale som, de uitkomst is de ondermaat. Als
je bijvoorbeeld de grootheid geld gebruikt met de euro, is dat geld de bemiddelende grooth.
Modellen bij vermenigvuldigen:
- Heel getal x Breuk → Getallenlijn, hier kan je goed herhaalde optelling geven.
- Breuk x Heel getal → Cirkel, hier kan je de breuken via cirkels optellen.
- Breuk x Breuk → Rechthoekmodel, cirkel/strook.
- .. x Samengestelde breuk → Rechthoekmodel.
4
(Theorie = Rood, Eigen kunnen = Blauw)
Verhoudingen Blz. 2 en 3 Verhoudingen Blz. 8
Breuken Blz. 4 en 5 Breuken Blz. 9 en 10
Procenten Blz. 5 en 6 Procenten Blz. 11
Kommagetallen Blz. 6 en 7 Kommagetallen Blz. 12 en 13
Didactische hulpmiddelen – Vorig Blok
Handelingsmodel:
→ Fase 4 Formeel rekenen: kale som, zonder model
→ Fase 3 Structurerend rekenen: rekenen schematisch
met gebruik van modellen zoals het kralenrekje.
→ Fase 2 Structurerend rekenen: rekenen met plaatjes
van de werkelijkheid, bijv geldmunten.
→ Fase 1 Tellend rekenen: met echte voorwerpen tellen
Drieslagmodel:
Eigenschappen van bewerkingen (1.2.3)
Om handig te rekenen kun je verschillende eigenschappen gebruiken:
1 De commutatieve/wisseleigenschap: 3 + 6 = 6 + 3 of 3 x 4 = 4 x 3.
Kan alleen bij optellen en vermenigvuldigen worden gebruikt.
2 De distributieve/verdeeleigenschap: (5,5 x 37) + (5,5 x 63) = 5,5 x 100 of 18 x 25 = 10 x 25 + 8 x 25
of 132 : 12 = 120 : 12 + 12 : 12. Deze eigenschap kan niet bij delen.
3 De associatieve/schakeleigenschap: (3 + 4) + 5 = 3 + (4 + 5) of 2 x 3 x 4 = 2 x 12/6 x 4.
Mag alleen bij volgorde van optellen en vermenigvuldigen worden gebruikt.
4 De inverse eigenschap: 411 – 395 = 395 + … = 411 of 1250 : 25 = .. x 25 = 1250.
Deze eigenschap kan bij alles gebruikt worden.
5 Compenseren/transformeren/term veranderen: 189 + 124 = 200 + 112 of 2876 – 387 = 2889 – 400.
Deze eigenschap kan alleen bij + en – gebruikt worden.
6 Groter en kleiner maken (GEK) bij vermenigvuldigen (halveren en verdubbelen): 50 x 32 = 100 x 16
7 Groter of kleiner maken (GOK) bij delen: 336 : 12 = 112 : 4 of 15 : 7,5 = 30 : 15.
1
,Verhoudingen - Theorie
Verhoudingen – Onderbouw (3.3.5)
→ Kwalitatieve Verhoudingen: Hierbij gebruik je verhoudingen globaal en eenvoudig, zoals:
langer, kort, breder, hoger enz. Het gaat om vergelijken zonder maat te gebruiken. Dit wordt al
gedaan bij de kleuters, die beginnen bij deze verhouding.
→ Kwantitatieve Verhoudingen: Hierbij gebruik je verhoudingen preciezer, de verhoudingen die
je gebruikt worden in getallen uitgedrukt. Verhoudingen worden hier precies vergeleken door te
meten. Je koppelt het aan een waarde (dat is 2x zo groot als.., hij is 3x langer dan.., 1:30).
Verhoudingen – Middenbouw (4.3.5)
→ Ondanks breuken/procenten in de middenbouw niet voorkomen is het goed leerlingen al in
aanraking te laten komen met verhoudingen, zodat ze begrijpen en inzicht krijgen over wat
verhoudingen zijn en hoe ze ontstaan.
→ Verhoudingen vaak uitgerekend in verhoudingstabellen (= fase 3, gevolg van de dubbele
getallenlijn). Ze zien zo gemakkelijk dat een verhouding hetzelfde blijft als je vermenigvuldigd.
Verhoudingen en de 4 verschijningsvormen – Bovenbouw (5.3.5)
→ Verhoudingsnotatie = Weten waar je wat neerzet in de verhoudingstabel (boven/onder).
→ Er zijn 4 verschijningsvormen (manieren van noteren) van een verhouding:
- Breuk ( ½ ) - Verhouding (1:2)
- Procent (50%) - Kommagetal (0,5)
→ Gestandaardiseerd: kommagetallen en procenten zijn dit, want je kunt ze
maar op 1 manier schrijven (0,2 en 20%).
→ Ongestandaardiseerd: breuken en verhoudingsnotatie zijn dit, want je
kunt ze op meerdere manieren schrijven (1/2 = 2/4 = 3/6 en
1 op de 3 = 3 op de 9 = 9 op de 27).
→ Relatief = Een getal is relatief als er een verhouding is, de grootte word bepaald door de
grootte waarover het gaat, relatie tussen 2 getallen dus ( .. van de … ). Percentage, verhoudingen
en breuken zijn relatief.
→ Absoluut = Een getal is absoluut als het maar 1 betekenis heeft, de waarde en uitkomst liggen
vast er is maar 1 uitkomst, kommagetallen en breuken zijn dat. Breuken zijn dus relatief (deel van
een geheel) en absoluut (als het een verhouding).
→ Interne verhouding = Verhouding waarbij 1 eindgetal/grootheid uitkomt.
→ Externe verhouding = Verhouding met verschillende grootheden (3 kg voor €5,- of 10 km/u).
→ Verhoudingsbegrip kun je verbreden door meetcontext (verhaal met plaatje) en model.
2
,Verhoudingen (2.2.1)
→ Verhoudingen kun je op 4 verschijningsvormen noteren, ondanks het getal hetzelfde blijft:
1. Breuk 2. Procent 3. Kommagetal 4. Verhouding
1/1000 0,1% 0,001 1:1000
1/100 1% 0,01 1:100
1/50 5% 0,05 1:50
1/10 10% 0,10 1:10
1/9 11,1% 0,11 1:9
1/8 12,5% 0,125 1:8
1/7 14,3% 0,143 1:7
1/6 16,67% 0,167 1:6
1/5 20% 0,20 1:5
1/4 25% 0,25 1:4
1/3 33,33% 0,33 1:3
1/2 50% 0,50 1:2
1/1 100% 1 1:1
3/10 30% 0,30 3:10
2/5 (= 4/10) 40% 0,40 2:5
3/5 (= 6/10) 60% 0,60 3:5
7/10 70% 0,70 7:10
3/4 75% 0,75 3:4
4/5 (= 8/10) 80% 0,80 4:5
9/10 90% 0,90 9:10
→ Modellen (uit fase 3 handelingsmodel) om verhoudingen uit te rekenen:
- De Verhoudingstabel: Deze wordt het meest gebruikt, er zijn 3 manieren van rekenen:
- De ‘Gewone’ manier:
- De ‘Kruiselings vermenigvuldigen’ manier: Dus D = (B x C) : A
- De Vermenigvuldigings- of Vergrotingsfactor/schaal berekenen: Deze factor is het getal
waarmee een getal uit de bovenste rij vermenigvuldigd moet worden om de juiste
verhouding in de onderste rij te krijgen. Deze blijft dan ook gelijk, doordat de verhouding
ook gelijk blijft. Deze factor reken je uit door bij de verhouding te weten wat 1 is, hierbij
deel je dus het deel door het geheel, dat is 1: … , waarbij de … de factor dus is. Zoals je bij
bovenstaande tabel ziet, is 1 (de vermenigvuldigingsfactor) 2, dus als je iets van de
bovenste rij x 2 doet, krijt je hetzelfde antwoord. Zo geen verhoudingstabel nodig.
- De Strook: Deze kunnen directer inzicht geven in de grootte van iets, maar moeilijk mee te
rekenen. Het maakt direct de relatieve verhouding duidelijk (strook 1 is groter/kleiner/..).
Het laat goed het deel van geheel zien.
- De Dubbele Getallenlijn: biedt meer mogelijkheden, maar wordt minder gebruikt. Heeft veel
weg van de verhoudingstabel, alleen is bij deze getallenlijn de structuur/volgorde belangrijk.
De context is hierbij wel zichtbaarder, en ligt dichterbij de context dan een verhoudingstabel
→ Evenredig/Evenredig verband = als een verhouding in alle rijen hetzelfde is. Je kunt de
verhouding in een verhoudingstabel zetten en hij kan uitgedrukt worden in 1 getal (boven :
onder), de vergrotingsfactor (schaal, vermenigvuldigingsfactor).
→ Niet-evenredige verhouding = als de verhouding in de rijen niet hetzelfde is. Kan je niet in een
verhoudingstabel zetten. Ze kunnen omgekeerd evenredig zijn (= als een product constant met
een bepaalde factor toe neemt, boven de nul, een andere factor neemt hierbij dan af).
3
, Breuken - Theorie
Visie Probleem oplossen (2.4.4)
→ Protocol Ernstige RekenWiskunde-problemen en Dyscalculie (PERWD) = protocol dat
leerlingen signaleert en begeleidt bij ernstige rekenproblemen en evt dyscalculie constateert. Het
handelingsmodel is hierbij belangrijk, hiermee kun je kijken hoe kinderen rekenen.
Onderbouw - Delen (4.3.5)
→ Verdelen: Een hoeveelheid, deel je eerlijk door het gegeven aantal. Dus als je 24 knikkers hebt en 6
kinderen, krijgt ieder kind eerlijk 6 knikkers.
→ Opdelen/Ratio: Je maakt groepjes aantallen, die je steeds van de gehele hoeveelheid afhaalt, je doet dit
net zolang totdat je het hebt opgedeeld, vervolgens kijk je hoeveel groepjes je hebt kunnen maken. Dus
stel je hebt 24 knikkers en je wilt een groepje uit 6 knikkers laten bestaan, haal je steeds een groepje van 6
knikkers van die 24 knikkers tot ze op verdeeld zijn. Uiteindelijk zie je dat je er 6 groepjes van kon maken.
Bovenbouw - Breuken (5.3.5)
→ Gebruikte contexten voor breuken zijn: pizza’s, taarten, limonade.
→ Hoe een breuk voor kan komen, verschijningsvormen:
1 Meetgetal: Er staat hierbij een eenheid achter, geeft een deel van t geheel aan: ik heb ½ liter.
2 Uitkomst eerlijke deling: Als er geen exact getal uitkomt: ieder krijgt 1 ½ pizza.
3 Deel-Geheel getal: Gaat over geen standaard/precieze maat: ¾ limonade, ½ chocola.
4 Operator/vermenigvuldiger: Deel van een hoeveelheid: ¼ deel van €35, ½ van 2 KG.
5 Rationeel getal: Gebroken getal, kale breuk, zonder hoeveelheid: ½ , ¼
→ Soorten getallen breuken/Rationale getallen:
1 Echte breuk: De ‘Gewone’ breuk, kleiner dan 1, teller kleiner dan de noemer: 1/3 , 2/5 , 5/8
2 Gemengde/Samengestelde breuk: Heel getal met een breuk: 1 ½ , 5 ¼ , 3 1/3
3 Stambreuk: Breuk met teller 1: ½ , 1/3, ¼ , 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9 , 1/33
4 Tiendelige (Decimale) breuk: Breuk met noemer 10: 1/10, 3/10, 5/10, 7/10, 9/10
5 Onechte breuk: Breuk waar helen niet uit zijn gehaald, teller is groter: 6/3 , 4/2, 8/3 , 10/4
6 Equivalente breuk: Gelijkwaardige breuken, waarbij uitkomst zelfde is: ½ = 2/4, 1/3 = 3/9
→ Modellen voor breuken:
1 Cirkel: Voor introductie van breuken (+ context pizza), voor ‘deel-geheel getal’, optellen.
2 Strook: (+ context chocola), voor makkelijk te delen in een breuk en optellen.
3 De getallenlijn, inzicht gelijknamige breuken en volgorde van waarde breuken.
4 Dubbele getallenlijn: Met daarop tussen hele getallen de breuken, optellen/aftrekken.
5 Verhoudingstabel: Deze structureert gegevens en is een rekenschema, optellen/aftrekken.
6 Bemiddelende grootheid: is een context bij een kale som, de uitkomst is de ondermaat. Als
je bijvoorbeeld de grootheid geld gebruikt met de euro, is dat geld de bemiddelende grooth.
Modellen bij vermenigvuldigen:
- Heel getal x Breuk → Getallenlijn, hier kan je goed herhaalde optelling geven.
- Breuk x Heel getal → Cirkel, hier kan je de breuken via cirkels optellen.
- Breuk x Breuk → Rechthoekmodel, cirkel/strook.
- .. x Samengestelde breuk → Rechthoekmodel.
4
