Hallaremos algunos valores exactos de la siguiente integral:
2
𝜋 ∞ 𝑒 −𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥)𝑑𝑥
𝑀(𝑎) = ∫ 𝜋𝑥
4 0 cosh( 2 )
Para eso recurrimos a la vieja confiable de los matemáticos, con ustedes la transformada de
laplace:
∞ 2
−𝑎𝜃
𝜋 ∞ ∞ 𝑒 −𝑎𝜃 𝑒 −𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑎
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∫ ∫ 𝜋𝑥
0 4 0 0 cosh ( )
2
∞
𝜋 ∞ cos(𝑏𝑥) 𝑑𝑥
∫ 𝑒 −𝑎𝜃 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∫
0 4 0 cosh (𝜋𝑥) (𝑥 2 + 𝜃)
2
Recordemos la siguiente descomposición en serie de Fourier:
∞
𝜋 (−1)𝑘 (2𝑘 + 1)
𝜋𝑥 = ∑ 2 2
4 cosh ( 2 ) 𝑘=0 (2𝑘 + 1) + 𝑥
Y reemplazamos en la transformada, asi:
∞ ∞ ∞ (−1)𝑘 (2𝑘 + 1) cos(𝑏𝑥) 𝑑𝑥
−𝑎𝜃
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∫ ∑
0 0 ((2𝑘 + 1)2 + 𝑥 2 ) (𝑥 2 + 𝜃)
𝑘=0
Aplicamos aritmética básica, al integrando, descomponiendo en fracciones parciales
∞ ∞ ∞ (−1)𝑘 (2𝑘 + 1)((2𝑘 + 1)2 − 𝜃 2 )) cos(𝑏𝑥) 𝑑𝑥
−𝑎𝜃
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∫ ∑
0 0 ((2𝑘 + 1)2 + 𝑥 2 )(𝑥 2 + 𝜃) ((2𝑘 + 1)2 − 𝜃)
𝑘=0
∞ ∞ ∞ (−1)𝑘 (2𝑘 + 1) cos(𝑏𝑥)
−𝑎𝜃
1 1
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∫ ∑ 2
( 2 − )
0 0 ((2𝑘 + 1) − 𝜃) (𝑥 + 𝜃) ((2𝑘 + 1)2 + 𝑥 2 )
𝑘=0
También recordamos, la archiconocida integral, y lo aplicamos a la formula anterior:
∞
cos(𝑏𝑥) 𝜋
∫ 2 2
𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑎𝑏
0 𝑥 +𝑎 2
∞ ∞ ∞ (−1)𝑘 (2𝑘 + 1) cos(𝑏𝑥)
−𝑎𝜃
1 1
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∫ ∑ 2
( 2 − )𝑑𝑥
0 0 ((2𝑘 + 1) − 𝜃) (𝑥 + 𝜃) ((2𝑘 + 1)2 + 𝑥 2 )
𝑘=0
∞ ∞ ∞ (−1)𝑘 (2𝑘 + 1) cos(𝑏𝑥)
−𝑎𝜃
cos(𝑏𝑥)
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∫ ∑ ( 2 − )𝑑𝑥
0 0 ((2𝑘 + 1) − 𝜃) (𝑥 + 𝜃) ((2𝑘 + 1)2 + 𝑥 2 )
2
𝑘=0
∞ ∞
−𝑎𝜃
(−1)𝑘 (2𝑘 + 1) 𝜋 −𝑏√𝜃 𝜋
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∑ ( 𝑒 − 𝑒 −𝑏(2𝑘+1) )
0 ((2𝑘 + 1)2 − 𝜃) 2√𝜃 2(2𝑘 + 1)
𝑘=0
, Ordenamos esta expresión:
∞ ∞ ∞
−𝑎𝜃
𝜋 −𝑏√𝜃
(−1)𝑘 (2𝑘 + 1) 𝜋 (−1)𝑘 𝑒 −𝑏(2𝑘+1)
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = 𝑒 ∑ − ∑
0 2√𝜃 ((2𝑘 + 1)2 − 𝜃) 2 ((2𝑘 + 1)2 − 𝜃)
𝑘=0 𝑘=0
Pero sabemos lo siguiente:
∞
𝜋 (−1)𝑘 (2𝑘 + 1)
𝜋𝑥 = ∑ 2 2
4 cosh ( 2 ) 𝑘=0 (2𝑘 + 1) + 𝑥
Haciendo x=𝑖√𝜃
∞
𝜋 (−1)𝑘 (2𝑘 + 1)
=∑
𝜋√𝜃 (2𝑘 + 1)2 − 𝜃
4 cos ( 2 ) 𝑘=0
Reemplazamos y tenemos esta:
∞ ∞
−𝑎𝜃
𝜋 −𝑏√𝜃
𝜋 𝜋 (−1)𝑘 𝑒 −𝑏(2𝑘+1)
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = 𝑒 − ∑
0 2√𝜃 𝜋√𝜃 2 ((2𝑘 + 1)2 − 𝜃)
4 cos ( 2 ) 𝑘=0
∞ ∞
−𝑎𝜃
𝜋2 𝜋 𝑒 −𝑏√𝜃
(−1)𝑘 𝑒 −𝑏(2𝑘+1)
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = − ∑
0 8√𝜃 𝜋√𝜃 2 ((2𝑘 + 1)2 − 𝜃)
cos ( ) 𝑘=0
2
Ahora, aplicaremos la transformada inversa de Laplace, como veremos, pero recordemos que:
∞ ∞
1 2𝑒 −𝑖𝑥
= = 2 ∑(−1)𝑘 𝑒 −𝑖𝑥−2𝑖𝑥𝑘 = 2 ∑(−1)𝑘 𝑒 −𝑖𝑥(2𝑘+1)
cos(𝑥) 1 + 𝑒 −2𝑖𝑥
𝑘=0 𝑘=0
Y reemplazamos por enésima vez:
∞ ∞ ∞
−𝑎𝜃
𝜋2 𝑘 −(𝑖𝜋(2𝑘+1)+𝑏)√𝜃
𝜋 (−1)𝑘 𝑒 −𝑏(2𝑘+1)
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∑(−1) 𝑒 + ∑
0 4√𝜃 𝑘=0 2 (𝜃 − (2𝑘 + 1)2 )
𝑘=0
Finalmente, ya es bien conocida esta formula:
𝑐
∞ −𝑥−𝑥𝜃
𝑒 √𝜋
∫ 𝑑𝑥 = 𝑒 −2√𝑐𝜃
0 √𝑥 √𝜃
Y obtenemos la transformada inversa del lado derecho:
3 ∞ 𝑖𝜋(2𝑘+1) ∞
𝜋2 𝑘
𝑒 −( 2
+𝑏)√𝜃
𝜋 ∞
2
∑(−1) √𝜋 + ∑(−1)𝑘 𝑒 −𝑏(2𝑘+1) ∫ 𝑒 −𝑎𝜃+𝑎(2𝑘+1) 𝑑𝑎
4 √𝜃 2 0
𝑘=0 𝑘=0
Integraformamos:
2
𝜋 ∞ 𝑒 −𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥)𝑑𝑥
𝑀(𝑎) = ∫ 𝜋𝑥
4 0 cosh( 2 )
Para eso recurrimos a la vieja confiable de los matemáticos, con ustedes la transformada de
laplace:
∞ 2
−𝑎𝜃
𝜋 ∞ ∞ 𝑒 −𝑎𝜃 𝑒 −𝑎𝑥 cos(𝑏𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑎
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∫ ∫ 𝜋𝑥
0 4 0 0 cosh ( )
2
∞
𝜋 ∞ cos(𝑏𝑥) 𝑑𝑥
∫ 𝑒 −𝑎𝜃 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∫
0 4 0 cosh (𝜋𝑥) (𝑥 2 + 𝜃)
2
Recordemos la siguiente descomposición en serie de Fourier:
∞
𝜋 (−1)𝑘 (2𝑘 + 1)
𝜋𝑥 = ∑ 2 2
4 cosh ( 2 ) 𝑘=0 (2𝑘 + 1) + 𝑥
Y reemplazamos en la transformada, asi:
∞ ∞ ∞ (−1)𝑘 (2𝑘 + 1) cos(𝑏𝑥) 𝑑𝑥
−𝑎𝜃
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∫ ∑
0 0 ((2𝑘 + 1)2 + 𝑥 2 ) (𝑥 2 + 𝜃)
𝑘=0
Aplicamos aritmética básica, al integrando, descomponiendo en fracciones parciales
∞ ∞ ∞ (−1)𝑘 (2𝑘 + 1)((2𝑘 + 1)2 − 𝜃 2 )) cos(𝑏𝑥) 𝑑𝑥
−𝑎𝜃
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∫ ∑
0 0 ((2𝑘 + 1)2 + 𝑥 2 )(𝑥 2 + 𝜃) ((2𝑘 + 1)2 − 𝜃)
𝑘=0
∞ ∞ ∞ (−1)𝑘 (2𝑘 + 1) cos(𝑏𝑥)
−𝑎𝜃
1 1
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∫ ∑ 2
( 2 − )
0 0 ((2𝑘 + 1) − 𝜃) (𝑥 + 𝜃) ((2𝑘 + 1)2 + 𝑥 2 )
𝑘=0
También recordamos, la archiconocida integral, y lo aplicamos a la formula anterior:
∞
cos(𝑏𝑥) 𝜋
∫ 2 2
𝑑𝑥 = 𝑒 −𝑎𝑏
0 𝑥 +𝑎 2
∞ ∞ ∞ (−1)𝑘 (2𝑘 + 1) cos(𝑏𝑥)
−𝑎𝜃
1 1
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∫ ∑ 2
( 2 − )𝑑𝑥
0 0 ((2𝑘 + 1) − 𝜃) (𝑥 + 𝜃) ((2𝑘 + 1)2 + 𝑥 2 )
𝑘=0
∞ ∞ ∞ (−1)𝑘 (2𝑘 + 1) cos(𝑏𝑥)
−𝑎𝜃
cos(𝑏𝑥)
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∫ ∑ ( 2 − )𝑑𝑥
0 0 ((2𝑘 + 1) − 𝜃) (𝑥 + 𝜃) ((2𝑘 + 1)2 + 𝑥 2 )
2
𝑘=0
∞ ∞
−𝑎𝜃
(−1)𝑘 (2𝑘 + 1) 𝜋 −𝑏√𝜃 𝜋
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∑ ( 𝑒 − 𝑒 −𝑏(2𝑘+1) )
0 ((2𝑘 + 1)2 − 𝜃) 2√𝜃 2(2𝑘 + 1)
𝑘=0
, Ordenamos esta expresión:
∞ ∞ ∞
−𝑎𝜃
𝜋 −𝑏√𝜃
(−1)𝑘 (2𝑘 + 1) 𝜋 (−1)𝑘 𝑒 −𝑏(2𝑘+1)
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = 𝑒 ∑ − ∑
0 2√𝜃 ((2𝑘 + 1)2 − 𝜃) 2 ((2𝑘 + 1)2 − 𝜃)
𝑘=0 𝑘=0
Pero sabemos lo siguiente:
∞
𝜋 (−1)𝑘 (2𝑘 + 1)
𝜋𝑥 = ∑ 2 2
4 cosh ( 2 ) 𝑘=0 (2𝑘 + 1) + 𝑥
Haciendo x=𝑖√𝜃
∞
𝜋 (−1)𝑘 (2𝑘 + 1)
=∑
𝜋√𝜃 (2𝑘 + 1)2 − 𝜃
4 cos ( 2 ) 𝑘=0
Reemplazamos y tenemos esta:
∞ ∞
−𝑎𝜃
𝜋 −𝑏√𝜃
𝜋 𝜋 (−1)𝑘 𝑒 −𝑏(2𝑘+1)
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = 𝑒 − ∑
0 2√𝜃 𝜋√𝜃 2 ((2𝑘 + 1)2 − 𝜃)
4 cos ( 2 ) 𝑘=0
∞ ∞
−𝑎𝜃
𝜋2 𝜋 𝑒 −𝑏√𝜃
(−1)𝑘 𝑒 −𝑏(2𝑘+1)
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = − ∑
0 8√𝜃 𝜋√𝜃 2 ((2𝑘 + 1)2 − 𝜃)
cos ( ) 𝑘=0
2
Ahora, aplicaremos la transformada inversa de Laplace, como veremos, pero recordemos que:
∞ ∞
1 2𝑒 −𝑖𝑥
= = 2 ∑(−1)𝑘 𝑒 −𝑖𝑥−2𝑖𝑥𝑘 = 2 ∑(−1)𝑘 𝑒 −𝑖𝑥(2𝑘+1)
cos(𝑥) 1 + 𝑒 −2𝑖𝑥
𝑘=0 𝑘=0
Y reemplazamos por enésima vez:
∞ ∞ ∞
−𝑎𝜃
𝜋2 𝑘 −(𝑖𝜋(2𝑘+1)+𝑏)√𝜃
𝜋 (−1)𝑘 𝑒 −𝑏(2𝑘+1)
∫ 𝑒 𝑀(𝑎)𝑑𝑎 = ∑(−1) 𝑒 + ∑
0 4√𝜃 𝑘=0 2 (𝜃 − (2𝑘 + 1)2 )
𝑘=0
Finalmente, ya es bien conocida esta formula:
𝑐
∞ −𝑥−𝑥𝜃
𝑒 √𝜋
∫ 𝑑𝑥 = 𝑒 −2√𝑐𝜃
0 √𝑥 √𝜃
Y obtenemos la transformada inversa del lado derecho:
3 ∞ 𝑖𝜋(2𝑘+1) ∞
𝜋2 𝑘
𝑒 −( 2
+𝑏)√𝜃
𝜋 ∞
2
∑(−1) √𝜋 + ∑(−1)𝑘 𝑒 −𝑏(2𝑘+1) ∫ 𝑒 −𝑎𝜃+𝑎(2𝑘+1) 𝑑𝑎
4 √𝜃 2 0
𝑘=0 𝑘=0
Integraformamos:
