Sumario Calculo

Usemos las siguientes fórmulas que yo ya calculé y pueden demostrar ustedes mismos integrando,
con excepción de la suma de posson, cuya demostración ya la hice en un video anterior, aquí las
formulas o ingredientes para la demostración, no lo demuestro para no alargar el video:

PRIMERA FORMULA:
∞ 𝑎𝑛
sin⁡(𝑛𝑥) 𝜋 − 𝑎𝑛
∫ 4 4
𝑑𝑥 = 4
(1 − 𝑒 √2 cos⁡( ))
0 𝑥(𝑥 + 𝑎 ) 2𝑎 √2
SEGUNDA FORMULA:
∞
1 (−1)𝑘 𝜋 3 (2𝑘 + 1)3
=∑
cosh(𝑥) + cos⁡(𝑥) 𝜋 4 𝜋4 4
𝑘=0 cosh⁡( (2𝑘 + 1))(𝑥 +
2 4 (2𝑘 + 1) )
TERCERA FORMULA:
∞
𝑆𝑖:⁡⁡⁡ ∫ 𝑓(𝑥) sin(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑎); ⁡⁡⁡⁡⁡𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
0
∞ ∞
𝜋 𝜋
∑(−1)𝑘 𝑓((2𝑘 + 1) ) = ∑(−1)𝑘 𝐹(𝑏(2𝑘 + 1))
2𝑏 2𝑏
𝑘=0 𝑘=0

Multipliquemos la segunda fórmula, por seno de ve doble equis entre equis a ambos miembros, y
luego integremos entre infinito y cero:
∞ ∞ ∞
sin⁡(𝑛𝑥) (−1)𝑘 𝜋 3 (2𝑘 + 1)3 sin⁡(𝑤𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑥 = ∫ ∑
0 𝑥(cosh(𝑥) + cos⁡(𝑥)) 𝜋 4 𝜋4
0 𝑘=0 cosh⁡( (2𝑘 + 1))𝑥(𝑥 + (2𝑘 + 1)4 )
2 4
∞ ∞
sin⁡(𝑛𝑥) (−1)𝑘 𝜋 3 (2𝑘 + 1)3 ∞ sin⁡(𝑛𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑑𝑥 = ∑ 𝜋 ∫
𝑥(cosh(𝑥) + cos⁡
( 𝑥)) 𝜋4
𝑘=0 cosh⁡(2 (2𝑘 + 1)) 0 𝑥(𝑥 +
0 4 (2𝑘 + 1)4 )
4
PERO AQUÍ USEMOS LA PRIMERA FORMULA:
∞ 𝑎𝑛
sin⁡(𝑤𝑥) 𝜋 − 𝑎𝑛
∫ 4 4
𝑑𝑥 = 4
(1 − 𝑒 √2 cos⁡( ))
0 𝑥(𝑥 + 𝑎 ) 2𝑎 √2
Reemplazamos sin más:
∞ ∞
sin⁡(𝑛𝑥) (−1)𝑘 𝜋 3 (2𝑘 + 1)3 4𝜋 −
𝜋(2𝑘+1)𝑛 𝜋(2𝑘 + 1)𝑛
∫ 𝑑𝑥 = ∑ (1 − 𝑒 2 cos ( ))
0 𝑥(cosh(𝑥) + cos⁡(𝑥))
𝜋 2𝜋 4 2
𝑘=0 cosh ( (2𝑘 + 1))
2
Operamos: