Cálculo I 1-2024
Profesor: Ignacio Huerta Navarro
Ayudante: Sebastián Puigmartı́ Landa
Ayudantı́a 10
8 de agosto de 2024
P1
Sea f : R → R función, tal que |f (x)| ≤ |x|α , con α > 1. Demuestre que f es diferenciable
en x = 0.
Solución
Para demostrar que f es derivable en x = 0, necesitamos demostrar que el siguiente lı́mite
existe:
f (x) − f (0)
lim (1)
x→0 x−0
Notemos que |f (0)| ≤ |0|α , por lo tanto podemos simplificar el lı́mite a:
f (x)
lim (2)
x→0 x
Utilizando el teorema del sandwich, podemos ver que −|x|α ≤ f (x) ≤ |x|α . Recordando
que :
|x|α f (x) |x|α
lim − ≤ lim ≤ lim (3)
x→0 x x→0 x x→0 x
f (x)
=⇒ 0 ≤ lim ≤0 (4)
x→0 x
f (x)
=⇒ lim =0 (5)
x→0 x
Por lo tanto, el lı́mite existe y además es 0.
P2
Definimos la función Sn (x) = xn en R, demuestre que la k−ésima se puede caracterizar
de la siguiente forma:
n!
Sn(k) (x) = xn−k (6)
(n − k)!
1
Profesor: Ignacio Huerta Navarro
Ayudante: Sebastián Puigmartı́ Landa
Ayudantı́a 10
8 de agosto de 2024
P1
Sea f : R → R función, tal que |f (x)| ≤ |x|α , con α > 1. Demuestre que f es diferenciable
en x = 0.
Solución
Para demostrar que f es derivable en x = 0, necesitamos demostrar que el siguiente lı́mite
existe:
f (x) − f (0)
lim (1)
x→0 x−0
Notemos que |f (0)| ≤ |0|α , por lo tanto podemos simplificar el lı́mite a:
f (x)
lim (2)
x→0 x
Utilizando el teorema del sandwich, podemos ver que −|x|α ≤ f (x) ≤ |x|α . Recordando
que :
|x|α f (x) |x|α
lim − ≤ lim ≤ lim (3)
x→0 x x→0 x x→0 x
f (x)
=⇒ 0 ≤ lim ≤0 (4)
x→0 x
f (x)
=⇒ lim =0 (5)
x→0 x
Por lo tanto, el lı́mite existe y además es 0.
P2
Definimos la función Sn (x) = xn en R, demuestre que la k−ésima se puede caracterizar
de la siguiente forma:
n!
Sn(k) (x) = xn−k (6)
(n − k)!
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