Cálculo I 1-2024
Ayudante: Sebastián Puig
Ayudantı́a 3
P1
1
Pruebe por definición de lı́mite para sucesiones que limn→∞ log(n+1)
= 0.
Solución
Para esto usamos un borrador que no será parte de la definición formal, dicho borrador
nos ayudará a encontrar una relación entre n0 y ε > 0:
Borrador: Busquemos alguna forma de relacionar n0 y ε,
1 1
| − 0| = | | < ε ⇐⇒ 1 < ε| log(n0 + 1)|
log(n0 + 1) log(n0 + 1)
Usando la desigualdad fundamental del logaritmo (log(x) ≤ x − 1 para todo x
positivo).
1 < ε| log(n0 + 1)| ≤ ε|n0 + 1 − 1| = εn0
1
=⇒ < n0
ε
1
Vamos a hacer un truquito más que nos ayudará para después, tomemos ε−1
< n0
para ε ̸= 1. Ahora podemos proceder a la demostración formal.
1
Notemos que para todo ε > 0, existe un n0 ∈ N definido por ε
< n0 , tal que para todo
n ≥ n0 :
1 1
| |≤| |
log(n + 1) log(n0 + 1)
1
<| 1 | (ε ̸= 1)
log( ε−1 + 1)
1
≤| |
1 − 1 1+1
ε−1
1
ε−1
+1
=| 1 |
ε−1
=ε
1
Ayudante: Sebastián Puig
Ayudantı́a 3
P1
1
Pruebe por definición de lı́mite para sucesiones que limn→∞ log(n+1)
= 0.
Solución
Para esto usamos un borrador que no será parte de la definición formal, dicho borrador
nos ayudará a encontrar una relación entre n0 y ε > 0:
Borrador: Busquemos alguna forma de relacionar n0 y ε,
1 1
| − 0| = | | < ε ⇐⇒ 1 < ε| log(n0 + 1)|
log(n0 + 1) log(n0 + 1)
Usando la desigualdad fundamental del logaritmo (log(x) ≤ x − 1 para todo x
positivo).
1 < ε| log(n0 + 1)| ≤ ε|n0 + 1 − 1| = εn0
1
=⇒ < n0
ε
1
Vamos a hacer un truquito más que nos ayudará para después, tomemos ε−1
< n0
para ε ̸= 1. Ahora podemos proceder a la demostración formal.
1
Notemos que para todo ε > 0, existe un n0 ∈ N definido por ε
< n0 , tal que para todo
n ≥ n0 :
1 1
| |≤| |
log(n + 1) log(n0 + 1)
1
<| 1 | (ε ̸= 1)
log( ε−1 + 1)
1
≤| |
1 − 1 1+1
ε−1
1
ε−1
+1
=| 1 |
ε−1
=ε
1
