Cálculo I 1-2024
Ayudante: Sebastián Puig
Ayudantı́a 2
P1
Demuestre que para todo A ⊂ R no vacı́o y acotado inferiormente, puede tener a lo más
un ı́nfimo.
Solución
Supongamos por contradicción que existen al menos dos ı́nfimos de A, a y b. Por definición
de ı́nfimo, para todo x ∈ A se tiene que x ≥ a y x ≥ b, además para cualquier cota inferior
c de A, también se tiene que c ≤ a y c ≤ b.
Si a ̸= b tal que a ≤ b (es análogo para b ≤ a), entonces b es una cota inferior mayor
que a, pero como a es ı́nfimo de A, entonces debe ser la mayor de las cotas inferiores, por
lo tanto es una contradicción. Luego, a = b, es decir, A posée un único ı́nfimo.
P2
Sea u ∈ R el supremo de S ⊂ R. Demuestre que los siguientes enunciados son equiva-
lentes:
i) Si v es cota superior de S, entonces u ≤ v.
ii) Si z < u, entonces z no es cota superior de S.
iii) Si z < u, entonces existe un sz ∈ S, tal que z < sz
iv) Si ε > 0, entonces existe un sε ∈ S, tal que u − ε < sε .
Solución
Vamos a demostrar las equivalencias en una segudilla de implicancias, es decir i) =⇒
ii) =⇒ iii) =⇒ iv) =⇒ i).
i) =⇒ ii): Para esta parte nos conviene utilizar la contrarreciproca de i), es decir, ”Si u >
v, entonces v no es cota superior de S”. Esto es exactamente ii), en particular
demostramos i) ⇐⇒ ii).
1
Ayudante: Sebastián Puig
Ayudantı́a 2
P1
Demuestre que para todo A ⊂ R no vacı́o y acotado inferiormente, puede tener a lo más
un ı́nfimo.
Solución
Supongamos por contradicción que existen al menos dos ı́nfimos de A, a y b. Por definición
de ı́nfimo, para todo x ∈ A se tiene que x ≥ a y x ≥ b, además para cualquier cota inferior
c de A, también se tiene que c ≤ a y c ≤ b.
Si a ̸= b tal que a ≤ b (es análogo para b ≤ a), entonces b es una cota inferior mayor
que a, pero como a es ı́nfimo de A, entonces debe ser la mayor de las cotas inferiores, por
lo tanto es una contradicción. Luego, a = b, es decir, A posée un único ı́nfimo.
P2
Sea u ∈ R el supremo de S ⊂ R. Demuestre que los siguientes enunciados son equiva-
lentes:
i) Si v es cota superior de S, entonces u ≤ v.
ii) Si z < u, entonces z no es cota superior de S.
iii) Si z < u, entonces existe un sz ∈ S, tal que z < sz
iv) Si ε > 0, entonces existe un sε ∈ S, tal que u − ε < sε .
Solución
Vamos a demostrar las equivalencias en una segudilla de implicancias, es decir i) =⇒
ii) =⇒ iii) =⇒ iv) =⇒ i).
i) =⇒ ii): Para esta parte nos conviene utilizar la contrarreciproca de i), es decir, ”Si u >
v, entonces v no es cota superior de S”. Esto es exactamente ii), en particular
demostramos i) ⇐⇒ ii).
1
