Cálculo I 1-2024
Ayudante: Sebastián Puigmartı́ Landa
Ayudantı́a 1
P1
Demostrar el siguiente resultado:
ab > 0 ⇐⇒ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) (1)
Solución
=⇒ ] Suponiendo que ab > 0 y (como tenemos un ”o” lógico) que (a < 0 ∧ b < 0) es
falso, entonces basta primero demostrar que (a > 0 ∧ b > 0) es verdadero. En efecto,
notemos que:
¬(a < 0 ∧ b < 0) ⇐⇒ (a ≥ 0 ∨ b ≥ 0)
Recordado la hipótesis sabemos que si ab > 0 entonces a ̸= 0 ̸= b, por lo tanto la
proposición anterior queda en:
(a > 0 ∨ b > 0)
Volvemos a tener un ”o” lógico, ası́ que supongamos que b > 0 es falso, entonces b ≤ 0
pero esto es una contradicción ya que supusimos en un principio que b no podı́a ser menor
a 0. Por lo tanto b > 0. Podemos aplicar este mismo proceso a a, luego a > 0. Ası́ hemos
demostrado que (a > 0 ∧ b > 0).
De manera análoga, si suponemos que (a > 0 ∧ b > 0) es falso, vamos a llegar que
(a < 0 ∧ b < 0) es verdadero (solo hay que seguir los pasos del procedimiento anterior).
⇐= ] Ya demostramos un lado de la proposición, ahora debemos suponer que (a >
0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) y probar que ab > 0. Sin embargo esto se tiene de manera
directa por los axiomas de tricotomı́a (al igual que para la otra parte de la proposición).
Como fueron demostradas las dos implicancias, se tiene la equivalencia pedida.
P2
Sea a < b y c < d, demuestre que ad + bc < ac + bd.
1
Ayudante: Sebastián Puigmartı́ Landa
Ayudantı́a 1
P1
Demostrar el siguiente resultado:
ab > 0 ⇐⇒ (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) (1)
Solución
=⇒ ] Suponiendo que ab > 0 y (como tenemos un ”o” lógico) que (a < 0 ∧ b < 0) es
falso, entonces basta primero demostrar que (a > 0 ∧ b > 0) es verdadero. En efecto,
notemos que:
¬(a < 0 ∧ b < 0) ⇐⇒ (a ≥ 0 ∨ b ≥ 0)
Recordado la hipótesis sabemos que si ab > 0 entonces a ̸= 0 ̸= b, por lo tanto la
proposición anterior queda en:
(a > 0 ∨ b > 0)
Volvemos a tener un ”o” lógico, ası́ que supongamos que b > 0 es falso, entonces b ≤ 0
pero esto es una contradicción ya que supusimos en un principio que b no podı́a ser menor
a 0. Por lo tanto b > 0. Podemos aplicar este mismo proceso a a, luego a > 0. Ası́ hemos
demostrado que (a > 0 ∧ b > 0).
De manera análoga, si suponemos que (a > 0 ∧ b > 0) es falso, vamos a llegar que
(a < 0 ∧ b < 0) es verdadero (solo hay que seguir los pasos del procedimiento anterior).
⇐= ] Ya demostramos un lado de la proposición, ahora debemos suponer que (a >
0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) y probar que ab > 0. Sin embargo esto se tiene de manera
directa por los axiomas de tricotomı́a (al igual que para la otra parte de la proposición).
Como fueron demostradas las dos implicancias, se tiene la equivalencia pedida.
P2
Sea a < b y c < d, demuestre que ad + bc < ac + bd.
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