Cálculo de EDO
2-2024
Profesora: Galina Garcı́a
Ayudante: Sebastián Puigmartı́
Ayudantı́a 1
Soluciones de EDOs
Considere las siguientes EDOs y soluciones propuestas.
( p
y′ 1 − x2 y 2 − x = y
a) (
y = arcsin(xy) ln(x) = x1 + y
c)
y = x2 y ′′ + xy ′ − ln(x)
(
x2 y ′′ = xy ′ − 2y
b)
y = x cos(ln(x))
Y responda y justifique las siguientes preguntas:
1. ¿Es la EDO Lineal?
2. ¿A coeficientes variables?
3. ¿De qué grado y orden?
4. ¿La solución propuesta es efectivamente solución de la EDO?
Isóclinas
Obtenga la ecuación diferencial de la familia de curvas planas descritas a continuación
y bosqueje algunos miembros representativos de la familia (Asuma que son de primer
orden):
1. Rectas con la pendiente y la intercepción con el eje X iguales.
2. Rectas con la suma algebraica de las intercepciones iguales a K.
3. Sea C ∈ R+ y el campo de direcciones:
y(x) = − ln(C)
4. Sea C ∈ R y el campo de direcciones:
(
− xC2 , si x ̸= 0
y(x) =
0 , si x = 0
1
, Existencia y unicidad
Determine las regiones donde existe soluciones únicas para las siguientes EDOs:
dy 1 dy y+1
a) = c) =
dx x − ln(y 2 + 1) dx x−1
dy cos(x) dy
b) = d) = |xy|
dx y − sin(x) dx
Soluciones
Soluciones de EDOs
:
p
a) 1. La EDO no es lineal, ya que el término 1 − x2 y 2 contiene un expente a y y
una raı́z
p
2. Basta notar que el coeficiente de y ′ (y ′ ( 1 − x2 y 2 − x)), varı́a con respecto a
x
3. Como la mayor derivada de y es y ′ , entonces es de primer orden. Por otro
lado, si bien hay una raı́z dentro de la ecuación, esta no acompaña a y ′ , por lo
tanto se toma el exponente de la mayor derivada, es decir, su grado es 1
′
4. Si tomamos y = arcsin(xy) entonces y ′ = √y+y2 2 . Verifiquemos si se cumple
1−x y
p
′
y 1 − x2 y 2 − x − y = 0, reemplazando tenemos:
p p
′
y 1 − x y − x − y = y ′ 1 − x2 y 2 − y ′ x − y
2 2
y + y′ p
=p 1 − x2 y 2 − y ′ x − y
1 − x2 y 2
= y′ − y′x
Notemos que y ′ (1 − x) = 0 no se cumple para todo x ∈ R, en particular,
tampoco se cumple donde se asegura la existencia de solución. (Esto se verá
en otro ejercicio).
b) 1. En este caso podemos apreciar que la función F (x, y, y ′ , y ′′ ) = x2 y ′′ +2y−xy ′ es
lineal con respecto a las derivadas de y (es decir, las derivadas de y reasemblan
la estructura de un polinomio de grado 1). Vale mencionar que además es
homogenea.
2. Los coeficientes efectivamente varian, por ejemplo para xy ′ .
3. Como la mayor derivada de y es y ′′ , entonces es de segundo orden. Además,
el exponente de y ′′ es 1, por lo tanto el grado es 1.
4. Si tomamos y = x cos(ln(x)) entonces:
sin(ln(x))
y ′ = cos(ln(x)) − x = cos(ln(x)) − sin(ln(x))
x
2
2-2024
Profesora: Galina Garcı́a
Ayudante: Sebastián Puigmartı́
Ayudantı́a 1
Soluciones de EDOs
Considere las siguientes EDOs y soluciones propuestas.
( p
y′ 1 − x2 y 2 − x = y
a) (
y = arcsin(xy) ln(x) = x1 + y
c)
y = x2 y ′′ + xy ′ − ln(x)
(
x2 y ′′ = xy ′ − 2y
b)
y = x cos(ln(x))
Y responda y justifique las siguientes preguntas:
1. ¿Es la EDO Lineal?
2. ¿A coeficientes variables?
3. ¿De qué grado y orden?
4. ¿La solución propuesta es efectivamente solución de la EDO?
Isóclinas
Obtenga la ecuación diferencial de la familia de curvas planas descritas a continuación
y bosqueje algunos miembros representativos de la familia (Asuma que son de primer
orden):
1. Rectas con la pendiente y la intercepción con el eje X iguales.
2. Rectas con la suma algebraica de las intercepciones iguales a K.
3. Sea C ∈ R+ y el campo de direcciones:
y(x) = − ln(C)
4. Sea C ∈ R y el campo de direcciones:
(
− xC2 , si x ̸= 0
y(x) =
0 , si x = 0
1
, Existencia y unicidad
Determine las regiones donde existe soluciones únicas para las siguientes EDOs:
dy 1 dy y+1
a) = c) =
dx x − ln(y 2 + 1) dx x−1
dy cos(x) dy
b) = d) = |xy|
dx y − sin(x) dx
Soluciones
Soluciones de EDOs
:
p
a) 1. La EDO no es lineal, ya que el término 1 − x2 y 2 contiene un expente a y y
una raı́z
p
2. Basta notar que el coeficiente de y ′ (y ′ ( 1 − x2 y 2 − x)), varı́a con respecto a
x
3. Como la mayor derivada de y es y ′ , entonces es de primer orden. Por otro
lado, si bien hay una raı́z dentro de la ecuación, esta no acompaña a y ′ , por lo
tanto se toma el exponente de la mayor derivada, es decir, su grado es 1
′
4. Si tomamos y = arcsin(xy) entonces y ′ = √y+y2 2 . Verifiquemos si se cumple
1−x y
p
′
y 1 − x2 y 2 − x − y = 0, reemplazando tenemos:
p p
′
y 1 − x y − x − y = y ′ 1 − x2 y 2 − y ′ x − y
2 2
y + y′ p
=p 1 − x2 y 2 − y ′ x − y
1 − x2 y 2
= y′ − y′x
Notemos que y ′ (1 − x) = 0 no se cumple para todo x ∈ R, en particular,
tampoco se cumple donde se asegura la existencia de solución. (Esto se verá
en otro ejercicio).
b) 1. En este caso podemos apreciar que la función F (x, y, y ′ , y ′′ ) = x2 y ′′ +2y−xy ′ es
lineal con respecto a las derivadas de y (es decir, las derivadas de y reasemblan
la estructura de un polinomio de grado 1). Vale mencionar que además es
homogenea.
2. Los coeficientes efectivamente varian, por ejemplo para xy ′ .
3. Como la mayor derivada de y es y ′′ , entonces es de segundo orden. Además,
el exponente de y ′′ es 1, por lo tanto el grado es 1.
4. Si tomamos y = x cos(ln(x)) entonces:
sin(ln(x))
y ′ = cos(ln(x)) − x = cos(ln(x)) − sin(ln(x))
x
2
