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Derivation of the Black-Scholes and
Cox-Ross-Rubinstein Models


Contents

1 Derivation of the Black-Scholes Model 2
1.1 1. Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 2. Itô’s Lemma Applied to Option Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 3. Portfolio Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4 4. Black-Scholes PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.5 5. Solution for a European Call Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Derivation of the Cox-Ross-Rubinstein (CRR) Model 3
2.1 1. Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 2. Binomial Tree Setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 3. Risk-Neutral Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.4 4. Backward Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.5 5. Convergence to Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3




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