9.6 Ecuaciones trigonométricas
Introducción En la sección 9.4 examinamos identidades, que son ecuaciones que con-
tienen funciones trigonométricas que se satisfacen con todos los valores de la variable para
la cual están definidos ambos lados de la igualdad. En esta sección examinaremos ecuaciones
trigonométricas condicionales, esto es, ecuaciones que sólo son válidas para ciertos valores
de la variable. Describiremos técnicas para determinar los valores de la variable 1si es que los
hay2 que satisfagan la ecuación.
Comenzaremos examinando el problema de determinar todos los números reales x que
satisfacen sen x 5 !. Como indica la gráfica de y 5 sen x de la FIGURA 9.6.1, existe una
cantidad infinita de soluciones de esta ecuación:
7p p 9p 17p
c, 2 , , , ,c (1)
4 4 4 4
5p 3p 11p 19p
y c, 2 , , , , c. (2)
4 4 4 4
y √2
y=
1 2
x
π 3π 9π 11π 17π 19π
– 7π – 5π 4 4 4 4 4 4
4 4
–1
y = sen x
FIGURA 9.6.1 Gráficas de y 5 sen x y y 5 !
Observe que en cada lista de (1) y (2), cada solución se puede obtener sumando 2p 5 8p/4
a la solución anterior. Eso es una consecuencia de la periodicidad de la función seno. Es
común que las ecuaciones trigonométricas tengan una cantidad infinita de soluciones, por
la periodicidad de las funciones trigonométricas. En general, para obtener soluciones de
una ecuación como sen x 5 !, lo más cómodo es usar un círculo unitario y ángulos
de referencia, y no una gráfica de la función trigonométrica. Ilustraremos este método en
el siguiente ejemplo.
■ EJEMPLO 1 Uso del círculo unitario
Determinar todos los números reales x que satisfagan sen x 5 !.
Solución Si sen x 5 !, el ángulo de referencia de x es p/4 radianes. Ya que el valor
de sen x es positivo, el lado terminal del ángulo x está en el primero o en el segundo cua- 3π
4
drantes. Así, como se ve en la FIGURA 9.6.2, las únicas soluciones entre 0 y 2p son √2 S π S √2
2 4 2
p 3p
x5 o x5 .
4 4
Como la función seno es periódica con periodo 2p, todas las soluciones restantes se pue-
den obtener sumando múltiplos enteros de 2p a estas soluciones:
p 3p
x 5 1 2np o x5 1 2np, (3)
4 4
FIGURA 9.6.2 Círculo unitario del
donde n es un entero. Los números que ve en (1) y (2) corresponden, respectivamente, a ejemplo 1
n 5 21, n 5 0, n 5 1 y n 5 2 en la primera y la segunda fórmulas en (3).
Cuando uno se encuentra con una ecuación más complicada, como
4 sen2 x 2 8 sen x 1 3 5 0,
9.6 Ecuaciones trigonométricas 433
09Algebra(389-442).indd 433 28/3/12 10:20:0
, el método básico es despejar una sola función trigonométrica (en este caso sería sen x) con
métodos similares a los que se usan para resolver ecuaciones algebraicas.
■ EJEMPLO 2 Solución de una ecuación trigonométrica mediante factorización
Determinar todas las soluciones de 4 sen2 x 2 8 sen x 1 3 5 0.
Solución Primero, se observa que se trata de una ecuación cuadrática en sen x, y que se
5π factoriza como sigue
6
1 π
→2
1
1 2 sen x 2 3 2 1 2 sen x 2 1 2 5 0.
2→ 6
Esto implica que
3 1
sen x 5 o sen x 5 .
2 2
La primera ecuación no tiene solución, porque 0 sen x 0 # 1. Como se ve en la FIGURA 9.6.3,
los dos ángulos entre 0 y 2p para los cuales sen x es igual a 12 son
FIGURA 9.6.3 Círculo unitario del
ejemplo 2 p 5p
x5 o x5 .
6 6
Por consiguiente, debido a la periodicidad de la función seno, las soluciones son
p 5p
x 5 1 2np o x5 1 2np,
6 6
donde n es un entero.
■ EJEMPLO 3 Verificación de soluciones perdidas
Determinar todas las soluciones de
sen x 5 cos x. (4)
Solución Para trabajar con una sola función trigonométrica, se dividen ambos lados de
la ecuación entre cos x, para obtener
tan x 5 1. (5)
cos 0 5 1, cos p 5 2 1, cos 2p 5 La ecuación (5) es equivalente a (4) siempre y cuando cos x 2 0. Se observa que si cos x
1, cos 3p 5 21, etc. En general, 5 0, entonces, de acuerdo con (4) de la sección 9.2, x 5 12n 1 12p/2 5 p/2 1 np, donde
cos np 5 1212n, donde n es un
n es un entero. Según la fórmula de suma del seno,
entero.
Vea (7) en la sección 9.4 1 21 2 n 0
T T T
x = 4π sen a 1 npb 5 sen cos np 1 cos sen np 5 1 21 2 n 2 0,
p p p
2 2 2
5π
4 π estos valores de x no satisfacen la ecuación original. Entonces, debemos determinar todas
4 las soluciones de (4), resolviendo la ecuación (5).
Ahora bien, tan x 5 1 implica que el ángulo de referencia de x sea p/4 radianes. Ya que
tan x 5 1 . 0, el lado terminal del ángulo de x radianes puede estar en el primer cuadrante
o en el tercero, como se ve en la FIGURA 9.6.4. Entonces, las soluciones son
x = 54π p 5p
x 5 1 2np o x5 1 2np,
4 4
FIGURA 9.6.4 Círculo unitario del donde n es un entero. En la figura 9.6.4 se puede ver que estos dos conjuntos de números
ejemplo 3
se pueden expresar en forma más compacta como sigue:
Esto es consecuencia de que tan x p
x 5 1 np,
sea periódica con periodo p. 4
donde n es un entero.
434 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario
09Algebra(389-442).indd 434 28/3/12 10:20:0
, Pérdida de soluciones Al resolver una ecuación, si se divide entre una expresión que
contenga una variable, se pueden perder algunas soluciones de la ecuación original. Por
ejemplo, un error común en álgebra, al resolver ecuaciones como x2 5 x es dividir entre x,
para obtener x 5 1. Pero si se escribe x2 5 x en la forma x2 2 x 5 0, o x 1x 2 12 5 0, se ve
que de hecho x 5 0 o x 5 1. Para evitar perder alguna solución se deben determinar los
valores que hacen que la expresión sea cero, y comprobar si son soluciones de la ecuación
original. En el ejemplo 3, nótese que cuando se dividió entre cos x, se tuvo cuidado de com-
probar que no se perdieran soluciones.
Cuando sea posible, es preferible dividir entre una expresión variable. Como se ilustró
con la ecuación algebraica x2 5 x, esto se puede hacer con frecuencia reuniendo todos los
términos distintos de cero en un lado de la ecuación, para entonces factorizar (algo que no
pudimos hacer en el ejemplo 3). El ejemplo 4 ilustra esta técnica.
■ EJEMPLO 4 Solución de una ecuación trigonométrica factorizando
"3
Resolver 2 sen x cos2 x 5 2 cos x. (6)
2
Solución Para evitar dividir entre cos x, esta ecuación se escribe como sigue:
"3
2 sen x cos2 x 1 cos x 5 0
2
"3
y se factoriza: cos x a2 sen x cos x 1 b 5 0.
2
Entonces, ya sea
"3
cos x 5 0 o 2 sen x cos x 1 5 0.
2
Como el coseno es cero para todos los múltiplos impares de p/2, las soluciones de cos
x 5 0 son
x 5 1 2n 1 1 2
p p
5 1 np,
2 2
donde n es un entero.
En la segunda ecuación sustituiremos 2 sen x cos x por sen 2x, de la fórmula de ángulo
doble del seno, y se obtiene una ecuación con una sola función trigonométrica: Vea 1152 en la sección 9.4.
"3 "3
sen 2x 1 50 o sea sen 2x 5 2 .
2 2
Entonces, el ángulo de referencia de 2x es p/3. Como el seno es negativo, el ángulo 2x
debe estar en el tercero o en el cuarto cuadrantes. Como muestra la FIGURA 9.6.5,
4p 5p
2x 5 1 2np o 2x 5 1 2np.
3 3
Se divide entre 2 y resulta 4π
3
2p 5p 5π
x5 1 np o x5 1 np. 3
3 6
Por consiguiente, todas las soluciones de (6) son
p 2p 5p 2x = 43π 2x = 53π
x 5 1 np, x5 1 np, o x5 1 np,
2 3 6
FIGURA 9.6.5 Círculo unitario del
donde n es un entero. ejemplo 4
9.6 Ecuaciones trigonométricas 435
09Algebra(389-442).indd 435 28/3/12 10:20:0
, En el ejemplo 4, si hubiéramos simplificado la ecuación dividiendo entre cos x y no
hubiéramos comprobado si los valores de x para los cuales cos x 5 0 satisfacen la ecuación
(6), hubiéramos perdido las soluciones x 5 p/2 1 np, donde n es un entero.
■ EJEMPLO 5 Uso de una identidad trigonométrica
2
Resolver 3 cos x 2 cos 2x 5 1.
Solución Se observa que la ecuación contiene el coseno de x y el coseno de 2x. En con-
secuencia, usaremos la fórmula de ángulo doble del coseno, en la forma
cos 2x 5 2 cos2 x 2 1 d Vea (16) de la sección 9.4.
para reemplazar la ecuación por una ecuación equivalente que sólo contenga cos x. Se ve
que
3 cos2 x 2 1 2 cos2 x 2 1 2 5 1 se transforma en cos2 x 5 0.
Por lo anterior, cos x 5 0, y las soluciones son
x 5 1 2n 1 1 2
p p
5 1 np,
2 2
donde n es un entero.
Hasta ahora, en esta sección hemos considerado que la variable de la ecuación trigono-
métrica representa un número real, o bien un ángulo medido en radianes. Si la variable
representa un ángulo expresado en grados, la técnica para resolverla es la misma.
■ EJEMPLO 6 Ecuación cuando el ángulo está en grados
Resolver cos 2u 5 2 12 , donde u es un ángulo expresado en grados.
2θ = 120°
Solución Como cos 2u 5 2 12 , el ángulo de referencia de 2u es 60° y el ángulo 2u debe
120° estar en el segundo o tercer cuadrantes. La FIGURA 9.6.6 muestra que 2u 5 120°, o 2u 5
240°. Todo ángulo que sea coterminal con uno de esos ángulos también satisfará
cos 2u 5 2 12 . Estos ángulos se obtienen sumando cualquier múltiplo entero de 360° a
120° o a 240°.
240°
2u 5 120° 1 360°n o 2u 5 240° 1 360°n,
2θ = 240° donde n es un entero. Este renglón se divide entre 2 y quedan
FIGURA 9.6.6 Círculo unitario u 5 60° 1 180°n o u 5 120° 1 180°n.
del ejemplo 6
Soluciones extrañas En el ejemplo siguiente se ve que al elevar al cuadrado una ecuación
se pueden introducir soluciones extrañas. En otras palabras, la ecuación resultante después
de elevar al cuadrado puede no ser equivalente a la original.
■ EJEMPLO 7 Raíces extrañas
Determinar todas las soluciones de 1 1 tan a 5 sec a, donde a es un ángulo expresado
en grados.
436 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario
09Algebra(389-442).indd 436 28/3/12 10:20:0
Introducción En la sección 9.4 examinamos identidades, que son ecuaciones que con-
tienen funciones trigonométricas que se satisfacen con todos los valores de la variable para
la cual están definidos ambos lados de la igualdad. En esta sección examinaremos ecuaciones
trigonométricas condicionales, esto es, ecuaciones que sólo son válidas para ciertos valores
de la variable. Describiremos técnicas para determinar los valores de la variable 1si es que los
hay2 que satisfagan la ecuación.
Comenzaremos examinando el problema de determinar todos los números reales x que
satisfacen sen x 5 !. Como indica la gráfica de y 5 sen x de la FIGURA 9.6.1, existe una
cantidad infinita de soluciones de esta ecuación:
7p p 9p 17p
c, 2 , , , ,c (1)
4 4 4 4
5p 3p 11p 19p
y c, 2 , , , , c. (2)
4 4 4 4
y √2
y=
1 2
x
π 3π 9π 11π 17π 19π
– 7π – 5π 4 4 4 4 4 4
4 4
–1
y = sen x
FIGURA 9.6.1 Gráficas de y 5 sen x y y 5 !
Observe que en cada lista de (1) y (2), cada solución se puede obtener sumando 2p 5 8p/4
a la solución anterior. Eso es una consecuencia de la periodicidad de la función seno. Es
común que las ecuaciones trigonométricas tengan una cantidad infinita de soluciones, por
la periodicidad de las funciones trigonométricas. En general, para obtener soluciones de
una ecuación como sen x 5 !, lo más cómodo es usar un círculo unitario y ángulos
de referencia, y no una gráfica de la función trigonométrica. Ilustraremos este método en
el siguiente ejemplo.
■ EJEMPLO 1 Uso del círculo unitario
Determinar todos los números reales x que satisfagan sen x 5 !.
Solución Si sen x 5 !, el ángulo de referencia de x es p/4 radianes. Ya que el valor
de sen x es positivo, el lado terminal del ángulo x está en el primero o en el segundo cua- 3π
4
drantes. Así, como se ve en la FIGURA 9.6.2, las únicas soluciones entre 0 y 2p son √2 S π S √2
2 4 2
p 3p
x5 o x5 .
4 4
Como la función seno es periódica con periodo 2p, todas las soluciones restantes se pue-
den obtener sumando múltiplos enteros de 2p a estas soluciones:
p 3p
x 5 1 2np o x5 1 2np, (3)
4 4
FIGURA 9.6.2 Círculo unitario del
donde n es un entero. Los números que ve en (1) y (2) corresponden, respectivamente, a ejemplo 1
n 5 21, n 5 0, n 5 1 y n 5 2 en la primera y la segunda fórmulas en (3).
Cuando uno se encuentra con una ecuación más complicada, como
4 sen2 x 2 8 sen x 1 3 5 0,
9.6 Ecuaciones trigonométricas 433
09Algebra(389-442).indd 433 28/3/12 10:20:0
, el método básico es despejar una sola función trigonométrica (en este caso sería sen x) con
métodos similares a los que se usan para resolver ecuaciones algebraicas.
■ EJEMPLO 2 Solución de una ecuación trigonométrica mediante factorización
Determinar todas las soluciones de 4 sen2 x 2 8 sen x 1 3 5 0.
Solución Primero, se observa que se trata de una ecuación cuadrática en sen x, y que se
5π factoriza como sigue
6
1 π
→2
1
1 2 sen x 2 3 2 1 2 sen x 2 1 2 5 0.
2→ 6
Esto implica que
3 1
sen x 5 o sen x 5 .
2 2
La primera ecuación no tiene solución, porque 0 sen x 0 # 1. Como se ve en la FIGURA 9.6.3,
los dos ángulos entre 0 y 2p para los cuales sen x es igual a 12 son
FIGURA 9.6.3 Círculo unitario del
ejemplo 2 p 5p
x5 o x5 .
6 6
Por consiguiente, debido a la periodicidad de la función seno, las soluciones son
p 5p
x 5 1 2np o x5 1 2np,
6 6
donde n es un entero.
■ EJEMPLO 3 Verificación de soluciones perdidas
Determinar todas las soluciones de
sen x 5 cos x. (4)
Solución Para trabajar con una sola función trigonométrica, se dividen ambos lados de
la ecuación entre cos x, para obtener
tan x 5 1. (5)
cos 0 5 1, cos p 5 2 1, cos 2p 5 La ecuación (5) es equivalente a (4) siempre y cuando cos x 2 0. Se observa que si cos x
1, cos 3p 5 21, etc. En general, 5 0, entonces, de acuerdo con (4) de la sección 9.2, x 5 12n 1 12p/2 5 p/2 1 np, donde
cos np 5 1212n, donde n es un
n es un entero. Según la fórmula de suma del seno,
entero.
Vea (7) en la sección 9.4 1 21 2 n 0
T T T
x = 4π sen a 1 npb 5 sen cos np 1 cos sen np 5 1 21 2 n 2 0,
p p p
2 2 2
5π
4 π estos valores de x no satisfacen la ecuación original. Entonces, debemos determinar todas
4 las soluciones de (4), resolviendo la ecuación (5).
Ahora bien, tan x 5 1 implica que el ángulo de referencia de x sea p/4 radianes. Ya que
tan x 5 1 . 0, el lado terminal del ángulo de x radianes puede estar en el primer cuadrante
o en el tercero, como se ve en la FIGURA 9.6.4. Entonces, las soluciones son
x = 54π p 5p
x 5 1 2np o x5 1 2np,
4 4
FIGURA 9.6.4 Círculo unitario del donde n es un entero. En la figura 9.6.4 se puede ver que estos dos conjuntos de números
ejemplo 3
se pueden expresar en forma más compacta como sigue:
Esto es consecuencia de que tan x p
x 5 1 np,
sea periódica con periodo p. 4
donde n es un entero.
434 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario
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, Pérdida de soluciones Al resolver una ecuación, si se divide entre una expresión que
contenga una variable, se pueden perder algunas soluciones de la ecuación original. Por
ejemplo, un error común en álgebra, al resolver ecuaciones como x2 5 x es dividir entre x,
para obtener x 5 1. Pero si se escribe x2 5 x en la forma x2 2 x 5 0, o x 1x 2 12 5 0, se ve
que de hecho x 5 0 o x 5 1. Para evitar perder alguna solución se deben determinar los
valores que hacen que la expresión sea cero, y comprobar si son soluciones de la ecuación
original. En el ejemplo 3, nótese que cuando se dividió entre cos x, se tuvo cuidado de com-
probar que no se perdieran soluciones.
Cuando sea posible, es preferible dividir entre una expresión variable. Como se ilustró
con la ecuación algebraica x2 5 x, esto se puede hacer con frecuencia reuniendo todos los
términos distintos de cero en un lado de la ecuación, para entonces factorizar (algo que no
pudimos hacer en el ejemplo 3). El ejemplo 4 ilustra esta técnica.
■ EJEMPLO 4 Solución de una ecuación trigonométrica factorizando
"3
Resolver 2 sen x cos2 x 5 2 cos x. (6)
2
Solución Para evitar dividir entre cos x, esta ecuación se escribe como sigue:
"3
2 sen x cos2 x 1 cos x 5 0
2
"3
y se factoriza: cos x a2 sen x cos x 1 b 5 0.
2
Entonces, ya sea
"3
cos x 5 0 o 2 sen x cos x 1 5 0.
2
Como el coseno es cero para todos los múltiplos impares de p/2, las soluciones de cos
x 5 0 son
x 5 1 2n 1 1 2
p p
5 1 np,
2 2
donde n es un entero.
En la segunda ecuación sustituiremos 2 sen x cos x por sen 2x, de la fórmula de ángulo
doble del seno, y se obtiene una ecuación con una sola función trigonométrica: Vea 1152 en la sección 9.4.
"3 "3
sen 2x 1 50 o sea sen 2x 5 2 .
2 2
Entonces, el ángulo de referencia de 2x es p/3. Como el seno es negativo, el ángulo 2x
debe estar en el tercero o en el cuarto cuadrantes. Como muestra la FIGURA 9.6.5,
4p 5p
2x 5 1 2np o 2x 5 1 2np.
3 3
Se divide entre 2 y resulta 4π
3
2p 5p 5π
x5 1 np o x5 1 np. 3
3 6
Por consiguiente, todas las soluciones de (6) son
p 2p 5p 2x = 43π 2x = 53π
x 5 1 np, x5 1 np, o x5 1 np,
2 3 6
FIGURA 9.6.5 Círculo unitario del
donde n es un entero. ejemplo 4
9.6 Ecuaciones trigonométricas 435
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, En el ejemplo 4, si hubiéramos simplificado la ecuación dividiendo entre cos x y no
hubiéramos comprobado si los valores de x para los cuales cos x 5 0 satisfacen la ecuación
(6), hubiéramos perdido las soluciones x 5 p/2 1 np, donde n es un entero.
■ EJEMPLO 5 Uso de una identidad trigonométrica
2
Resolver 3 cos x 2 cos 2x 5 1.
Solución Se observa que la ecuación contiene el coseno de x y el coseno de 2x. En con-
secuencia, usaremos la fórmula de ángulo doble del coseno, en la forma
cos 2x 5 2 cos2 x 2 1 d Vea (16) de la sección 9.4.
para reemplazar la ecuación por una ecuación equivalente que sólo contenga cos x. Se ve
que
3 cos2 x 2 1 2 cos2 x 2 1 2 5 1 se transforma en cos2 x 5 0.
Por lo anterior, cos x 5 0, y las soluciones son
x 5 1 2n 1 1 2
p p
5 1 np,
2 2
donde n es un entero.
Hasta ahora, en esta sección hemos considerado que la variable de la ecuación trigono-
métrica representa un número real, o bien un ángulo medido en radianes. Si la variable
representa un ángulo expresado en grados, la técnica para resolverla es la misma.
■ EJEMPLO 6 Ecuación cuando el ángulo está en grados
Resolver cos 2u 5 2 12 , donde u es un ángulo expresado en grados.
2θ = 120°
Solución Como cos 2u 5 2 12 , el ángulo de referencia de 2u es 60° y el ángulo 2u debe
120° estar en el segundo o tercer cuadrantes. La FIGURA 9.6.6 muestra que 2u 5 120°, o 2u 5
240°. Todo ángulo que sea coterminal con uno de esos ángulos también satisfará
cos 2u 5 2 12 . Estos ángulos se obtienen sumando cualquier múltiplo entero de 360° a
120° o a 240°.
240°
2u 5 120° 1 360°n o 2u 5 240° 1 360°n,
2θ = 240° donde n es un entero. Este renglón se divide entre 2 y quedan
FIGURA 9.6.6 Círculo unitario u 5 60° 1 180°n o u 5 120° 1 180°n.
del ejemplo 6
Soluciones extrañas En el ejemplo siguiente se ve que al elevar al cuadrado una ecuación
se pueden introducir soluciones extrañas. En otras palabras, la ecuación resultante después
de elevar al cuadrado puede no ser equivalente a la original.
■ EJEMPLO 7 Raíces extrañas
Determinar todas las soluciones de 1 1 tan a 5 sec a, donde a es un ángulo expresado
en grados.
436 CAPÍTULO 9 Trigonometría del círculo unitario
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