Inhoud
1 Vectormeetkunde in R3 3
1.1 Vectoren in R2 en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Het standaard inwendige product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Orthogonaliteit, loodrechte projecties en uitwendig product . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Parametervoorstelling en vergelijkingen van lijnen en vlakken in R3 . . . . . . . . . 11
1.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 De ruimten Rn en Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Basiskennis Lineaire Algebra, I 21
2.1 Lineaire combinaties en lineaire omhulsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Afhankelijkheidsrelaties tussen vectoren, afhankelijkheid en onafhankelijkheid . . . 26
2.3 Matrices, elementaire rijbewerkingen, gereduceerde echelonvorm . . . . . . . . . . . 27
2.4 Methode van antwoord op de basisvragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Matrices in echelonvorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Stelsels lineaire vergelijkingen 45
3.1 Lineaire vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Het oplossen van stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Vectorvergelijking, matrixvergelijking Ax = b en homogene vergelijkingen . . . . . 50
3.4 Stelsels met een parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Antwoorden hoofdstukken 1,2,3 57
1
,2 INHOUD
,Hoofdstuk 1
Vectormeetkunde in R3
1.1 Vectoren in R2 en R3
In dit dictaat gaan wij er vanuit dat de lezer vertrouwd is met het (euclidische) vlak. Hoe in dit
vlak een assenstelsel te kiezen, we spreken van een x-as en een y-as, en hoe met behulp van dit
assenstelsel de punten coördinaten krijgen. Punten in het vlak (en de ruimte) worden aangegeven
met een hoofdletter, het punt “P00 , en een punt P krijgt de coördinaten (x, y) (zie de schets). We
zeggen zelfs: P = (x, y).
z
z-as
P = (x, y, z)
P = (x, y) y y-as
y
x
x
x-as
Op dezelfde manier kunnen we de ruimte coördinatiseren. Door drie onderling loodrechte assen te
kiezen, de x-as, y-as en de z-as, krijgt ieder punt P in de ruimte coördinaten van de vorm (x, y, z).
In de schets komt de positieve x-as het papier uit, naar ons toe. Ook hier zeggen we: P = (x, y, z).
In de keuze welke as de x-as, respectievelijk de y-as en de z-as wordt, is men vrij. Wel zullen
we de volgende eis stellen aan een assenstelsel: “de keuze van de positive x-as, positieve y-as en
positieve z-as zal “rechtshandig” zijn”. D.w.z. als de duim van de rechterhand in de richting van
de positieve x-as is, de wijsvinger van de rechterhand in de richting van de positieve y-as is, dan
MOET de middelvinger van de hand in de richting van de positieve z-as gaan. (De noodzaak van
deze eis zal later duidelijk worden.)
−−−→ −−−→
A1 B 1 = A2 B 2 = B1 B2
B −−−→
= A3 B3 !
−−→ B3
v = AB
A A1 A2
A3
−−→
Onze aandacht gaat niet uit naar punten maar naar vectoren van de vorm a = AB, d.w.z. de
3
,4 Hoofdstuk 1. Vectormeetkunde in R3
pijl met A als beginpunt en B als eindpunt. Vectoren met dezelfde lengte en richting in de ruimte
worden geı̈dentificeerd. Bijvoorbeeld, als A1 = (1, 0), A2 = (1, 1), A3 = (0, 1), B1 = (2, 1),
−−−−→ −−−−→ −−−−→
B2 = (2, 2) en B3 = (1, 2) dan geldt: A1 , B1 = A2 , B2 = A3 , B3 . Inderdaad, deze vectoren
hebben dezelfde lengte en richting! Omdat kennelijk de vectoren vrij in het vlak of de in ruimte
mogen bewegen (evenwijdig aan zichzelf) zonder hun identiteit te verliezen, heten dit ook wel
“vrije vectoren”. We kunnen ook eisen dat vectoren in de oorsprong O moeten beginnen, dus
−−→
zoals de vector: OP . Vectoren in deze vorm worden ook wel positie-vectoren of gebonden vectoren
genoemd. In deze situatie wordt de vector geheel bepaald door het eindpunt P . In het vlak spreken
−−→
we af dat de gebonden vector OP corresponderend
· ¸ met het eindpunt P = (x1 , x2 ) genoteerd wordt
x1
met de kolom: (of ook, “kolomvector”) .
x2
−−→
Evenzo, in de ruimte wordt de gebonden vector OP corresponderende met een gegeven punt
x1
P = (x1 , x2 , x3 ) genoteerd met de kolomvector x2 .
x3
Afspraak: Punten worden genoteren met hoofdletters P . Vectoren worden genoteerd met òf een
−−→
kleine letter, zoals a respectievelijk a, òf als P Q òf als een kolomvector.
We definieëren:
Definitie: De verzameling van alle kolomvectoren in het vlak wordt aangeduid met R2 . Dus in
verzamelingen-notatie: ½ · ¸ ¾
x1
R2 = x = : x1 , x2 ∈ R .
x2
Evenzo wordt de verzameling van alle kolomvectoren in de ruimte aangeduid met R3 . Dus in
verzamelingen-notatie:
x1
R3 = x = x2 : x1 , x2 , x3 ∈ R .
x3
De getallen x1 , x2 , x3 worden de kentallen van de vector x genoemd. Zowel op R2 als op R2
definiëren we twee basis operaties. De zogeheten vectoriële optelling en de scalaire vermenigvuldiging.
Meetkundig wordt de optelling, zowel in R2 als in R3 , als volgt gedefiniëerd. Als gebonden vectoren
wordt u + v verkregen via de welbekende parallellogram-constructie.
w
u+v u+v+w v
v u u
Voor vrije vectoren is de zogeheten “kop-staart-constructie” ook mogelijk. Deze is met name
handige als er meerdere vectoren moeten worden opgeteld.
Meetkundig is de definitie van de scalaire vermenigvuldiging ook welbekend. Als c ∈ R en u is een
vector in R2 (of in R3 ), dan is de vector cu gelijk aan:
½
als c ≥ 0 die vector in de zelfde richting als u, maar c maal zo lang
cu =
als c ≤ 0 die vector in tegenstelde richting als u, maar -c maal zo lang
,1.1. Vectoren in R2 en R3 5
De algebraı̈che definitie van de vectoriëele optelling en de scalaire vermenigvuldiging is veel eenvoudiger
te formuleren. Op R3 luidt deze:
x1 y1 x1 + y1 x1 cx1
x2 + y2 = x2 + y2 en c x2 = cx2 .
x3 y3 x3 + y3 x3 cx3
Natuurlijk zou nog wel moeten worden nagegaan of deze definitie inderdaad overeenstemt met de
meetkundige definitie. Dit zullen we achterwege laten. · ¸
0
Tenslotte voeren we het symbool 0 in, de nulvector. In R2 wordt dit 0 = en in R3
0
0
0 = 0 . Merk op dat zowel in R2 als in R3 geldt:
0
x + 0 = 0 + x = x, voor alle vectoren x.
Als laatste voeren we het symbool −x in, de zogeheten “tegengestelde van x”, via:
−x = (−1)x
De vector −x heeft de eigenschap:
x + (−x) = (−x) + x = 0, voor alle vectoren x.
Merk op dat
−−→ −−→
AB = −BA.
STELLING 1.1. Als A = (a1 , a2 , a3 ) en (b1 , b2 , b3 ) punten zijn in R3 , dan geldt:
b − a1
−−→ 1
AB = b2 − a2 .
b3 − a3
−→ −−→
Bewijs: Omdat OA + AB = OB geldt:
b a b − a1
−−→ −−→ −→ 1 1 1
AB = OB − OA = b2 − a2 = b2 − a2 .
b3 a3 b3 − a3
Voorbeeld 1.2.
Gegeven is een zogeheten “viervlak ABCD“ (zie
D
figuur), d.w.z. een object bepaald door vier
punten die niet in een vlak liggen. We schrijven
−−→ −−→ −→
DA = a, DB = b en AC = c.
−−→
Vraag Druk de vector CB uit in de vectoren a, b
en c. C
−−→ −→ −−→ −−→ A
Antwoord: CB = CA + AD + DB = −c − a + b.
B
,6 Hoofdstuk 1. Vectormeetkunde in R3
1.2 Het standaard inwendige product
Een bijzonder nuttige operatie op R2 en R3 is het zogeheten “inwendig product”. Vele basis
concepten, zoals lengte van een vector, afstand tussen vectoren en hoek tussen vectoren, kunnen
daarin uitgedrukt worden.
u1 v1
Definitie: Stel dat u = u2 en v = v2 in R3 zijn. Het inwendig product u · v van u
u3 v3
en v wordt gedefinieerd door:
u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 .
1. Op dezelfde manier wordt het inwendig product gedefinieerd op R2 : u · v = u1 v1 + u2 v2 .
2. Merk op dat het inwendig product u · v een getal is, geen vector.
1 2
Voorbeeld 1.3. Als u = 2 en v = −1 dan u · v = 1.2 + 2.(−1) + (−3)1 = −3. Wat
−3 1
we ons bij dit getal moeten voorstellen is nog niet duidelijk.
We verkrijgen de volgende rekenregels voor het inwendig product.
STELLING 1.4. Laat u, v en w alle vectoren zijn in R3 (of R2 ). Er geldt:
1. u · v = v · u
2. u · (v + w) = u · v + u · w
3. (cu) · v = u · (cv) = c(u · v)
4. u · u ≥ 0 en u · u = 0 als en slechts als u = 0
Bewijs: Dit verloopt recht toe recht aan, en is daarom een opgave geworden.
Opmerking: Uit de rekenregels volgen de volgende rekenregels (regels die bekend zijn met
getallen):
1. (u + v) · w = u · w + v · w, en dus ook:
2. (u + v) · (p + q) = u · p + u · q + v · p + v · q, en dus ook:
3. (u + v) · (u + v) = u · u + 2(u · v) + v · v.
x1
Definitie: Gegeven is een vector x = x2 ∈ R3 .
x3
De lengte of norm van x wordt genoteerd met
kxk. De stelling van Pythagoras laat zien dat x32
q −−→
OP
kxk = x21 + x22 + x23 . 1
· ¸ x2
x1 0
In het vlak geldt: als x = dan: –3 –2 –1 1 2 3
x2
q x1 –1
kxk = x21 + x22 .
–2
,1.2. Het standaard inwendige product 7
Vervolgens hebben we de volgende rekenregels voor de lengte.
STELLING 1.5. Stel dat u ∈ R3 en c ∈ R. Dan geldt:
1. kvk2 = v · v
2. kvk = 0 als en slechts als v = 0
3. kcvk = |c| kvk
Bewijs: Rechtstreeks uit de definitie.
Vectoren met lengte 1 heten eenheidsvectoren. Gegeven een vector v 6= 0, dan bestaat er altijd
een eenheidsvector in de zelfde richting als v, namelijk
1
v.
kvk
Dit proces wordt normeren van de vector v genoemd.
1 0 0
Drie “bijzondere” vectoren in R3 met lengte 1 zijn, e1 = 0 , e2 = 1 en e3 = 0 . De
0 0 1
vectoren e1 , e2 , e3 worden de standaard eenheids vectoren genoemd. Merk op dat we hebben
afgesproken bij tekeningen de volgorde e1 , e2 , e3 rechtshandig te kiezen.
De volgende stelling geeft ons enig inzicht wat voor getal het inwendig product van twee vectoren
representeert.
STELLING 1.6. Laat u, v twee niet nul-vectoren uit R3 (of R2 ) zijn die in begin-positie een hoek
ϕ in sluiten. Dan geldt:
u · v = kuk kvk cos(ϕ).
−−→ −−→
Bewijs: Stel dat u = OP en v = OQ. We beschouwen de
−−→
driehoek OP Q. Merk op dat P Q = v − u. De
cosinus-regel in deze driehoek wordt:
3 Q
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→
kP Qk2 = kOP k2 + kOQk2 − 2kOP k kOQk cos ϕ 2
ku − vk2 = kuk2 + vk2 − 2kuk kvk cos ϕ P
1
ϕ
en dus:
(u − v) · (u − v) = kuk2 + vk2 − 2kuk kvk cos ϕ ⇒ –3 –2 –1 1 2 3
u·u+v·v−2u·v = kuk2 +kvk2 −2kuk kvk cos ϕ ⇒ O
kuk2 +kvk2 −2u·v = kuk2 +kvk2 −2kuk kvk cos ϕ –1
en dus: u · v = kuk kvk cos(ϕ).
De formule uit de vorige stelling geeft inzicht in wat het inwendig product voorstelt en met die
formule kan men de hoeken tussen vectoren berekenen.
2 1
Voorbeeld 1.7. Als u = 1 en v = 1 dan kan men als volgt de hoek tussen u
−1 1
√ √
en v bepalen.
√ Bepaal
√ eerst u · v = 2 + 1 − 1 = 2. Vervolgens √kuk√ = 4 + 1 + √1 = 6 en
kvk
√ = 1 + 1 + 1 = 3. Omdat u · v = kuk kvk cos(ϕ) volgt: 2 = 6 3 cos(ϕ) = 18 cos(ϕ) =
3 2 cos(ϕ) en dus:
2 1√
cos(ϕ) = √ ⇒ ϕ = arccos( 2).
3 2 3
, 8 Hoofdstuk 1. Vectormeetkunde in R3
GEVOLG 1.8. Voor de hoek ϕ tussen niet-nulvectoren u, v in R3 (of in R2 ) geldt:
u·v
cos(ϕ) = .
kuk kvk
½
u · v > 0, dan is de hoek ϕ scherp
En dus als:
u · v < 0, dan is de hoek ϕ stomp.
Een ander gevolg is de volgende ongelijkheid.
GEVOLG 1.9. (De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz)
Voor ieder tweetal vectoren u, v ∈ R3 (of in R2 ) geldt:
|u · v| ≤ kuk kvk.
Bewijs: Als of u of v een nul-vector is, dan is het duidelijk. Zijn beide niet-nulvectoren dan volgt
u·v
dit uit | cos(ϕ)| ≤ 1 en uit cos(ϕ) = kuk kvk .
STELLING 1.10. De Driehoeks ongelijkheid
Voor ieder tweetal vectoren u, v ∈ R3 (of in R2 ) geldt:
ku + vk ≤ kuk + kvk.
Bewijs: Omdat aan beide zijden van de ongelijkheid niet-negatieve termen staan, is het voldoende
om de ongelijkheid aan te tonen voor de kwadraten van beide termen. Aldus:
ku + vk2 = (u + v) · (u + v) = u · u + 2u · v + v · v ≤
≤ kuk2 + 2kuk kvk + kvk2 = (kuk + kvk)2 .
Tenslotte definieren we de afstand tussen vectoren.
Definitie: De afstand d(u, v) tussen de vectoren u, v ∈ R3 (of R2 ) wordt gedefiniëerd door:
d(u, v) = kv − uk.
Merk op dat de afstand tussen twee vectoren gelijk is aan de euclidische afstand tussen de eindpunten
van de vectoren, mits deze vectoren in begin-positie zijn.
1.3 Orthogonaliteit, loodrechte projecties en uitwendig product
Het begrip “loodrecht” of “orthogonaal” speelt een fundamentele rol in de meetkunde.
Definitie: De vectoren u, v ∈ R3 (of R2 ) heten orthogonaal (notatie: u⊥v) als u · v = 0.
1 1
Voorbeeld 1.11. Als u = 1 en v = 3 dan u⊥v. Inderdaad, u en v zijn orthogonaal,
2 −2
want u · v = 1 + 3 − 4 = 0.
STELLING 1.12. De stelling van Pythagoras
Voor ieder tweetal vectoren u, v ∈ R3 (of in R2 ) geldt: ku + vk2 = kuk2 + kvk2 als en slechts als
de vectoren u en v orthogonaal zijn.
1 Vectormeetkunde in R3 3
1.1 Vectoren in R2 en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Het standaard inwendige product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Orthogonaliteit, loodrechte projecties en uitwendig product . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Parametervoorstelling en vergelijkingen van lijnen en vlakken in R3 . . . . . . . . . 11
1.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 De ruimten Rn en Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Basiskennis Lineaire Algebra, I 21
2.1 Lineaire combinaties en lineaire omhulsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Afhankelijkheidsrelaties tussen vectoren, afhankelijkheid en onafhankelijkheid . . . 26
2.3 Matrices, elementaire rijbewerkingen, gereduceerde echelonvorm . . . . . . . . . . . 27
2.4 Methode van antwoord op de basisvragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Matrices in echelonvorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Stelsels lineaire vergelijkingen 45
3.1 Lineaire vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Het oplossen van stelsels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Vectorvergelijking, matrixvergelijking Ax = b en homogene vergelijkingen . . . . . 50
3.4 Stelsels met een parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Antwoorden hoofdstukken 1,2,3 57
1
,2 INHOUD
,Hoofdstuk 1
Vectormeetkunde in R3
1.1 Vectoren in R2 en R3
In dit dictaat gaan wij er vanuit dat de lezer vertrouwd is met het (euclidische) vlak. Hoe in dit
vlak een assenstelsel te kiezen, we spreken van een x-as en een y-as, en hoe met behulp van dit
assenstelsel de punten coördinaten krijgen. Punten in het vlak (en de ruimte) worden aangegeven
met een hoofdletter, het punt “P00 , en een punt P krijgt de coördinaten (x, y) (zie de schets). We
zeggen zelfs: P = (x, y).
z
z-as
P = (x, y, z)
P = (x, y) y y-as
y
x
x
x-as
Op dezelfde manier kunnen we de ruimte coördinatiseren. Door drie onderling loodrechte assen te
kiezen, de x-as, y-as en de z-as, krijgt ieder punt P in de ruimte coördinaten van de vorm (x, y, z).
In de schets komt de positieve x-as het papier uit, naar ons toe. Ook hier zeggen we: P = (x, y, z).
In de keuze welke as de x-as, respectievelijk de y-as en de z-as wordt, is men vrij. Wel zullen
we de volgende eis stellen aan een assenstelsel: “de keuze van de positive x-as, positieve y-as en
positieve z-as zal “rechtshandig” zijn”. D.w.z. als de duim van de rechterhand in de richting van
de positieve x-as is, de wijsvinger van de rechterhand in de richting van de positieve y-as is, dan
MOET de middelvinger van de hand in de richting van de positieve z-as gaan. (De noodzaak van
deze eis zal later duidelijk worden.)
−−−→ −−−→
A1 B 1 = A2 B 2 = B1 B2
B −−−→
= A3 B3 !
−−→ B3
v = AB
A A1 A2
A3
−−→
Onze aandacht gaat niet uit naar punten maar naar vectoren van de vorm a = AB, d.w.z. de
3
,4 Hoofdstuk 1. Vectormeetkunde in R3
pijl met A als beginpunt en B als eindpunt. Vectoren met dezelfde lengte en richting in de ruimte
worden geı̈dentificeerd. Bijvoorbeeld, als A1 = (1, 0), A2 = (1, 1), A3 = (0, 1), B1 = (2, 1),
−−−−→ −−−−→ −−−−→
B2 = (2, 2) en B3 = (1, 2) dan geldt: A1 , B1 = A2 , B2 = A3 , B3 . Inderdaad, deze vectoren
hebben dezelfde lengte en richting! Omdat kennelijk de vectoren vrij in het vlak of de in ruimte
mogen bewegen (evenwijdig aan zichzelf) zonder hun identiteit te verliezen, heten dit ook wel
“vrije vectoren”. We kunnen ook eisen dat vectoren in de oorsprong O moeten beginnen, dus
−−→
zoals de vector: OP . Vectoren in deze vorm worden ook wel positie-vectoren of gebonden vectoren
genoemd. In deze situatie wordt de vector geheel bepaald door het eindpunt P . In het vlak spreken
−−→
we af dat de gebonden vector OP corresponderend
· ¸ met het eindpunt P = (x1 , x2 ) genoteerd wordt
x1
met de kolom: (of ook, “kolomvector”) .
x2
−−→
Evenzo, in de ruimte wordt de gebonden vector OP corresponderende met een gegeven punt
x1
P = (x1 , x2 , x3 ) genoteerd met de kolomvector x2 .
x3
Afspraak: Punten worden genoteren met hoofdletters P . Vectoren worden genoteerd met òf een
−−→
kleine letter, zoals a respectievelijk a, òf als P Q òf als een kolomvector.
We definieëren:
Definitie: De verzameling van alle kolomvectoren in het vlak wordt aangeduid met R2 . Dus in
verzamelingen-notatie: ½ · ¸ ¾
x1
R2 = x = : x1 , x2 ∈ R .
x2
Evenzo wordt de verzameling van alle kolomvectoren in de ruimte aangeduid met R3 . Dus in
verzamelingen-notatie:
x1
R3 = x = x2 : x1 , x2 , x3 ∈ R .
x3
De getallen x1 , x2 , x3 worden de kentallen van de vector x genoemd. Zowel op R2 als op R2
definiëren we twee basis operaties. De zogeheten vectoriële optelling en de scalaire vermenigvuldiging.
Meetkundig wordt de optelling, zowel in R2 als in R3 , als volgt gedefiniëerd. Als gebonden vectoren
wordt u + v verkregen via de welbekende parallellogram-constructie.
w
u+v u+v+w v
v u u
Voor vrije vectoren is de zogeheten “kop-staart-constructie” ook mogelijk. Deze is met name
handige als er meerdere vectoren moeten worden opgeteld.
Meetkundig is de definitie van de scalaire vermenigvuldiging ook welbekend. Als c ∈ R en u is een
vector in R2 (of in R3 ), dan is de vector cu gelijk aan:
½
als c ≥ 0 die vector in de zelfde richting als u, maar c maal zo lang
cu =
als c ≤ 0 die vector in tegenstelde richting als u, maar -c maal zo lang
,1.1. Vectoren in R2 en R3 5
De algebraı̈che definitie van de vectoriëele optelling en de scalaire vermenigvuldiging is veel eenvoudiger
te formuleren. Op R3 luidt deze:
x1 y1 x1 + y1 x1 cx1
x2 + y2 = x2 + y2 en c x2 = cx2 .
x3 y3 x3 + y3 x3 cx3
Natuurlijk zou nog wel moeten worden nagegaan of deze definitie inderdaad overeenstemt met de
meetkundige definitie. Dit zullen we achterwege laten. · ¸
0
Tenslotte voeren we het symbool 0 in, de nulvector. In R2 wordt dit 0 = en in R3
0
0
0 = 0 . Merk op dat zowel in R2 als in R3 geldt:
0
x + 0 = 0 + x = x, voor alle vectoren x.
Als laatste voeren we het symbool −x in, de zogeheten “tegengestelde van x”, via:
−x = (−1)x
De vector −x heeft de eigenschap:
x + (−x) = (−x) + x = 0, voor alle vectoren x.
Merk op dat
−−→ −−→
AB = −BA.
STELLING 1.1. Als A = (a1 , a2 , a3 ) en (b1 , b2 , b3 ) punten zijn in R3 , dan geldt:
b − a1
−−→ 1
AB = b2 − a2 .
b3 − a3
−→ −−→
Bewijs: Omdat OA + AB = OB geldt:
b a b − a1
−−→ −−→ −→ 1 1 1
AB = OB − OA = b2 − a2 = b2 − a2 .
b3 a3 b3 − a3
Voorbeeld 1.2.
Gegeven is een zogeheten “viervlak ABCD“ (zie
D
figuur), d.w.z. een object bepaald door vier
punten die niet in een vlak liggen. We schrijven
−−→ −−→ −→
DA = a, DB = b en AC = c.
−−→
Vraag Druk de vector CB uit in de vectoren a, b
en c. C
−−→ −→ −−→ −−→ A
Antwoord: CB = CA + AD + DB = −c − a + b.
B
,6 Hoofdstuk 1. Vectormeetkunde in R3
1.2 Het standaard inwendige product
Een bijzonder nuttige operatie op R2 en R3 is het zogeheten “inwendig product”. Vele basis
concepten, zoals lengte van een vector, afstand tussen vectoren en hoek tussen vectoren, kunnen
daarin uitgedrukt worden.
u1 v1
Definitie: Stel dat u = u2 en v = v2 in R3 zijn. Het inwendig product u · v van u
u3 v3
en v wordt gedefinieerd door:
u · v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 .
1. Op dezelfde manier wordt het inwendig product gedefinieerd op R2 : u · v = u1 v1 + u2 v2 .
2. Merk op dat het inwendig product u · v een getal is, geen vector.
1 2
Voorbeeld 1.3. Als u = 2 en v = −1 dan u · v = 1.2 + 2.(−1) + (−3)1 = −3. Wat
−3 1
we ons bij dit getal moeten voorstellen is nog niet duidelijk.
We verkrijgen de volgende rekenregels voor het inwendig product.
STELLING 1.4. Laat u, v en w alle vectoren zijn in R3 (of R2 ). Er geldt:
1. u · v = v · u
2. u · (v + w) = u · v + u · w
3. (cu) · v = u · (cv) = c(u · v)
4. u · u ≥ 0 en u · u = 0 als en slechts als u = 0
Bewijs: Dit verloopt recht toe recht aan, en is daarom een opgave geworden.
Opmerking: Uit de rekenregels volgen de volgende rekenregels (regels die bekend zijn met
getallen):
1. (u + v) · w = u · w + v · w, en dus ook:
2. (u + v) · (p + q) = u · p + u · q + v · p + v · q, en dus ook:
3. (u + v) · (u + v) = u · u + 2(u · v) + v · v.
x1
Definitie: Gegeven is een vector x = x2 ∈ R3 .
x3
De lengte of norm van x wordt genoteerd met
kxk. De stelling van Pythagoras laat zien dat x32
q −−→
OP
kxk = x21 + x22 + x23 . 1
· ¸ x2
x1 0
In het vlak geldt: als x = dan: –3 –2 –1 1 2 3
x2
q x1 –1
kxk = x21 + x22 .
–2
,1.2. Het standaard inwendige product 7
Vervolgens hebben we de volgende rekenregels voor de lengte.
STELLING 1.5. Stel dat u ∈ R3 en c ∈ R. Dan geldt:
1. kvk2 = v · v
2. kvk = 0 als en slechts als v = 0
3. kcvk = |c| kvk
Bewijs: Rechtstreeks uit de definitie.
Vectoren met lengte 1 heten eenheidsvectoren. Gegeven een vector v 6= 0, dan bestaat er altijd
een eenheidsvector in de zelfde richting als v, namelijk
1
v.
kvk
Dit proces wordt normeren van de vector v genoemd.
1 0 0
Drie “bijzondere” vectoren in R3 met lengte 1 zijn, e1 = 0 , e2 = 1 en e3 = 0 . De
0 0 1
vectoren e1 , e2 , e3 worden de standaard eenheids vectoren genoemd. Merk op dat we hebben
afgesproken bij tekeningen de volgorde e1 , e2 , e3 rechtshandig te kiezen.
De volgende stelling geeft ons enig inzicht wat voor getal het inwendig product van twee vectoren
representeert.
STELLING 1.6. Laat u, v twee niet nul-vectoren uit R3 (of R2 ) zijn die in begin-positie een hoek
ϕ in sluiten. Dan geldt:
u · v = kuk kvk cos(ϕ).
−−→ −−→
Bewijs: Stel dat u = OP en v = OQ. We beschouwen de
−−→
driehoek OP Q. Merk op dat P Q = v − u. De
cosinus-regel in deze driehoek wordt:
3 Q
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→
kP Qk2 = kOP k2 + kOQk2 − 2kOP k kOQk cos ϕ 2
ku − vk2 = kuk2 + vk2 − 2kuk kvk cos ϕ P
1
ϕ
en dus:
(u − v) · (u − v) = kuk2 + vk2 − 2kuk kvk cos ϕ ⇒ –3 –2 –1 1 2 3
u·u+v·v−2u·v = kuk2 +kvk2 −2kuk kvk cos ϕ ⇒ O
kuk2 +kvk2 −2u·v = kuk2 +kvk2 −2kuk kvk cos ϕ –1
en dus: u · v = kuk kvk cos(ϕ).
De formule uit de vorige stelling geeft inzicht in wat het inwendig product voorstelt en met die
formule kan men de hoeken tussen vectoren berekenen.
2 1
Voorbeeld 1.7. Als u = 1 en v = 1 dan kan men als volgt de hoek tussen u
−1 1
√ √
en v bepalen.
√ Bepaal
√ eerst u · v = 2 + 1 − 1 = 2. Vervolgens √kuk√ = 4 + 1 + √1 = 6 en
kvk
√ = 1 + 1 + 1 = 3. Omdat u · v = kuk kvk cos(ϕ) volgt: 2 = 6 3 cos(ϕ) = 18 cos(ϕ) =
3 2 cos(ϕ) en dus:
2 1√
cos(ϕ) = √ ⇒ ϕ = arccos( 2).
3 2 3
, 8 Hoofdstuk 1. Vectormeetkunde in R3
GEVOLG 1.8. Voor de hoek ϕ tussen niet-nulvectoren u, v in R3 (of in R2 ) geldt:
u·v
cos(ϕ) = .
kuk kvk
½
u · v > 0, dan is de hoek ϕ scherp
En dus als:
u · v < 0, dan is de hoek ϕ stomp.
Een ander gevolg is de volgende ongelijkheid.
GEVOLG 1.9. (De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz)
Voor ieder tweetal vectoren u, v ∈ R3 (of in R2 ) geldt:
|u · v| ≤ kuk kvk.
Bewijs: Als of u of v een nul-vector is, dan is het duidelijk. Zijn beide niet-nulvectoren dan volgt
u·v
dit uit | cos(ϕ)| ≤ 1 en uit cos(ϕ) = kuk kvk .
STELLING 1.10. De Driehoeks ongelijkheid
Voor ieder tweetal vectoren u, v ∈ R3 (of in R2 ) geldt:
ku + vk ≤ kuk + kvk.
Bewijs: Omdat aan beide zijden van de ongelijkheid niet-negatieve termen staan, is het voldoende
om de ongelijkheid aan te tonen voor de kwadraten van beide termen. Aldus:
ku + vk2 = (u + v) · (u + v) = u · u + 2u · v + v · v ≤
≤ kuk2 + 2kuk kvk + kvk2 = (kuk + kvk)2 .
Tenslotte definieren we de afstand tussen vectoren.
Definitie: De afstand d(u, v) tussen de vectoren u, v ∈ R3 (of R2 ) wordt gedefiniëerd door:
d(u, v) = kv − uk.
Merk op dat de afstand tussen twee vectoren gelijk is aan de euclidische afstand tussen de eindpunten
van de vectoren, mits deze vectoren in begin-positie zijn.
1.3 Orthogonaliteit, loodrechte projecties en uitwendig product
Het begrip “loodrecht” of “orthogonaal” speelt een fundamentele rol in de meetkunde.
Definitie: De vectoren u, v ∈ R3 (of R2 ) heten orthogonaal (notatie: u⊥v) als u · v = 0.
1 1
Voorbeeld 1.11. Als u = 1 en v = 3 dan u⊥v. Inderdaad, u en v zijn orthogonaal,
2 −2
want u · v = 1 + 3 − 4 = 0.
STELLING 1.12. De stelling van Pythagoras
Voor ieder tweetal vectoren u, v ∈ R3 (of in R2 ) geldt: ku + vk2 = kuk2 + kvk2 als en slechts als
de vectoren u en v orthogonaal zijn.
