, Números naturales
Los números que se usan para contar se llaman números naturales. Al conjunto formado por todos los números
naturales se lo denota con la letra N. Para contar un elemento se usa el número 1, para el siguiente el número
2, y así sucesivamente.
8+8+8+8+8 = 5·8 y además
8+8+8+8+8 = 5+5+5+5+5+5+5+5.
` ˛ ¸ x ` ˛ ¸ x
5 v e ces 8 v e ces
Así como la multiplicación por un natural es una suma iterada de términos iguales, se conviene en representar
la multiplicación iterada como una potencia:
8 · 8 · 8 · 8 = 84.
6
La multiplicación de dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base,
y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
Números enteros
Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye
números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números
enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales
convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos.
Ahora consideremos el siguiente problema:
Hallar el número que sumado a 5 sea igual a 3.
Este problema no tiene solución en el conjunto de los números naturales, ya que si sumamos un natural a 5
obtendremos otro natural mayor que 5, y 3 es menor que 5. Este problema es análogo a querer calcular la resta
3 — 5. Es decir, ninguna resta en la que el sustraendo sea mayor o igual que el minuendo puede ser resuelta
en el conjunto de los naturales.
La introducción de los números enteros negativos y el cero sirvió para resolver este tipo de problemas. En primer
lugar, el 0 es el número que sumado a cualquier natural da el mismo natural:
3 + 0 = 3, 125 + 0 = 125.
Así queda definida la suma de un natural con el 0 y la resta entre dos naturales iguales:
3 − 3 = 0, 125 − 125 = 0.
1 − 4 = 1 +(−4) = −3, −7 − 15 = −7 +(−15) = −22.
,Al conjunto de los números enteros se lo representa con la letra Z. Así como en los naturales existe un orden
natural: 1 < 2, 2 < 3, 3 < 4, etc.
En el conjunto de los números enteros están definidas entonces las operaciones de suma y de multiplicación,
y satisfacen las mismas propiedades que se satisfacen para los números naturales. También la potencia de un
número con exponente natural se define como la multiplicación iterada del número tantas veces como lo
indique el exponente. Por ejemplo:−( 5)3 = (−5) ·( − 5) ( · 5)
− = 125. − Las potencias con exponente
negativo no están definidas para los enteros, excepto para 1 y— 1. En el conjunto de los números enteros,
destacamos dos elementos que cumplen ciertas propiedades especiales: el 0 y el 1.
Propiedades del número 0
Elemento neutro para la suma: Si lo sumamos con cualquier número se obtiene el mismo número. Por
ejemplo: 7 + 0 = 7, −4 + 0 = −4.
Multiplicación por 0: La multiplicación por cero siempre da como resultado cero. Por ejemplo: 6 · 0 =
0, (−3) · 0 = 0.
Potencia con exponente 0: Se conviene definir la potencia de un número no nulo con exponente cero,
igual a 1. Por ejemplo: 70 = 1 y (−5)0 = 1.
Propiedades del número 1
Elemento neutro para la multiplicación: Si se lo multiplica por cualquier número se obtiene el mismo
número; por ejemplo: 4 · 1 = 4, (−9) · 1 = −9 y 0 · 1 = 0.
Más adelante, en las clases de álgebra del primer año, se verá que esto implica la siguiente regla general:
Regla de los signos: La multiplicación entre dos enteros negativos o dos enteros positivos es un
entero positivo. La multiplicación entre un entero positivo y uno negativo es un entero
negativo.
Los números enteros suelen representarse como puntos de una recta. Esto es, se eligen dos puntos distintos,
uno representa el 0 y el otro el 1. Así se tiene un segmento unidad. Transportando este segmento hacia un lado
de la recta se representan todos los enteros positivos, y hacia el otro todos los enteros negativo.
Enteros Negativos Segmento unidad Enteros Positivos
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
, La división entera
Hemos dicho que si se efectúan sumas, restas y multiplicaciones de números enteros se obtienen números
enteros, por lo que se dice que este conjunto es cerrado respecto a estas operaciones. Existe otra operación
en el conjunto de los números enteros llamada la división entera. La división entera es una operación que sólo tiene
sentido en el conjunto de los números enteros y también en el de los naturales si le agregamos el 0. La
división entera entre dos números, llamados dividendo y divisor, permite hallar otros dos números enteros,
llamados cociente y resto. El resto es un entero no negativo y menor que el valor absoluto del divisor, y tal que si
se le suma el producto entre el divisor y el cociente se obtiene el dividendo.
Por ejemplo, la división entre 27 y 6 tiene como cociente 4 y como resto 3 pues
27 = 6 · 4 + 3.
También, si dividimos −124 por −50, entonces el cociente es 3 y el resto es 26 dado que
−124 = (−50) · 3 + 26,
Ahora bien, notemos que si bien el cociente entre 27 y 6 es 4, no es cierto que 4 · 6 sea igual a 27. Por lo tanto
la división entera no es la operación inversa a la multiplicación. Así como con los naturales no podemos resolver el
problema de hallar el número que sumado a 5 dé como resultado 3, en el conjunto de los números enteros no
es posible resolver problemas tal como hallar el número que multiplicado por 6 sea igual a 27. Para solucionar este
problema se introduce un nuevo conjunto numérico en la siguiente sección.
Números racionales
Se dan por conocidos los números naturales {0,1,2,3,4,...,10,11,...} . El conjunto de todos ellos se representa con
la letra .
Los enteros ( ) son los naturales y sus opuestos 1, -1, 2, -2, 3, -3,...
La definición de números racionales es: tales que
Es decir, se dice que un número es racional si se puede escribir como la fracción de dos números enteros. Los
números racionales también se pueden detectar por su forma decimal ya que todos tienen una expresión finita o
periódica.
son todos números racionales.
Hallar el número que multiplicado por 5 dé como resultado 2.
Los números que se usan para contar se llaman números naturales. Al conjunto formado por todos los números
naturales se lo denota con la letra N. Para contar un elemento se usa el número 1, para el siguiente el número
2, y así sucesivamente.
8+8+8+8+8 = 5·8 y además
8+8+8+8+8 = 5+5+5+5+5+5+5+5.
` ˛ ¸ x ` ˛ ¸ x
5 v e ces 8 v e ces
Así como la multiplicación por un natural es una suma iterada de términos iguales, se conviene en representar
la multiplicación iterada como una potencia:
8 · 8 · 8 · 8 = 84.
6
La multiplicación de dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base,
y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
Números enteros
Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye
números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números
enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales
convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos.
Ahora consideremos el siguiente problema:
Hallar el número que sumado a 5 sea igual a 3.
Este problema no tiene solución en el conjunto de los números naturales, ya que si sumamos un natural a 5
obtendremos otro natural mayor que 5, y 3 es menor que 5. Este problema es análogo a querer calcular la resta
3 — 5. Es decir, ninguna resta en la que el sustraendo sea mayor o igual que el minuendo puede ser resuelta
en el conjunto de los naturales.
La introducción de los números enteros negativos y el cero sirvió para resolver este tipo de problemas. En primer
lugar, el 0 es el número que sumado a cualquier natural da el mismo natural:
3 + 0 = 3, 125 + 0 = 125.
Así queda definida la suma de un natural con el 0 y la resta entre dos naturales iguales:
3 − 3 = 0, 125 − 125 = 0.
1 − 4 = 1 +(−4) = −3, −7 − 15 = −7 +(−15) = −22.
,Al conjunto de los números enteros se lo representa con la letra Z. Así como en los naturales existe un orden
natural: 1 < 2, 2 < 3, 3 < 4, etc.
En el conjunto de los números enteros están definidas entonces las operaciones de suma y de multiplicación,
y satisfacen las mismas propiedades que se satisfacen para los números naturales. También la potencia de un
número con exponente natural se define como la multiplicación iterada del número tantas veces como lo
indique el exponente. Por ejemplo:−( 5)3 = (−5) ·( − 5) ( · 5)
− = 125. − Las potencias con exponente
negativo no están definidas para los enteros, excepto para 1 y— 1. En el conjunto de los números enteros,
destacamos dos elementos que cumplen ciertas propiedades especiales: el 0 y el 1.
Propiedades del número 0
Elemento neutro para la suma: Si lo sumamos con cualquier número se obtiene el mismo número. Por
ejemplo: 7 + 0 = 7, −4 + 0 = −4.
Multiplicación por 0: La multiplicación por cero siempre da como resultado cero. Por ejemplo: 6 · 0 =
0, (−3) · 0 = 0.
Potencia con exponente 0: Se conviene definir la potencia de un número no nulo con exponente cero,
igual a 1. Por ejemplo: 70 = 1 y (−5)0 = 1.
Propiedades del número 1
Elemento neutro para la multiplicación: Si se lo multiplica por cualquier número se obtiene el mismo
número; por ejemplo: 4 · 1 = 4, (−9) · 1 = −9 y 0 · 1 = 0.
Más adelante, en las clases de álgebra del primer año, se verá que esto implica la siguiente regla general:
Regla de los signos: La multiplicación entre dos enteros negativos o dos enteros positivos es un
entero positivo. La multiplicación entre un entero positivo y uno negativo es un entero
negativo.
Los números enteros suelen representarse como puntos de una recta. Esto es, se eligen dos puntos distintos,
uno representa el 0 y el otro el 1. Así se tiene un segmento unidad. Transportando este segmento hacia un lado
de la recta se representan todos los enteros positivos, y hacia el otro todos los enteros negativo.
Enteros Negativos Segmento unidad Enteros Positivos
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
, La división entera
Hemos dicho que si se efectúan sumas, restas y multiplicaciones de números enteros se obtienen números
enteros, por lo que se dice que este conjunto es cerrado respecto a estas operaciones. Existe otra operación
en el conjunto de los números enteros llamada la división entera. La división entera es una operación que sólo tiene
sentido en el conjunto de los números enteros y también en el de los naturales si le agregamos el 0. La
división entera entre dos números, llamados dividendo y divisor, permite hallar otros dos números enteros,
llamados cociente y resto. El resto es un entero no negativo y menor que el valor absoluto del divisor, y tal que si
se le suma el producto entre el divisor y el cociente se obtiene el dividendo.
Por ejemplo, la división entre 27 y 6 tiene como cociente 4 y como resto 3 pues
27 = 6 · 4 + 3.
También, si dividimos −124 por −50, entonces el cociente es 3 y el resto es 26 dado que
−124 = (−50) · 3 + 26,
Ahora bien, notemos que si bien el cociente entre 27 y 6 es 4, no es cierto que 4 · 6 sea igual a 27. Por lo tanto
la división entera no es la operación inversa a la multiplicación. Así como con los naturales no podemos resolver el
problema de hallar el número que sumado a 5 dé como resultado 3, en el conjunto de los números enteros no
es posible resolver problemas tal como hallar el número que multiplicado por 6 sea igual a 27. Para solucionar este
problema se introduce un nuevo conjunto numérico en la siguiente sección.
Números racionales
Se dan por conocidos los números naturales {0,1,2,3,4,...,10,11,...} . El conjunto de todos ellos se representa con
la letra .
Los enteros ( ) son los naturales y sus opuestos 1, -1, 2, -2, 3, -3,...
La definición de números racionales es: tales que
Es decir, se dice que un número es racional si se puede escribir como la fracción de dos números enteros. Los
números racionales también se pueden detectar por su forma decimal ya que todos tienen una expresión finita o
periódica.
son todos números racionales.
Hallar el número que multiplicado por 5 dé como resultado 2.
