Apunte Cálculo I Modulo 1

MATERIAL DE APOYO PARA EL
MÓDULO 1
DE CÁLCULO I
RPI 214.800, ISBN 978-956-7813-90-2



Proyecto financiado por Convenio de Desempeño Calidad del
Aprendizaje y la Gestión Concurso Especial FIAC2 2011: Mejo-
ramiento del Rendimiento Académico en Matemática y Fı́sica, pa-
ra alumnos de Primer Año de Ingenierı́a de Ejecución Mecánica,
Electricidad y Electrónica; Convenio Desempeño: Integración So-
cial y Éxito Académico de sus Estudiantes; Departamento de Ma-
temática–UBB.



Profesores participantes: Fernando Flores, Claudio Vidal, Oscar
Villarroel.


Concepción, 2013.



Departamento de Matemática–Universidad del Bı́o-Bı́o

, Índice general




1. Los números reales 4
1.1. Los números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. R es ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3. Supremo e ı́nfimo de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Potenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4. Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1. Ejercicios resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2. Método para analizar productos y cuocientes de inecuaciones . . . . . 27
1.5. Valor absoluto o módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2. Funciones 42
2.1. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2. Relaciones binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43


2

, 2.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4. Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.5. Propiedades de las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6. Álgebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7. Funciones monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.9. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.9.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3. Lı́mite de funciones 66
3.1. Idea intuitiva de lı́mite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2. Álgebra de lı́mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2.1. Lı́mites especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3. Lı́mites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4. Lı́mite en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4.1. Lı́mites infinitos, ası́ntotas verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.2. Lı́mites al infinito, ası́ntotas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4. Continuidad 104
4.0.1. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.1. Tipos de discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1.1. Discontinuidad evitable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1.2. Discontinuidad esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.1.3. Ası́ntota oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

, CAPÍTULO 1



Los números reales




Para introducir todos los contenidos del Cálculo Diferencial en una variable orientado a
alumnos de la carrera de Ingenierı́a necesitamos inicialmente entender y comprender propie-
dades importantes del conjunto de los números reales, pues sobre este conjunto realizaremos
toda nuestra teorı́a.
Es importante enfatizar que muchas propiedades de los números reales fueron vistas
durante la Educación Básica y Media, pero muy probablemente no la dominamos con na-
turalidad y principalmente no sabemos justificar la veracidad de muchas de ellas. Aún más,
no sabemos si ellas se aceptan de manera axiomática o son consecuencias de implicaciones
lógicas.



1.1. Los números racionales
A continuación introduciremos el conjunto de los números racionales denotado por Q,
 
p
Q = r / r = , p, q ∈ Z, q 6= 0 . (1.1)
q
Como el objetivo de estas notas es facilitar el estudio del alumno, recordaremos algunas
importantes propiedades de los números racionales. Inicialmente recordemos las operaciones
de adición (comúnmente denotada por +) y multiplicación (comúnmente denotada por · )
de números racionales. Sean r = ab y s = dc dos números racionales arbitrarios, entonces se

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