Samenvatting - Havo/VWO-verdieping - Blok 1- Verzamelingenleer

Samenvatting Verzamelingenleer
Inhoud
Deel 1: Verzamelingen............................................................................................................................2
4. Verzamelingen................................................................................................................................2
5. Vorming van verzamelingen...........................................................................................................2
Mogelijke tentamenvragen............................................................................................................2
6. Deelverzameling en gelijkheid van verzamelingen.........................................................................3
7. Machtsverzamelingen.....................................................................................................................3
Mogelijke tentamenvraag...............................................................................................................3
8. Verzamelingenalgebra en venndiagrammen..................................................................................4
9. Bewijzen.........................................................................................................................................5
9.1 Twee hulpstellingen..................................................................................................................5
9.2 Het bewijs van een implicatie...................................................................................................5
9.3 Het bewijs van een equivalentie...............................................................................................6
10. Relaties.........................................................................................................................................7
11. Reflexieve, symmetrische en transitieve relaties..........................................................................7
12. Equivalentierelatie........................................................................................................................8
13. Functies........................................................................................................................................9
13.1 Functies...................................................................................................................................9
13.2 Injectief, surjectief en bijectief.............................................................................................10
Deel 2: Oneindig...................................................................................................................................11
14. De paradox van Russell...............................................................................................................11
15. Gelijkmachtigheid en oneindig...................................................................................................11
16. Het Hilbert Hotel.........................................................................................................................12
17. Een definitie van oneindige verzamelingen................................................................................12
18. Aftelbaar en overaftelbaar..........................................................................................................12





1

, Deel 1: Verzamelingen
4. Verzamelingen
 Verzameling
1. Notatie : x ∈ A
 Uitspraak x is een element van
2. Notatie : x ∉ A
 Uitspraak x is geen element van

5. Vorming van verzamelingen
 Verzameling vormen door opsomming
1. Met behulp van accolades worden alle elementen opgenoemd tot één geheel.
Elementen mogen hierbij vaker in één opsomming genoemd worden.
 N= { 0 ,1 , 2 ,3 , … }
 A={ 0 , 1, 1 ,1 , 2 ,2 , 3 , … }
 Basisverzamelingen
1. ∅ : Lege verzameling
2. N : Natuurlijke getallen
3. Z : Gehele getallen
4. Q : Rationale getallen
5. R : Reële getallen
6. C : Complexe getallen
 Verzameling vormen vanuit door selectie
1. { x ∈ A|eigenschap(x )}
 x ∈ A  Verzameling
 Eigenschap (x)  eigenschap van een
verzameling
 Verzamelingen vormen vanuit een bewerking
1. { f ( x )| x ∈ A }
 Aaneengesloten verzameling in ℝ: Intervallen
1. Gesloten interval:
 [ a , b ]= { x ∈ R| a≤ x ≤ b }
2. Open interval:
 ¿ a , b> ¿ { x ∈ R|a < x< b }
3. Halfopen of halfgesloten interval:
 ¿
 ¿ a , b ¿={ x ∈ R|a< x ≤ b }
4. Intervallen zonder begin- en eindpunt hebben altijd een ∞ binnen de haakjes
5. Singleton: verzameling met één element
6. Doubleton: verzameling met twee elementen
7. Tripleton: verzameling met drie elementen
8. Etc.

Mogelijke tentamenvragen
 Laat zien dat deze stelling klopt: { a ∈ Z|∃b ∈ N : a+2 b<3 }
o Om dit op te lossen moet je voor alle a één b zien te vinden
 Schrijf deze bewerking op als een selectie: Voorbeeld {2 x∨xϵ N }

2