27 mei Warmtetransport door buizen
𝑑𝑥 𝑘 𝐴 ∆𝑇
Waarom is de formule 4. 17 𝑞 = 𝑘 𝐴 (= ) niet werkbaar voor buizen?
𝑑𝑇 𝑑
Het probleem is dat in de formule de oppervlakte (A) in staat. Alleen bij buizen zie je -omdat bij een buis de warmte van binnen
naar buiten gaat- dat het oppervlakte waardoor de warmte stroomt eigenlijk steeds groter wordt. De oppervlakte van de
warmtestroom is dus niet constant. Binnen in de cilinder is het oppervlak kleiner dan de buitenzijde van de cilinder.
2π L k (Ti −To ) 2π L k ∆T
Formule qr = r = r (4.39)
ln( o⁄r )i
ln( o⁄r )
i
Betekenis
qr De warmte stroom die afhankelijk is van de straal van de buis.
L De lengte van de buis
k Warmtegeleidingscoëfficiënt van het buismateriaal
Ti Buis temperatuur aan de binnen zijde (insite)
To Buis temperatuur aan de buiten zijde (outsite)
ri Straal van de buis aan de binnen zijde
ro Straal van de buis aan de buiten zijde
ln staat voor natuurlijke logaritme. Is ook een knopje op je rekenmachine zit onder de logtoets.
dy
Er is één functie waarvan de functie gelijk is aan de afgeleide functie: f(x) = f ′ (x) =
dx
Dat is de functie f(x) = ex
e is het getal van Euler, een natuurlijk getal dat de waarde e = 2,71828……….
De natuurlijke logaritme is nu en logaritme met grondtal e elog x = ln x
Bijvoorbeeld ln 2,873 = 1,055 De inverse (tegenovergestelde) van nl x is ex
2π L k ∆T
Net als bij wanden kunnen we ook nu ons afvragen, kan ik met behulp van de formule qr = r en de definitie van
ln( o⁄ri )
∆T
warmteweerstand R = , nu een formule afleiding van warmteweerstand voor geleiding bij buizen.
q
𝑟
𝑖
ln( 𝑜⁄𝑟 )
Nou, dit gaat eigenlijk op dezelfde manier, en als je die afleiding goed doet krijg je de formule 𝑅𝑔 =
2𝜋 𝐿 𝑘
ln (buitenstraal / binnenstraal) / 2𝜋 maal de lengte van de buis maal de warmtegeleidingscoëfficiënt van de buis.
Als we kijken naar of er iets veranderd voor convectie is het antwoord nee. Convectie vindt namelijk plaats op een oppervlakte. En
ook bij convectie aan de binnenkant van de buis vindt het dus aan de oppervlakte van de binnenkant plaats. En bij convectie aan
de buitenkant van de buis, vindt het dus aan de oppervlakte van de buitenkant van die buiscilinder. En eigenlijk is dat dus een
cilindrisch oppervlakte. Wat is nu het oppervlak van een cilinder? Dat is als het ware de omtrek van de cirkel maal de lengte van
1 1
de cilinder, in formule vorm 𝐴𝐶 = 2𝜋 𝑟 𝐿. Dus 𝑅𝐶 = =
𝐴ℎ 2𝜋 𝑟 𝐿 ℎ
Een rekenvoorbeeld:
Als je stoom maakt in een stoomapparaat dan moet meestal de stoom nog getransporteerd worden naar de warmtewisselaar
waar je bv. een product wilt verwarmen. Zolang die stoombuis buiten het product is, wil je dat die warmte zo min mogelijk warmte
afgeeft. Vandaar dat er regelmatig een geïsoleerde buis voorkomt.
In met piepschuim geïsoleerde ijzeren buis stroomt stoom (de convectie gaat goed bij stoom) van 150 °C. De warmte
overdrachtscoëfficiënt hi = 200 W/ (m2 °C). De inwendige buis diameter is 4,0 cm en de dikte van de stalen buis is 0,5 cm. De
warmtegeleidingscoëfficiënt van ijzer k = 80,4 W/ (m °C). De piepschuim isolatie is 2,0 cm dik. De warmtegeleidingscoëfficiënt van
piepschuim k = 0,13 W/ (m °C). De warmte overdrachtscoëfficiënt aan de buitenzijde naar de lucht is ho = 10 W/ (m2 °C). De
luchttemperatuur is 25 °C
Bereken:
a) De warmtestroom door de wand van de buis.
Analyse van het probleem (maak een tekening)
ri = ½ D = 2,0 cm = 2.10-2 m.
r1 = 2 + 0,5 = 2,5 cm = 2,5.10-2 m.
ro = 2,5 + 2 = 4,5 cm = 4,5.10-2 m.
De aanpak veranderd niet.
Stap 1 = Onderzoek waar het warmte transport met convectie plaats vindt en waar met geleiding. In buis van stoom naar de
ijzeren wand van de buis is convectie, daarna door metalen buis en door piepschuim is geleiding en van buitenzijde piepschuim
naar de lucht is convectie.
𝑑𝑥 𝑘 𝐴 ∆𝑇
Waarom is de formule 4. 17 𝑞 = 𝑘 𝐴 (= ) niet werkbaar voor buizen?
𝑑𝑇 𝑑
Het probleem is dat in de formule de oppervlakte (A) in staat. Alleen bij buizen zie je -omdat bij een buis de warmte van binnen
naar buiten gaat- dat het oppervlakte waardoor de warmte stroomt eigenlijk steeds groter wordt. De oppervlakte van de
warmtestroom is dus niet constant. Binnen in de cilinder is het oppervlak kleiner dan de buitenzijde van de cilinder.
2π L k (Ti −To ) 2π L k ∆T
Formule qr = r = r (4.39)
ln( o⁄r )i
ln( o⁄r )
i
Betekenis
qr De warmte stroom die afhankelijk is van de straal van de buis.
L De lengte van de buis
k Warmtegeleidingscoëfficiënt van het buismateriaal
Ti Buis temperatuur aan de binnen zijde (insite)
To Buis temperatuur aan de buiten zijde (outsite)
ri Straal van de buis aan de binnen zijde
ro Straal van de buis aan de buiten zijde
ln staat voor natuurlijke logaritme. Is ook een knopje op je rekenmachine zit onder de logtoets.
dy
Er is één functie waarvan de functie gelijk is aan de afgeleide functie: f(x) = f ′ (x) =
dx
Dat is de functie f(x) = ex
e is het getal van Euler, een natuurlijk getal dat de waarde e = 2,71828……….
De natuurlijke logaritme is nu en logaritme met grondtal e elog x = ln x
Bijvoorbeeld ln 2,873 = 1,055 De inverse (tegenovergestelde) van nl x is ex
2π L k ∆T
Net als bij wanden kunnen we ook nu ons afvragen, kan ik met behulp van de formule qr = r en de definitie van
ln( o⁄ri )
∆T
warmteweerstand R = , nu een formule afleiding van warmteweerstand voor geleiding bij buizen.
q
𝑟
𝑖
ln( 𝑜⁄𝑟 )
Nou, dit gaat eigenlijk op dezelfde manier, en als je die afleiding goed doet krijg je de formule 𝑅𝑔 =
2𝜋 𝐿 𝑘
ln (buitenstraal / binnenstraal) / 2𝜋 maal de lengte van de buis maal de warmtegeleidingscoëfficiënt van de buis.
Als we kijken naar of er iets veranderd voor convectie is het antwoord nee. Convectie vindt namelijk plaats op een oppervlakte. En
ook bij convectie aan de binnenkant van de buis vindt het dus aan de oppervlakte van de binnenkant plaats. En bij convectie aan
de buitenkant van de buis, vindt het dus aan de oppervlakte van de buitenkant van die buiscilinder. En eigenlijk is dat dus een
cilindrisch oppervlakte. Wat is nu het oppervlak van een cilinder? Dat is als het ware de omtrek van de cirkel maal de lengte van
1 1
de cilinder, in formule vorm 𝐴𝐶 = 2𝜋 𝑟 𝐿. Dus 𝑅𝐶 = =
𝐴ℎ 2𝜋 𝑟 𝐿 ℎ
Een rekenvoorbeeld:
Als je stoom maakt in een stoomapparaat dan moet meestal de stoom nog getransporteerd worden naar de warmtewisselaar
waar je bv. een product wilt verwarmen. Zolang die stoombuis buiten het product is, wil je dat die warmte zo min mogelijk warmte
afgeeft. Vandaar dat er regelmatig een geïsoleerde buis voorkomt.
In met piepschuim geïsoleerde ijzeren buis stroomt stoom (de convectie gaat goed bij stoom) van 150 °C. De warmte
overdrachtscoëfficiënt hi = 200 W/ (m2 °C). De inwendige buis diameter is 4,0 cm en de dikte van de stalen buis is 0,5 cm. De
warmtegeleidingscoëfficiënt van ijzer k = 80,4 W/ (m °C). De piepschuim isolatie is 2,0 cm dik. De warmtegeleidingscoëfficiënt van
piepschuim k = 0,13 W/ (m °C). De warmte overdrachtscoëfficiënt aan de buitenzijde naar de lucht is ho = 10 W/ (m2 °C). De
luchttemperatuur is 25 °C
Bereken:
a) De warmtestroom door de wand van de buis.
Analyse van het probleem (maak een tekening)
ri = ½ D = 2,0 cm = 2.10-2 m.
r1 = 2 + 0,5 = 2,5 cm = 2,5.10-2 m.
ro = 2,5 + 2 = 4,5 cm = 4,5.10-2 m.
De aanpak veranderd niet.
Stap 1 = Onderzoek waar het warmte transport met convectie plaats vindt en waar met geleiding. In buis van stoom naar de
ijzeren wand van de buis is convectie, daarna door metalen buis en door piepschuim is geleiding en van buitenzijde piepschuim
naar de lucht is convectie.
