Samenvatting Verhoudingen,
procenten, breuken en
kommagetallen
H1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
Verhoudingen, gebroken getallen en procenten zijn (sub)domeinen die een aantal overeenkomsten
hebben:
- Een relatief aspect
- Kommagetallen zijn decimale breuken
- Breuken (deel – geheel) en procenten (deel-geheel op honderd gesteld) kunnen allebei een
verhouding aangeven
Maar de domeinen kennen ook allen hun eigen gebruik en verschijningsvormen in de realiteit:
- Bij notatie van geld gebruikt men kommagetallen, geen breuken
- Procenten komen veel voor bij kortingen en rente
- Kortingen worden niet uitgedrukt in kommagetallen
Voor de zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het onderscheid absoluut en relatief van
groot belang. Zonder dit kun je veel informatie in het dagelijks leven (bijv. de krant) niet goed
begrijpen. Absolute gegevens verwijzen naar daadwerkelijke hoeveelheden of getallen, relatieve
gegevens verwijzen naar verhoudingsmatige gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke getal of
aantal aan kunt aflezen.
Het is moeilijk voor kinderen om het relatieve aspect ten opzichte van absoluut te doorzien. Om
kinderen greep te laten krijgen op dit cruciale onderscheid, is het nodig om absolute en relatieve
gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden én met elkaar in verband te brengen. Dit kan
bijvoorbeeld met het strookmodel, met zowel absolute gegevens (de aantallen) als relatieve
gegevens (het percentage).
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen is het – vooral in het begin
van het leerproces – verstandig de getallen benoemd te noteren. Helpt om onderscheid tussen
absolute en relatieve gegevens duidelijk te houden.
1.2 Onderlinge relaties
Om goed te kunnen redeneren en rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen moeten kinderen greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen deze
subdomeinen. Zo kunnen ze onderlinge relaties beredeneren. Om het makkelijker te maken is het erg
belangrijk om bewust aandacht te besteden aan betekenisverlening.
Verschillende verschijningsvormen en de samenhang ervan kunnen doorzien geeft kinderen greep op
de betekenissen:
⅕ x 10 betekent het ⅕ deel nemen van 10
Ik weet dat 20% ergens van hetzelfde is als ⅕ deel daarvan nemen, want 100 gedeeld door 5 is 20
⅕ is eigenlijk 1 gedeeld door 5
,Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en breuken allemaal rationele getallen met
verschillende notatiewijzer. Breuken en kommagetallen zijn allebei gebroken getallen. Qua
verschijningsvorm in de realiteit is de opvallendste overeenkomst dat je zowel breuken als
kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. Verschillen: breuken vaker als deel van een geheel en
deel van een hoeveelheid. Alle breuken kunnen ook worden genoteerd als een kommagetal. Deze
worden bij onvoldoende begrip nogal eens door elkaar gehaald; ze denken dan dat ⅕ hetzelfde is als
0,5. Stroken met bijvoorbeeld geld kunnen dan verduidelijkend werken.
Wat ook moeilijk is voor kinderen is verschillende rekengetallen m.b.t. extra 0; 0,10 = 0,1 door
verschillende ondermaten te gebruiken is dit uit te leggen: bijv. 0,1 meter is hetzelfde als 1
decimeter en 1 decimeter is even lang als 10 centimeter en daarom mag je ook schrijven 0,10 meter.
En 0,01 meter is 1 centimeter.
Van breuk naar kommagetal:
Als je kijkt naar 1/7 dan heeft het een sliert van decimalen die zichzelf herhaalt: 0,142857142857…
De breuk heet een repeterende breuk en de sliert heet een repetendum.
Uitrekenen:
Hoeveel zevens gaan er in 1? 0, noteer 0, (10)
Hoeveel zevens in 10? 1, over 3
Hoeveel zevens in 30? 4, over 2
Hoeveel zevens in 20? 2 over 6
Hoeveel zevens in 60? 8, over 4
Hoeveel zevens in 40? 5, over 5
Hoeveel zevens in 50? 7, over 1 en dan begint het dus weer overnieuw
Andersom kan ook; van kommagetal naar breuk. Bij een niet repeterende breuk is het makkelijk; 3,
152 = 3 152/1000 = 3 19/125
Bij een repeterende breuk, bijv 0,461538461538 moet je het getal vermenigvuldigen met zoveel x10
als het repetendum lang is, hier dus 1000000. Hier trek je de gezochte breuk vanaf: 999999
(=1000000 – 1) met uitkomst 461538. Dus breuk is 461538/999999 > 6/13
Een breuk kan zowel een absoluut getal (punt op de getallenlijn) als een operator (relatief) zijn. Bij
procenten is een percentage altijd een relatief gegeven en is dus altijd een operator. Percentages kun
je beter op een strook zetten dan op een getallenlijn om verwarring te voorkomen.
Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn (1/2 = 5/10 =
0,5 = 1 : 2 en komt overeen met 50%). Deze oefen je in, eerst nog modelondersteund (strook en
cirkelmodel) maar al snel op formeel niveau.
Wanneer je kinderen zelf dit soort sommen laat bedenken om weetjes in te oefenen, heet dit
productief oefenen; kinderen gebruiken meer kennis die ze al hebben, denken na over leerinhoud en
oefenen tegelijkertijd.
H2 Verhoudingen
2.1 Verhoudingen zijn overal
Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen. Evenredig: als het ene getal zoveel keer groter wordt, dan wordt het andere getal
evenzoveel groter; naar rato. Als je aantallen in verhouding wilt vergelijken dan kijk je naar de
, vergelijkbare eenheid of grootheid (maat of inhoud, gewicht, lengte). Zulke verhoudingen zijn;
hoeveelheid/prijs, gewicht/prijs, inhoud/prijs.
Andere verschijningsvormen van verhoudingen zijn bijvoorbeeld; sterkte van koffie of alcohol,
recepten, snelheid (samengestelde grootheid, samengesteld uit grootheid lengte met maateenheid
km en grootheid tijd met maateenheid uur; km/u), bevolkingsdichtheid. Een andere veel
voorkomende verhouding is schaal op landkaarten en plattegronden, maar ook bij schaalmodellen.
Bij schaalnotatie noteren we beide gevallen in dezelfde maateenheid (onafhankelijk welke).
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding. Het totaal is op 100 gesteld. Dit maakt het
vergelijken makkelijker en helpt om informatie letterlijk maar ook figuurlijk in verhouding te zien.
Wanverhoudingen komen vaak voor in reclame, (politieke) cartoons en kunst om aandacht te
trekken.
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Kwantitatieve verhoudingen (1 : 6) uitgedrukt in een of meer getallen
Kwalitatieve verhoudingen (te lang voor zijn leeftijd) er komt geen getal aan te pas. (vaak
meetkundig verband)
Interne en externe verhoudingen
Interne verhouding: een verhouding betreft één grootheid of eenheid (1 op de 3 kinderen)
Externe verhouding: betreft twee verschillende grootheden (bijv. samengestelde grootheid snelheid)
Verhoudingsdelen en verdelingsdeling
Verhoudingsdelen: het gaat om de (interne) verhouding van het deel ten opzichte van het geheel. (12
snoepjes in 3 groepjes van 4)
Verdelingsdeling: Deeltal en deler representeren iets anders. (3 kinderen verdelen 12 snoepjes; elk
krijgt er 4 = externe verhouding)
Lineair verband
Verband tussen 2 grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft, gaat deze door de oorsprong (het
snijpunt van de verticale en de horizontale as) dan is het verband een evenredig verband ofwel een
verhouding.
Niet evenredige verbanden
Verhoudingsgewijs redeneren; als een element vergroot word, wordt een ander element evenzoveel
vergroot. Maar als het om oppervlakte en inhoud gaat, moet er niet 2 maar 4 keer vergroot worden
en met inhoud 8 keer zo groot.
Het woord ‘meer’ duidt op een addititieve betekenis en het woord ‘keer’ past in een multiplicatieve
context. Andersoortige (niet-evenredige verbanden) zijn ook; exponentiële, logaritmische, logistische
of wortelfuncties.
Omgekeerd evenredige verbanden (geen verhouding): verband snelheid en tijd > als je harder gaat
heb je minder tijd nodig.
Bijzondere verhoudingen
De gulden snede is een verhouding die sinds de 17e eeuw staat voor een schoonheidsideaal: de
mooiste verhouding die er bestaat. De verhoudingen van een rechthoek waarbij je een lijnstuk zo in
tweeën deelt dat de verhouding van het kleinste deel ten opzichte van het grootste deel dezelfde is
als de verhouding van het grootste deel tot het hele lijnstuk. Dit werd wel de ‘goddelijke verhouding’
genoemd. Bij een lijnstuk van 1 meter is de verdeling ongeveer 38,2 en 61,8. Een veelgebruikte
benadering is 0,618. Het precieze verhoudingsgetal heeft een oneindig aantal decimalen: phi Φ of de
omgekeerde phi = φ.
procenten, breuken en
kommagetallen
H1 Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen
1.1 Verhoudingen zijn de basis
Verhoudingen, gebroken getallen en procenten zijn (sub)domeinen die een aantal overeenkomsten
hebben:
- Een relatief aspect
- Kommagetallen zijn decimale breuken
- Breuken (deel – geheel) en procenten (deel-geheel op honderd gesteld) kunnen allebei een
verhouding aangeven
Maar de domeinen kennen ook allen hun eigen gebruik en verschijningsvormen in de realiteit:
- Bij notatie van geld gebruikt men kommagetallen, geen breuken
- Procenten komen veel voor bij kortingen en rente
- Kortingen worden niet uitgedrukt in kommagetallen
Voor de zich ontwikkelende gecijferdheid van kinderen is het onderscheid absoluut en relatief van
groot belang. Zonder dit kun je veel informatie in het dagelijks leven (bijv. de krant) niet goed
begrijpen. Absolute gegevens verwijzen naar daadwerkelijke hoeveelheden of getallen, relatieve
gegevens verwijzen naar verhoudingsmatige gegevens waar je niet direct het daadwerkelijke getal of
aantal aan kunt aflezen.
Het is moeilijk voor kinderen om het relatieve aspect ten opzichte van absoluut te doorzien. Om
kinderen greep te laten krijgen op dit cruciale onderscheid, is het nodig om absolute en relatieve
gegevens nadrukkelijk van elkaar te onderscheiden én met elkaar in verband te brengen. Dit kan
bijvoorbeeld met het strookmodel, met zowel absolute gegevens (de aantallen) als relatieve
gegevens (het percentage).
Om te voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen is het – vooral in het begin
van het leerproces – verstandig de getallen benoemd te noteren. Helpt om onderscheid tussen
absolute en relatieve gegevens duidelijk te houden.
1.2 Onderlinge relaties
Om goed te kunnen redeneren en rekenen met verhoudingen, procenten, breuken en
kommagetallen moeten kinderen greep krijgen op de onderlinge samenhang tussen deze
subdomeinen. Zo kunnen ze onderlinge relaties beredeneren. Om het makkelijker te maken is het erg
belangrijk om bewust aandacht te besteden aan betekenisverlening.
Verschillende verschijningsvormen en de samenhang ervan kunnen doorzien geeft kinderen greep op
de betekenissen:
⅕ x 10 betekent het ⅕ deel nemen van 10
Ik weet dat 20% ergens van hetzelfde is als ⅕ deel daarvan nemen, want 100 gedeeld door 5 is 20
⅕ is eigenlijk 1 gedeeld door 5
,Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en breuken allemaal rationele getallen met
verschillende notatiewijzer. Breuken en kommagetallen zijn allebei gebroken getallen. Qua
verschijningsvorm in de realiteit is de opvallendste overeenkomst dat je zowel breuken als
kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. Verschillen: breuken vaker als deel van een geheel en
deel van een hoeveelheid. Alle breuken kunnen ook worden genoteerd als een kommagetal. Deze
worden bij onvoldoende begrip nogal eens door elkaar gehaald; ze denken dan dat ⅕ hetzelfde is als
0,5. Stroken met bijvoorbeeld geld kunnen dan verduidelijkend werken.
Wat ook moeilijk is voor kinderen is verschillende rekengetallen m.b.t. extra 0; 0,10 = 0,1 door
verschillende ondermaten te gebruiken is dit uit te leggen: bijv. 0,1 meter is hetzelfde als 1
decimeter en 1 decimeter is even lang als 10 centimeter en daarom mag je ook schrijven 0,10 meter.
En 0,01 meter is 1 centimeter.
Van breuk naar kommagetal:
Als je kijkt naar 1/7 dan heeft het een sliert van decimalen die zichzelf herhaalt: 0,142857142857…
De breuk heet een repeterende breuk en de sliert heet een repetendum.
Uitrekenen:
Hoeveel zevens gaan er in 1? 0, noteer 0, (10)
Hoeveel zevens in 10? 1, over 3
Hoeveel zevens in 30? 4, over 2
Hoeveel zevens in 20? 2 over 6
Hoeveel zevens in 60? 8, over 4
Hoeveel zevens in 40? 5, over 5
Hoeveel zevens in 50? 7, over 1 en dan begint het dus weer overnieuw
Andersom kan ook; van kommagetal naar breuk. Bij een niet repeterende breuk is het makkelijk; 3,
152 = 3 152/1000 = 3 19/125
Bij een repeterende breuk, bijv 0,461538461538 moet je het getal vermenigvuldigen met zoveel x10
als het repetendum lang is, hier dus 1000000. Hier trek je de gezochte breuk vanaf: 999999
(=1000000 – 1) met uitkomst 461538. Dus breuk is 461538/999999 > 6/13
Een breuk kan zowel een absoluut getal (punt op de getallenlijn) als een operator (relatief) zijn. Bij
procenten is een percentage altijd een relatief gegeven en is dus altijd een operator. Percentages kun
je beter op een strook zetten dan op een getallenlijn om verwarring te voorkomen.
Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn (1/2 = 5/10 =
0,5 = 1 : 2 en komt overeen met 50%). Deze oefen je in, eerst nog modelondersteund (strook en
cirkelmodel) maar al snel op formeel niveau.
Wanneer je kinderen zelf dit soort sommen laat bedenken om weetjes in te oefenen, heet dit
productief oefenen; kinderen gebruiken meer kennis die ze al hebben, denken na over leerinhoud en
oefenen tegelijkertijd.
H2 Verhoudingen
2.1 Verhoudingen zijn overal
Evenredige verbanden
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of meetkundige
beschrijvingen. Evenredig: als het ene getal zoveel keer groter wordt, dan wordt het andere getal
evenzoveel groter; naar rato. Als je aantallen in verhouding wilt vergelijken dan kijk je naar de
, vergelijkbare eenheid of grootheid (maat of inhoud, gewicht, lengte). Zulke verhoudingen zijn;
hoeveelheid/prijs, gewicht/prijs, inhoud/prijs.
Andere verschijningsvormen van verhoudingen zijn bijvoorbeeld; sterkte van koffie of alcohol,
recepten, snelheid (samengestelde grootheid, samengesteld uit grootheid lengte met maateenheid
km en grootheid tijd met maateenheid uur; km/u), bevolkingsdichtheid. Een andere veel
voorkomende verhouding is schaal op landkaarten en plattegronden, maar ook bij schaalmodellen.
Bij schaalnotatie noteren we beide gevallen in dezelfde maateenheid (onafhankelijk welke).
Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding. Het totaal is op 100 gesteld. Dit maakt het
vergelijken makkelijker en helpt om informatie letterlijk maar ook figuurlijk in verhouding te zien.
Wanverhoudingen komen vaak voor in reclame, (politieke) cartoons en kunst om aandacht te
trekken.
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Kwantitatieve verhoudingen (1 : 6) uitgedrukt in een of meer getallen
Kwalitatieve verhoudingen (te lang voor zijn leeftijd) er komt geen getal aan te pas. (vaak
meetkundig verband)
Interne en externe verhoudingen
Interne verhouding: een verhouding betreft één grootheid of eenheid (1 op de 3 kinderen)
Externe verhouding: betreft twee verschillende grootheden (bijv. samengestelde grootheid snelheid)
Verhoudingsdelen en verdelingsdeling
Verhoudingsdelen: het gaat om de (interne) verhouding van het deel ten opzichte van het geheel. (12
snoepjes in 3 groepjes van 4)
Verdelingsdeling: Deeltal en deler representeren iets anders. (3 kinderen verdelen 12 snoepjes; elk
krijgt er 4 = externe verhouding)
Lineair verband
Verband tussen 2 grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft, gaat deze door de oorsprong (het
snijpunt van de verticale en de horizontale as) dan is het verband een evenredig verband ofwel een
verhouding.
Niet evenredige verbanden
Verhoudingsgewijs redeneren; als een element vergroot word, wordt een ander element evenzoveel
vergroot. Maar als het om oppervlakte en inhoud gaat, moet er niet 2 maar 4 keer vergroot worden
en met inhoud 8 keer zo groot.
Het woord ‘meer’ duidt op een addititieve betekenis en het woord ‘keer’ past in een multiplicatieve
context. Andersoortige (niet-evenredige verbanden) zijn ook; exponentiële, logaritmische, logistische
of wortelfuncties.
Omgekeerd evenredige verbanden (geen verhouding): verband snelheid en tijd > als je harder gaat
heb je minder tijd nodig.
Bijzondere verhoudingen
De gulden snede is een verhouding die sinds de 17e eeuw staat voor een schoonheidsideaal: de
mooiste verhouding die er bestaat. De verhoudingen van een rechthoek waarbij je een lijnstuk zo in
tweeën deelt dat de verhouding van het kleinste deel ten opzichte van het grootste deel dezelfde is
als de verhouding van het grootste deel tot het hele lijnstuk. Dit werd wel de ‘goddelijke verhouding’
genoemd. Bij een lijnstuk van 1 meter is de verdeling ongeveer 38,2 en 61,8. Een veelgebruikte
benadering is 0,618. Het precieze verhoudingsgetal heeft een oneindig aantal decimalen: phi Φ of de
omgekeerde phi = φ.
