Aantekeningen / samenvatting Toetsende Statistiek

Week 1: Steekproevenverdelingen en hypothesetoetsing
Gemiddelde oorlengte normaal konijn: 7 cm
Hypothese: H0 : μ = 7 en Ha : μ > 7 – keuze voor eenzijdig (links/rechts) of tweezijdig is afhankelijk
van onze kennis en verwachting
- Een uitspraak over parameters in de populatie
- Nulhypothese (H0): zegt ‘er is niets aan de hand’ in de populatie (geen verandering, geen
verschil, geen relatie)
- Alternatieve hypothese (Ha): zegt ‘er is iets aan de hand’ in de populatie (wat we denken/hopen
dat het geval is)

Steekproevenverdeling: een verdeling van een statistiek verkregen uit alle mogelijke steekproeven
van een bepaalde grootte (n) uit een populatie
- Bij de konijnen: de verdeling van de gemiddelde oorlengte van alle mogelijke steekproeven van 5
konijnen uit de gewone populatie
Steekproefverdeling: de verdeling van waarden binnen een steekproef
- Bij de konijnen: de verdeling van de oorlengte van de konijnen in mijn steekproef

P-waarde: de kans op deze of een extremere toetsstatistiek, als in werkelijkheid de nulhypothese
waar is
- De p-waarde laat de kracht van het bewijs tegen de nulhypothese zien
- Als de p-waarde erg laag is, is de data onwaarschijnlijk onder de nulhypothese, dus dan is de
nulhypothese waarschijnlijk onjuist
- We gebruikten bij de konijnen het gemiddelde, maar meestal gebruiken we een specifieke soort
toetsstatistiek
- Bijvoorbeeld: X2-statistiek, t-statistiek
- Het voordeel hiervan is dat we hun verdeling kunnen berekenen zonder al die steekproeven te
nemen van de populatie onder de nulhypothese. Dan weten we dus hun steekproevenverdeling

Hypothesetoets: een statistische methode om uit steekproefdata een uitspraak te doen over een
nulhypothese

Significantieniveau: α
Als de kans (p-waarde) kleiner is dan α verwerpen we H0
Dus, verwerp H0 als p  α
Deze α geeft ook een kritieke waarde en een verwerpingsgebied
Als de steekproefstatistiek in het verwerpingsgebied ligt, verwerpen we H 0
Dus verwerp H0 als x ≥ xα

In de praktijk
Onderzoekers zoeken een significantieniveau α (vaak 0.05)
Ze rapporteren zowel de p-waarde als de beslissing (verwerpen of niet) over de nulhypothese
Lagere p-waarden worden gezien als sterker bewijs

Type-I-fout (kans α): verwerp een nulhypothese die eigenlijk waar is
- We concluderen dat er een effect is, maar dat is er niet
Type-II-fout (kans ): een nulhypothese niet verwerpen, terwijl hij wel onjuist is
- We missen een effect dat er wel is

,Week 2: Basisconcepten van waarschijnlijkheid
Random variabele: een variabele met (numerieke) waardes verkregen door trekking of andere
random processen
- Een maken: hoeveel kinderen zou je graag willen krijgen?
 Proportie die het niet wil?
 Proportie die het wel wil?
 Proportie die 2/meer wil?
 Hoe ziet de verdeling eruit?
 Wat is de verwachte waarde (gemiddelde) in onze populatie?
μX =
0+0.05+0.81+0.47+0.22+0.08+0.09
= 1.71




De verwachte waarde is hoe vaak een getal voorkomt (als een proportie) maal het getal zelf, opgeteld
voor alle getallen




Steekproefgemiddelde: Verwachte waarde van X (discreet):




Wet van de grote aantallen: hoe groter een steekproef, hoe dichter het steekproefgemiddelde neigt te
liggen bij het populatiegemiddelde

Variantie: hoe vaak een getal voorkomt (als een proportie) maal het gekwadrateerde verschil met de
verwachte waarde, opgeteld voor alle getallen




Steekproefvariantie:

,Algebra: vermenigvuldiging met b
 Transformatie: Y = bX
 Bijvoorbeeld, van gram naar grein: Y = 15.43236X
 Nieuwe verwachte waarde: μY = bμX
 Nieuwe variantie: σ2Y = b2σ2X

Algebra: optellen van a
 Transformatie: Y = a + X
 Bijvoorbeeld: opmeten van lengte kinderen op een stoel: Y = 50 + X
 Nieuwe verwachte waarde: μY = a + μX
 Nieuwe variantie: σ2Y = σ2X

Algebra: lineaire transformaties
 Transformatie: Y = a + bX
 Bijvoorbeeld, omrekenen van celcius naar fahrenheit: F = 32 + 1.8c
 Nieuwe verwachte waarde: μY = a + bμX
 Nieuwe variantie: σ2Y = b2σ2X

Verwachte waarde en variantie voor de som van twee random variabelen
 Nieuwe verwachte waarde: μX +Y = μX + μY
 Nieuwe variantie: σ2X+Y = σ2x + σ2y + 2ρXY σX σY

Som van random variabelen




Vermenigvuldigingswet (algemeen):

, A en B afhankelijk - P (A en B) = P(A) x P(B|A)
A en B onafhankelijk – P (A en B) = P(A) x P(B)
De kans op beide gebeurtenissen tegelijkertijd is het product van de kans op de ene gebeurtenis, en
de kans op de andere gebeurtenis gegeven de eerste gebeurtenis

Wet van complementerende kansen:
P(A) = 1 – P(AC)

Marginale kans: wat is de kans om Nederlands te zijn – P(A)
Conditionele kans: wat is de kans om Nederlands te zijn, gegeven dat de student een partner heeft –
P(A|B)
Gezamenlijke kans: wat is de kans om Nederlands te zijn EN een partner te hebben – P (A en B)
Additieve wet : P (A of B) = P(A) + P(B) – P(A en B)
 Voor kansen voor disjuncte gebeurtenissen: wat is de kans om Nederlands te zijn OF een
partner te hebben – P (A of B) = P(A) + P(B)
Vermenigvuldigingswet: P(A en B) = P(A) x P(B|A)
 Voor kansen van onafhankelijke gebeurtenissen – wat is de kans om Nederlands te zijn EN
een partner te hebben – P (A en B) = P(A) x P(B)

Niet-disjuncte gebeurtenis: elkaar niet uitsluitende kansen




Twee random variabelen zijn onafhankelijk als
1. De conditionele kansen gelijk zijn voor alle condities
2. De conditionele kansen gelijk zijn aan de marginale kansen