ANÁLISIS TENSORIAL Y APLICACIONES
1. ALCANCE DEL ANÁLISIS TENSORIAL. INVARIANCIA:
El análisis tensorial se ocupa del estudio de objetos abstractos llamados: Tensores, cuyas propiedades
son independientes del sistema de referencia utilizado.
Un tensor puede ser representado mediante un conjunto de funciones, en un sistema de referencia
particular, y mediante otro conjunto de funciones, en otro sistema de referencia.
Esa caracterı́stica de la independencia de sus propiedades respecto a los sistemas de coordenadas ,
constituye una poderosa herramienta para el estudio de las leyes de la naturaleza.
Se dice que: ” Un objeto, cualquiera que sea su naturaleza, es un invariante, siempre que no sea
alterado por transformaciones de coordenadas ”
2. TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS:
Trataremos con transformaciones funcionales reversibles reales de un solo valor. Son de la forma:
T : yi = yi (x1 , x2 , . . . , xn ), (i = 1, 2, . . . , n)
T −1 : xi = xi (y1 , y2 , . . . , yn ), (i = 1, 2, . . . , n)
i
Donde, las funciones yi (x) y sus derivadas parciales ∂∂ xy j son continuas en alguna región R de la
variedad Vn .
i
Además, su Jacobiano: J ≡ ∂∂ xy j ̸= 0 , en todo punto de la región R , i.e. yi (x) ∈ C1
∂ xi
Luego, se sigue que xi (y) y sus dereivadas parciales ∂yj
también cumplen lo mismo, i.e. xi (y) ∈ C1
Si utilizamos la fórmula de Taylor:
∂ yi ′
yi
= aio + aij x j ; aij = j (P ), P′ ∈ R
∂x
Ya que P′ depende de la elección de sus coordenadas (x1 , x2 , . . . , xn ) , entonces la transformación será
localmente lineal.
Por otro lado, el jacobiano J no nulo asegura que el S.E.L. que surge del la expresión de Taylor, tenga
solución única.
Las transformaciones con las caracterı́sticas mencionadas, son llamadas TRANSFORMACIONES
ADMISIBLES.
EJEMPLO: La transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas
,3. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES ADMISIBLES DE
COORDENADAS:
Teorema 3.1: Sea T transformación admisible , con Jacobiano J y además, T −1 con Jacobiano K.
Se cumple que J.K = 1.
Proof:
T : yi = yi (x1 , x2 , . . . , xn ) T −1 : xi = xi (y1 , y2 , . . . , yn ) i = 1, 2, . . . , n
Ya que yi [x1 (y1 , . . . , yn ), . . . , xn (y1 , . . . , yn )] , es posible obtener:
∂ yi ∂ yi ∂ xα j ∂ yi ∂ xα ∂ yi ∂ xα
∂yj
= ∂ xα ∂ y j = δi . Luego: ∂ xα ∂ y j = ∂ xα ∂yj
= J.K pero: δ ji = 1
Se concluye que: J.K = 1 (FIN DE LA PRUEBA)
Consideremos ahora dos transformaciones:
T1 : yi = yi (x1 , x2 , . . . , xn )
T2 : zi = zi (y1 , y2 , . . . , yn )
El Producto de las transformaciones T1 y T2 es:
T3 = T2 T1
T3 : zi = zi [y1 (x1 , . . . , xn ), . . . , yn (x1 , . . . , xn )] = zi (y1 , y2 , . . . , yn )
También (por teorema 3.1) :
∂ zi ∂ yα ∂ zi ∂ yα
J3 = =
∂ yα ∂ x j ∂ yα ∂xj
Por lo que: J3 = J2 .J3
De esto, podemos establecer el siguiente teorema:
Teorema 3.2: El Jacobiano del producto de transformaciones admisibles es igual al producto de Ja-
cobianos de las transformaciones, i.e. J3 = J2 J1
Además, es fácil notar que:
a) Sea T1 y t2 son admisibles. Luego el producto: T3 = T2 T1 , es también una transformación admisible
(CLAUSURA)
b) Toda T admisible posee inversa T −1 también admisible (INVERSA)
c) T3 (T2 T1 ) = (T3 T2 )T1 (ASOCIATIVIDAD)
d) Existe una transformacion identidad xi = yi (NEUTRO)
Por lo que, enunciamos el siguiente teorema:
Teorema 3.3: El conjunto de todas las transfomaciones admisibibles y el producto de transformacio-
nes admisibles, forman un grupo
,4. TRANSFORMACIONES POR INVARIANCIA:
Sea F(P) una función continua, con P ∈ Vn . Sea X un sistema de coordenadas que cubre Vn . Cla-
ramente, F(P) depende tan solo de P pero no de X, entonces llamamos a F(P) función de punto
escalar o función escalar.
Sea:
T : xi = xi (y1 , y2 , . . . , yn ), i = 1, 2, . . . , n
Luego, en otro sistema Y la forma funcional de F(P) será:
f [x1 (y1 , . . . , yn ), . . . , xn (y1 , . . . , yn )] ≡ g(y1 , . . . , yn )
[F(P) puede representar la temperatura en alguna región del espacio. Luego f (x) es la represen-
tación de F(p) en un sistema coordenado X , mientras que g(y) lo es en otro sistema coordenado
Y]
Bajo esa misma lógica se puede representar F(P) en cualquier otro sistema de referencia:
Si conocemos su representación en algúns sistema de referencia, entonces será posible determinar la
representación en otro sistema de referencia tan sólo usando su ley de transformación T
A esta transformación de ”sustitución”se le llama TRANSFORMACIÓN POR INVARIANCIA:
G0 : f [x(y)] = g(y)
Podemos considera F(P) ”definida” por la totalidad de ’componenentes’ : f (x), g(y), h(z), , etc
las cuales se relacionan una con otra mediante alguna ley de transformación T
NOTA: Se considera (ocasionalmente): x = (x1 , x2 , . . . , xn ) . Lo mismo para otras variables.
Consideremos T1 , T2 , T3 transformaciones, con T3 = T2 T1 , tales que:
T1−1 : x = x(y) T2−1 : y = y(z) T3−1 : x = x[y(z)]
Podemos hallar la ’componente’ g(y) de F(P) :
G01 : g(y) = f [x(y)]
Ası́ mismo, la ’componente’ h(z) de F(P):
G02 : h(z) = g[y(z)]
Por otro lado, usando el producto T3 = T2 T1 , obtenemos:
G03 : h(z) = f [x[y(z)]]
Y es fácil notar que:
G03 = G02 G01
Representemos lo que hemos hecho mediante un diagrama:
y g(y)
T1 T2 G01 G02
x z f (x) h(z)
T3 = T2 T1 G03 = G02 G01
Podemos notar que existe una correspondencia entre transformaciones de coordenadas T y transfor-
maciones de funciones G0 ; luego se dice que los grupos de transformaciones T y G0 son Isomorficos.
También se dice que las transformaciones de coordenadas T inducen las transformaciones de fun-
ciones G0 .
El ISOMORFISMO entre T y G0 es una caracterı́stica importante de una clase de invariantes: Los
Tensores
, 5. TRANSFORMACIONES POR COVARIANCIA Y CONTRAVARIAN-
CIA:
Estudiaremos la ley de transformación de entidades determinadas por conjuntos de derivadas parcia-
les ∂ ∂f x(x)
i de la representación,en algún sistema coordenado X, de alguna función escalar F(P).
∂f ∂f
Sea: T1 : xi = xi (y1 , . . . , yn ) , f (x1 , . . . , xn ) y , , . . . , ∂∂xfn
∂ x1 ∂ x2
≡ { f xi }
¿Qué sucede con { fxi } cuando las coordenadas xi se transforman mediante T1 ?
Esta pregunta carece de significado a menos que se especifique, con precisión, lo que se debe hacer
con el conjunto fxi . Estas funciones no se ”convierten” en nada hasta que uno establece la ley a uti-
lizar para calcular las ”funciones correspondientes” en un sistema Y . En otras palabras, el contexto
”funciones correspondientes” es importante.
Por ejemplo, podemos calcular ”funciones correspondientes” mediante una transformación por inva-
riancia G01 (inducida por T1 , obteniendo:
g1 (y), g2 (y) . . . , gn (y) y = (y1 , y2 , . . . , yn )
PERO, si tenemos en mente la noción del gradiente de una función , entonces, las ”funciones corres-
pondientes” serı́an el conjunto de n derivadas parciales :
∂f ∂f ∂f
1
, 2 , . . . , n ≡ { fyi }
∂y ∂y ∂y
Que se pueden calcular mediante la derivación de composición de funciones (Regla de la cadena):
∂f ∂ f ∂ xα
= i, α = 1, 2, . . . , n
∂ yi ∂ xα ∂ yi
De forma análoga, si se tiene otra transformación T2 : xi = xi (z1 , z2 , . . . , zn ) :
∂f ∂ f ∂ xα
= i, α = 1, 2, . . . , n
∂ zi ∂ xα ∂ zi
Bajo esta misma lógica, podemos decir que los conjuntos { fxi }, { fyi }, { fzi }, . . . representan ”lo
mismo”(el gradiente de un función f ) en distintos sistemas coordenados.
Generalizando las ideas, consideremos un conjunto de funciones representado en dos sistemas X
e Y : {Ai (x)} y {Bi (y)} con i = 1, 2, . . . , n. Si estos conjuntos están relacionados mediante la LA
LEY DE COVARIANCIA:
∂ xα
G1 : Bi (y) = Aα (x)
∂ yi
Además, se dice que {Ai (x)} y {Bi (y)} representan las componentes de un vector covariante en X e
Y , respectivamente.
Ese vector covariante es, en sı́ mismo, la totalidad de conjuntos de cantidades (conjuntos) relacio-
nados entre sı́ mediante la ley de covariancia G1
Por otro lado, considerando un conjunto de n diferenciales : dx1 , dx2 , . . . , dxn (podrı́an representar,
por ejemplo, desplazamientos) y además una transformación: T : xi = xi (y1 , y2 , . . . , yn ) Encontremos
la representación en un sistema Y :
∂ yi
dyi = α dxα
∂x
Podemos notar que esta transformación es distinta a la transformación por covariancia G1 . La trans-
formación de los diferencias de arriba, es de otro tipo.
1. ALCANCE DEL ANÁLISIS TENSORIAL. INVARIANCIA:
El análisis tensorial se ocupa del estudio de objetos abstractos llamados: Tensores, cuyas propiedades
son independientes del sistema de referencia utilizado.
Un tensor puede ser representado mediante un conjunto de funciones, en un sistema de referencia
particular, y mediante otro conjunto de funciones, en otro sistema de referencia.
Esa caracterı́stica de la independencia de sus propiedades respecto a los sistemas de coordenadas ,
constituye una poderosa herramienta para el estudio de las leyes de la naturaleza.
Se dice que: ” Un objeto, cualquiera que sea su naturaleza, es un invariante, siempre que no sea
alterado por transformaciones de coordenadas ”
2. TRANSFORMACIONES DE COORDENADAS:
Trataremos con transformaciones funcionales reversibles reales de un solo valor. Son de la forma:
T : yi = yi (x1 , x2 , . . . , xn ), (i = 1, 2, . . . , n)
T −1 : xi = xi (y1 , y2 , . . . , yn ), (i = 1, 2, . . . , n)
i
Donde, las funciones yi (x) y sus derivadas parciales ∂∂ xy j son continuas en alguna región R de la
variedad Vn .
i
Además, su Jacobiano: J ≡ ∂∂ xy j ̸= 0 , en todo punto de la región R , i.e. yi (x) ∈ C1
∂ xi
Luego, se sigue que xi (y) y sus dereivadas parciales ∂yj
también cumplen lo mismo, i.e. xi (y) ∈ C1
Si utilizamos la fórmula de Taylor:
∂ yi ′
yi
= aio + aij x j ; aij = j (P ), P′ ∈ R
∂x
Ya que P′ depende de la elección de sus coordenadas (x1 , x2 , . . . , xn ) , entonces la transformación será
localmente lineal.
Por otro lado, el jacobiano J no nulo asegura que el S.E.L. que surge del la expresión de Taylor, tenga
solución única.
Las transformaciones con las caracterı́sticas mencionadas, son llamadas TRANSFORMACIONES
ADMISIBLES.
EJEMPLO: La transformación de coordenadas cartesianas a coordenadas esféricas
,3. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES ADMISIBLES DE
COORDENADAS:
Teorema 3.1: Sea T transformación admisible , con Jacobiano J y además, T −1 con Jacobiano K.
Se cumple que J.K = 1.
Proof:
T : yi = yi (x1 , x2 , . . . , xn ) T −1 : xi = xi (y1 , y2 , . . . , yn ) i = 1, 2, . . . , n
Ya que yi [x1 (y1 , . . . , yn ), . . . , xn (y1 , . . . , yn )] , es posible obtener:
∂ yi ∂ yi ∂ xα j ∂ yi ∂ xα ∂ yi ∂ xα
∂yj
= ∂ xα ∂ y j = δi . Luego: ∂ xα ∂ y j = ∂ xα ∂yj
= J.K pero: δ ji = 1
Se concluye que: J.K = 1 (FIN DE LA PRUEBA)
Consideremos ahora dos transformaciones:
T1 : yi = yi (x1 , x2 , . . . , xn )
T2 : zi = zi (y1 , y2 , . . . , yn )
El Producto de las transformaciones T1 y T2 es:
T3 = T2 T1
T3 : zi = zi [y1 (x1 , . . . , xn ), . . . , yn (x1 , . . . , xn )] = zi (y1 , y2 , . . . , yn )
También (por teorema 3.1) :
∂ zi ∂ yα ∂ zi ∂ yα
J3 = =
∂ yα ∂ x j ∂ yα ∂xj
Por lo que: J3 = J2 .J3
De esto, podemos establecer el siguiente teorema:
Teorema 3.2: El Jacobiano del producto de transformaciones admisibles es igual al producto de Ja-
cobianos de las transformaciones, i.e. J3 = J2 J1
Además, es fácil notar que:
a) Sea T1 y t2 son admisibles. Luego el producto: T3 = T2 T1 , es también una transformación admisible
(CLAUSURA)
b) Toda T admisible posee inversa T −1 también admisible (INVERSA)
c) T3 (T2 T1 ) = (T3 T2 )T1 (ASOCIATIVIDAD)
d) Existe una transformacion identidad xi = yi (NEUTRO)
Por lo que, enunciamos el siguiente teorema:
Teorema 3.3: El conjunto de todas las transfomaciones admisibibles y el producto de transformacio-
nes admisibles, forman un grupo
,4. TRANSFORMACIONES POR INVARIANCIA:
Sea F(P) una función continua, con P ∈ Vn . Sea X un sistema de coordenadas que cubre Vn . Cla-
ramente, F(P) depende tan solo de P pero no de X, entonces llamamos a F(P) función de punto
escalar o función escalar.
Sea:
T : xi = xi (y1 , y2 , . . . , yn ), i = 1, 2, . . . , n
Luego, en otro sistema Y la forma funcional de F(P) será:
f [x1 (y1 , . . . , yn ), . . . , xn (y1 , . . . , yn )] ≡ g(y1 , . . . , yn )
[F(P) puede representar la temperatura en alguna región del espacio. Luego f (x) es la represen-
tación de F(p) en un sistema coordenado X , mientras que g(y) lo es en otro sistema coordenado
Y]
Bajo esa misma lógica se puede representar F(P) en cualquier otro sistema de referencia:
Si conocemos su representación en algúns sistema de referencia, entonces será posible determinar la
representación en otro sistema de referencia tan sólo usando su ley de transformación T
A esta transformación de ”sustitución”se le llama TRANSFORMACIÓN POR INVARIANCIA:
G0 : f [x(y)] = g(y)
Podemos considera F(P) ”definida” por la totalidad de ’componenentes’ : f (x), g(y), h(z), , etc
las cuales se relacionan una con otra mediante alguna ley de transformación T
NOTA: Se considera (ocasionalmente): x = (x1 , x2 , . . . , xn ) . Lo mismo para otras variables.
Consideremos T1 , T2 , T3 transformaciones, con T3 = T2 T1 , tales que:
T1−1 : x = x(y) T2−1 : y = y(z) T3−1 : x = x[y(z)]
Podemos hallar la ’componente’ g(y) de F(P) :
G01 : g(y) = f [x(y)]
Ası́ mismo, la ’componente’ h(z) de F(P):
G02 : h(z) = g[y(z)]
Por otro lado, usando el producto T3 = T2 T1 , obtenemos:
G03 : h(z) = f [x[y(z)]]
Y es fácil notar que:
G03 = G02 G01
Representemos lo que hemos hecho mediante un diagrama:
y g(y)
T1 T2 G01 G02
x z f (x) h(z)
T3 = T2 T1 G03 = G02 G01
Podemos notar que existe una correspondencia entre transformaciones de coordenadas T y transfor-
maciones de funciones G0 ; luego se dice que los grupos de transformaciones T y G0 son Isomorficos.
También se dice que las transformaciones de coordenadas T inducen las transformaciones de fun-
ciones G0 .
El ISOMORFISMO entre T y G0 es una caracterı́stica importante de una clase de invariantes: Los
Tensores
, 5. TRANSFORMACIONES POR COVARIANCIA Y CONTRAVARIAN-
CIA:
Estudiaremos la ley de transformación de entidades determinadas por conjuntos de derivadas parcia-
les ∂ ∂f x(x)
i de la representación,en algún sistema coordenado X, de alguna función escalar F(P).
∂f ∂f
Sea: T1 : xi = xi (y1 , . . . , yn ) , f (x1 , . . . , xn ) y , , . . . , ∂∂xfn
∂ x1 ∂ x2
≡ { f xi }
¿Qué sucede con { fxi } cuando las coordenadas xi se transforman mediante T1 ?
Esta pregunta carece de significado a menos que se especifique, con precisión, lo que se debe hacer
con el conjunto fxi . Estas funciones no se ”convierten” en nada hasta que uno establece la ley a uti-
lizar para calcular las ”funciones correspondientes” en un sistema Y . En otras palabras, el contexto
”funciones correspondientes” es importante.
Por ejemplo, podemos calcular ”funciones correspondientes” mediante una transformación por inva-
riancia G01 (inducida por T1 , obteniendo:
g1 (y), g2 (y) . . . , gn (y) y = (y1 , y2 , . . . , yn )
PERO, si tenemos en mente la noción del gradiente de una función , entonces, las ”funciones corres-
pondientes” serı́an el conjunto de n derivadas parciales :
∂f ∂f ∂f
1
, 2 , . . . , n ≡ { fyi }
∂y ∂y ∂y
Que se pueden calcular mediante la derivación de composición de funciones (Regla de la cadena):
∂f ∂ f ∂ xα
= i, α = 1, 2, . . . , n
∂ yi ∂ xα ∂ yi
De forma análoga, si se tiene otra transformación T2 : xi = xi (z1 , z2 , . . . , zn ) :
∂f ∂ f ∂ xα
= i, α = 1, 2, . . . , n
∂ zi ∂ xα ∂ zi
Bajo esta misma lógica, podemos decir que los conjuntos { fxi }, { fyi }, { fzi }, . . . representan ”lo
mismo”(el gradiente de un función f ) en distintos sistemas coordenados.
Generalizando las ideas, consideremos un conjunto de funciones representado en dos sistemas X
e Y : {Ai (x)} y {Bi (y)} con i = 1, 2, . . . , n. Si estos conjuntos están relacionados mediante la LA
LEY DE COVARIANCIA:
∂ xα
G1 : Bi (y) = Aα (x)
∂ yi
Además, se dice que {Ai (x)} y {Bi (y)} representan las componentes de un vector covariante en X e
Y , respectivamente.
Ese vector covariante es, en sı́ mismo, la totalidad de conjuntos de cantidades (conjuntos) relacio-
nados entre sı́ mediante la ley de covariancia G1
Por otro lado, considerando un conjunto de n diferenciales : dx1 , dx2 , . . . , dxn (podrı́an representar,
por ejemplo, desplazamientos) y además una transformación: T : xi = xi (y1 , y2 , . . . , yn ) Encontremos
la representación en un sistema Y :
∂ yi
dyi = α dxα
∂x
Podemos notar que esta transformación es distinta a la transformación por covariancia G1 . La trans-
formación de los diferencias de arriba, es de otro tipo.
