Statistiek HC5 – Samenhang tussen variabelen: interval/ ratio
Interpretatie samenhang: causale modellen
Spreidingsdiagram
Samenhang tussen variabelen van interval of rationiveau wordt vaak grafisch weergegeven in
een spreidingsdiagram (puntenwolk)
Als er sprake is van een onafhankelijke variabele en een afhankelijke variabele, wordt de
onafhankelijke variabele langs de x-as gezet en de afhankelijke variabele langs de y-as
Samenhangsmaat gezocht
• Ook nu is er behoefte aan een samenhangsmaat
• In grote lijnen zijn de wensen ten aanzien van de maat vergelijkbaar met die van de eerder
behandelde maten voor ordinale samenhang:
- De maximale waarde is gelijk aan 1 en de minimale aan -1;
het zal blijken dat de precieze betekenis daarvan iets afwijkt van die
bij de maten voor ordinale samenhang
- Positieve waarden wijzen op een stijgend verband en negatieve op
een dalend verband
• Statisticus Pearson bedacht maat
Stijgend verband
• Vooral punten in kwadrant 1 en 3, en daar geldt: ( x - ͞x ) ( y - ͞y ) > 0
Dalend verband
• Vooral punten in kwadrant 2 en 4, en daar geldt: ( x - ͞x ) ( y - ͞y ) < 0
Idee samenhangsmaat
Kijk naar de volgende term:
1 n
– Σ ( xi - ͞x ) ( yi - ͞y ) , de covariantie
n i=1
Eigenschappen covariantie
• Bij een stijgend verband (vooral punten in kwadrant 1 en 3) worden vooral positieve getallen
opgeteld, dus is de covariantie dan positief
• Bij een dalend verband (vooral punten in kwadrant 2 en 4) worden vooral negatieve getallen
opgeteld, dus is de covariantie dan negatief
• Wel één nadeel: de covariantie heeft geen vaste maximale waarde
Productmoment correlatiecoëfficiënt van Pearson (r)
• Deel de covariantie door de maximale waarde; zo ontstaat een maat met maximale waarde 1
en ook met minimale waarde -1
• Deze maat is bedacht door de statisticus Pearson, en wordt de productmoment
correlatiecoëfficiënt genoemd
• Positieve waarden wijzen op een stijgend verband, en negatieve waarden op een dalend
verband
• De maximale waarde is gelijk aan 1 en wijst op een zo sterk mogelijk stijgend verband; wat
dat precies betekent komt later nog ter sprake
• De minimale waarde is gelijk aan -1 en wijst op een zo sterk mogelijk dalend verband
Gebruikte maateenheid heeft geen invloed op samenhangsmaat
• Bij interval- en ratiovariabelen worden de waarden uitgedrukt in een maateenheid,
bijvoorbeeld in kilometers of in Euro’s
• Stel dat de samenhang berekend wordt tussen ‘de afstand van de woning van mensen naar een
voorziening’ en ‘de mate waarin de mensen die voorziening bezoeken’
• Je kunt die afstanden meten in kilometers, maar ook in meters
, • Voor samenhangsmaten bij interval- en ratiovariabelen maakt dat niets uit. De uitkomst van
de samenhangsmaat hangt niet af van de keuze voor meters of kilometers; er komt altijd
hetzelfde uit
• Dat geldt voor de productmoment correlatiecoëfficiënt, maar ook voor de andere
samenhangsmaten die je zou kunnen berekenen, bijvoorbeeld de rangcorrelatie coëfficiënt
van Spearman
Pearson versus Spearman
• De productmoment correlatiecoëfficiënt wordt bij samenhang tussen interval en/of ratio
variabelen verreweg het meest gebruikt
• Soms wordt als alternatief de rangcorrelatiecoëfficiënt van Spearman gebruikt
Voordelen van de maat van Pearson t.o.v. die van Spearman
• De maat van Pearson wordt berekend op de precieze waarden van de variabelen; de maat van
Spearman gebruikt slechts de rangnummers
• De maat van Pearson heeft allerlei extra betekenissen; zie hoorcollege 6
Nadelen van de maat van Pearson t.o.v. die van Spearman
• De maat van Pearson bereikt alleen de uiterste waarden 1 en -1 als het verband perfect
rechtlijnig (lineair) is; de maat van Spearman bereikt die extreme waarden bij elk perfect
stijgend dan wel dalend verband
• De maat van Pearson is gevoelig voor rare uitschieters; de maat van Spearman heeft daar geen
last van
Generaliseren van steekproef naar populatie op basis van de maat van Pearson werkt net zo als bij
ordinale samenhang
• De nulhypothese is altijd: er is in de populatie geen samenhang
• Als er van te voren geen idee is wat voor samenhang er in de populatie zal bestaan, is de
alternatieve hypothese ‘er is wel samenhang’ en wordt er tweezijdig getoetst
• Als er van te voren wordt gedacht dat er in de populatie positieve samenhang is, is de
alternatieve hypothese natuurlijk ‘er is positieve samenhang’, en wordt er rechtseenzijdig
getoetst
• Als er van te voren wordt gedacht dat er in de populatie negatieve samenhang is, is de
alternatieve hypothese natuurlijk ‘er is negatieve samenhang’, en wordt er linkseenzijdig
getoetst
• Het toetsen verloopt weer via overschrijdingskansen, berekend door SPSS. Let goed op of de
eenzijdige of tweezijdige overschrijdingskans berekend wordt
• Wordt de nulhypothese van ‘geen samenhang’ verworpen, dan wordt gesproken over
significante samenhang
Wat we nu weten
• Via kruistabellen de vorm van de samenhang vaststellen
• Via samenhangsmaten nagaan hoe sterk de samenhang is, en bij minimaal ordinale
variabelen wat de richting van de samenhang is
Wat we nog moeten leren
• Als er samenhang tussen twee variabelen bestaat, is het nog niet meteen duidelijk wat de
oorzaak van die samenhang is
- Het kan zijn dat de ene variabele invloed uitoefent op de andere
- Maar wellicht speelt een derde variabele een rol bij de samenhang; die wordt
dan een interveniërende variabele genoemd
• Het doel is nu te begrijpen hoe de samenhang tot stand komt; wat is het achterliggende
mechanisme, welk causaal model hoort erbij
• Alleen als je het achterliggende mechanisme kent, kun je resultaten van onderzoek zinvol
gebruiken om beleid op te baseren
• Om dat achterliggende mechanisme te achterhalen heb je statistische kennis nodig, maar
natuurlijk ook vakinhoudelijke
Behandeling van deze mechanismen/modellen
Interpretatie samenhang: causale modellen
Spreidingsdiagram
Samenhang tussen variabelen van interval of rationiveau wordt vaak grafisch weergegeven in
een spreidingsdiagram (puntenwolk)
Als er sprake is van een onafhankelijke variabele en een afhankelijke variabele, wordt de
onafhankelijke variabele langs de x-as gezet en de afhankelijke variabele langs de y-as
Samenhangsmaat gezocht
• Ook nu is er behoefte aan een samenhangsmaat
• In grote lijnen zijn de wensen ten aanzien van de maat vergelijkbaar met die van de eerder
behandelde maten voor ordinale samenhang:
- De maximale waarde is gelijk aan 1 en de minimale aan -1;
het zal blijken dat de precieze betekenis daarvan iets afwijkt van die
bij de maten voor ordinale samenhang
- Positieve waarden wijzen op een stijgend verband en negatieve op
een dalend verband
• Statisticus Pearson bedacht maat
Stijgend verband
• Vooral punten in kwadrant 1 en 3, en daar geldt: ( x - ͞x ) ( y - ͞y ) > 0
Dalend verband
• Vooral punten in kwadrant 2 en 4, en daar geldt: ( x - ͞x ) ( y - ͞y ) < 0
Idee samenhangsmaat
Kijk naar de volgende term:
1 n
– Σ ( xi - ͞x ) ( yi - ͞y ) , de covariantie
n i=1
Eigenschappen covariantie
• Bij een stijgend verband (vooral punten in kwadrant 1 en 3) worden vooral positieve getallen
opgeteld, dus is de covariantie dan positief
• Bij een dalend verband (vooral punten in kwadrant 2 en 4) worden vooral negatieve getallen
opgeteld, dus is de covariantie dan negatief
• Wel één nadeel: de covariantie heeft geen vaste maximale waarde
Productmoment correlatiecoëfficiënt van Pearson (r)
• Deel de covariantie door de maximale waarde; zo ontstaat een maat met maximale waarde 1
en ook met minimale waarde -1
• Deze maat is bedacht door de statisticus Pearson, en wordt de productmoment
correlatiecoëfficiënt genoemd
• Positieve waarden wijzen op een stijgend verband, en negatieve waarden op een dalend
verband
• De maximale waarde is gelijk aan 1 en wijst op een zo sterk mogelijk stijgend verband; wat
dat precies betekent komt later nog ter sprake
• De minimale waarde is gelijk aan -1 en wijst op een zo sterk mogelijk dalend verband
Gebruikte maateenheid heeft geen invloed op samenhangsmaat
• Bij interval- en ratiovariabelen worden de waarden uitgedrukt in een maateenheid,
bijvoorbeeld in kilometers of in Euro’s
• Stel dat de samenhang berekend wordt tussen ‘de afstand van de woning van mensen naar een
voorziening’ en ‘de mate waarin de mensen die voorziening bezoeken’
• Je kunt die afstanden meten in kilometers, maar ook in meters
, • Voor samenhangsmaten bij interval- en ratiovariabelen maakt dat niets uit. De uitkomst van
de samenhangsmaat hangt niet af van de keuze voor meters of kilometers; er komt altijd
hetzelfde uit
• Dat geldt voor de productmoment correlatiecoëfficiënt, maar ook voor de andere
samenhangsmaten die je zou kunnen berekenen, bijvoorbeeld de rangcorrelatie coëfficiënt
van Spearman
Pearson versus Spearman
• De productmoment correlatiecoëfficiënt wordt bij samenhang tussen interval en/of ratio
variabelen verreweg het meest gebruikt
• Soms wordt als alternatief de rangcorrelatiecoëfficiënt van Spearman gebruikt
Voordelen van de maat van Pearson t.o.v. die van Spearman
• De maat van Pearson wordt berekend op de precieze waarden van de variabelen; de maat van
Spearman gebruikt slechts de rangnummers
• De maat van Pearson heeft allerlei extra betekenissen; zie hoorcollege 6
Nadelen van de maat van Pearson t.o.v. die van Spearman
• De maat van Pearson bereikt alleen de uiterste waarden 1 en -1 als het verband perfect
rechtlijnig (lineair) is; de maat van Spearman bereikt die extreme waarden bij elk perfect
stijgend dan wel dalend verband
• De maat van Pearson is gevoelig voor rare uitschieters; de maat van Spearman heeft daar geen
last van
Generaliseren van steekproef naar populatie op basis van de maat van Pearson werkt net zo als bij
ordinale samenhang
• De nulhypothese is altijd: er is in de populatie geen samenhang
• Als er van te voren geen idee is wat voor samenhang er in de populatie zal bestaan, is de
alternatieve hypothese ‘er is wel samenhang’ en wordt er tweezijdig getoetst
• Als er van te voren wordt gedacht dat er in de populatie positieve samenhang is, is de
alternatieve hypothese natuurlijk ‘er is positieve samenhang’, en wordt er rechtseenzijdig
getoetst
• Als er van te voren wordt gedacht dat er in de populatie negatieve samenhang is, is de
alternatieve hypothese natuurlijk ‘er is negatieve samenhang’, en wordt er linkseenzijdig
getoetst
• Het toetsen verloopt weer via overschrijdingskansen, berekend door SPSS. Let goed op of de
eenzijdige of tweezijdige overschrijdingskans berekend wordt
• Wordt de nulhypothese van ‘geen samenhang’ verworpen, dan wordt gesproken over
significante samenhang
Wat we nu weten
• Via kruistabellen de vorm van de samenhang vaststellen
• Via samenhangsmaten nagaan hoe sterk de samenhang is, en bij minimaal ordinale
variabelen wat de richting van de samenhang is
Wat we nog moeten leren
• Als er samenhang tussen twee variabelen bestaat, is het nog niet meteen duidelijk wat de
oorzaak van die samenhang is
- Het kan zijn dat de ene variabele invloed uitoefent op de andere
- Maar wellicht speelt een derde variabele een rol bij de samenhang; die wordt
dan een interveniërende variabele genoemd
• Het doel is nu te begrijpen hoe de samenhang tot stand komt; wat is het achterliggende
mechanisme, welk causaal model hoort erbij
• Alleen als je het achterliggende mechanisme kent, kun je resultaten van onderzoek zinvol
gebruiken om beleid op te baseren
• Om dat achterliggende mechanisme te achterhalen heb je statistische kennis nodig, maar
natuurlijk ook vakinhoudelijke
Behandeling van deze mechanismen/modellen
