MODULO TEORICO- PRÁCTICO MATEMATICA 4TO AÑO Prof: VILLALONGA, Julieta
Unidad #3: Algebra y Funciones- Función Cuadrática
Contenidos:
Ecuación de 2do grado: Definición y forma General
Tipos: Completa e Incompleta.
Discriminante y cantidad de soluciones.
Métodos de resolución
Modelización de la Función Cuadrática
Función Cuadrática: PUNTOS NOTABLES
Tipos de func Cuadrática: Polinomica- Factoreada- Canónica.
Resolución Analítica y Grafica usando puntos notables
Análisis de la gráfica
Sistema de ecuación mixto: Resolución Analítica y Grafica.
Ecuación de 2do grado: Definición y forma General
Una ecuación de SEGUNDO GRADO o ECUACIÓN CUADRÁTICA es una ecuación polinómica de grado 2.
Todas las ecuaciones cuadráticas pueden escribirse de la siguiente forma (llamada forma general): 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Las letras a, b y c son los coeficientes de los monomios y representan a números cualesquiera, pero siendo siempre a≠0.
El coeficiente a se denomina coeficiente principal o cuadrático, b es el coeficiente lineal y c se denomina término independiente.
La letra x es la incógnita de la ecuación y representa al número (o números) desconocido que hace que la igualdad sea verdadera.
DATO! El grado 2 de la ecuación indica la cantidad máxima de soluciones reales (R).
Que quiere decir esto? …que podría tener 2 soluciones reales (iguales o distintas) o ninguna solución real, en tal caso serían 2 soluciones
pertenecientes al campo numérico de los COMPLEJOS (C) o también llamados IMAGINARIOS, este caso será tratado en profundidad en 6to año.
Resolver la ecuación consiste en encontrar la solución de la ecuación, Mas adelante veremos los métodos usados.
Tipos: Completa e Incompleta.
Las ecuaciones cuadráticas se clasifican en dos tipos según sus coeficientes a, b y c en completas e incompletas.
La ecuación es COMPLETA La ecuación es Incompleta
Cuando tiene los tres coeficientes a, b y c. Cuando uno o los dos coeficientes b y c son 0. Por tanto, tenemos tres subtipos:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 Si b=0 y c=0, la ecuación tiene la forma:
Ejemplos:
𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 Ej: −𝟑𝒙𝟐 = 𝟎
𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 𝒂=𝟏 𝒃=𝟏 𝒄=𝟏
Si c=0, la ecuación tiene la forma
𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑 = 𝟎 𝒂=𝟐 𝒃 = −𝟏 𝒄=𝟑 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 Ej: 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 = 𝟎
Si b=0, la ecuación tiene la forma
−𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑 = 𝟎 𝒂 = −𝟏 𝒃=𝟓 𝒄 = −𝟑
𝟏
𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 Ej: 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟕 = 𝟎
ATENCION!
En algunos casos la forma puede aparecer desordenada o con términos para unificar, en tal caso se unificara y se ordenara llevándola a la forma
general ya sea completa o incompleta.
Ej 1: 3𝑥 + 4 − 𝑥 2 = 0 Entonces: −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒 = 𝟎
Ej 2: −𝟕 = −𝟓𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 Entonces: −𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟕 = 𝟎
Ej 3: 𝟒𝒙 − 𝟓 − 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙𝟐 − 𝟏 Entonces: Igualo a cero y unifico términos semejantes
4𝑥 − 5 − 𝑥 − 𝑥 2 + 8𝑥 2 + 1 = 0 Luego: 7𝑥 2 + 3𝑥 − 4 = 0
Fijación 1:
1) Determinar cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado. Justificar
3x + 4 − 𝑥 2 = 0…………………………. 𝑥 3 − 𝑥 2 + 1 = 0……………………………….. 𝑥 2 + 2 = 0………………………………..
X + 3x – 2 = 0 …………………………. 𝑥 2 + 2x − 𝑥 2 + x = 0 …………………………. 3𝑥 3 + 𝑥 2 = 3𝑥 3 −1………………………….
2) Determinar los coeficientes 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 de las siguientes ecuaciones cuadráticas. Recordar que 𝑎 es el coeficiente del monomio de grado 2, b el
del monomio de grado 1 y c el del monomio de grado 0.
3+4x – 𝑥 2 =0 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 2x –𝑥 2 = 0 𝑎= 𝑏= 𝑐= 9𝑥 2 + 2 = 0 𝑎= 𝑏= 𝑐=
3)Escribir las siguientes ecuaciones cuadráticas en su forma general:
a) X + 5 − 𝑋 2 = 2x b) x(x−1) = 2(x−1) c) (𝑥 − 1)2 = 0
4) Determinar si las siguientes ecuaciones de segundo grado en su forma general son completas o incompletas en tal caso indicar termino faltante
𝑥 2 − 2x+1= 0.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
𝑥 2 − 1= 0----------------------------------------------------------------.----------------------------------------------
3𝑥 2 −2x = 0---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5) Comprobar que x1 y x2 son soluciones de las ecuaciones cuadráticas siguientes.
Recordar que para comprobar que x1 y x2 son soluciones, tenemos que sustituirlas en la ecuación y ver si ésta se cumple:
𝑥 2 −2x−3 = 0 3𝑥 2 +6x−9= 0 3𝑥 2 −6x= 0
x1=−1, x2=3 x1=−3, x2=1 x1=0, x2=2
, Discriminante y cantidad de soluciones.
El discriminante de una ecuación de segundo grado se denota por la letra griega delta mayúscula Δ, y es un número que se calcula con los
coeficientes de la ecuación: Δ=𝑏2 −4⋅a⋅c
Para calcular el discriminante, la ecuación tiene que estar en su forma general y no hay que olvidar los signos de los coeficientes.
El discriminante de la ecuación siempre se puede calcular y es importante porque su signo nos informa del número de soluciones de la ecuación:
Si Δ es positivo (Δ>0), la ecuación tiene dos soluciones REALES distintas.
Si Δ es nulo (Δ=0), la ecuación tiene una única solución REAL, en realidad son dos pero ambas dan el mismo número R.
Si Δ es negativo (Δ<0), la ecuación no tiene soluciones reales, tiene dos soluciones COMPLEJAS O IMAGINARIAS, que como lo
aclaramos anteriormente, las trataremos en 6to año.
Ejemplo:
Calculamos el discriminante de la siguiente ecuación cuadrática completa: 3𝑥 2 −2x−1=0
Los coeficientes de la ecuación son a=3, b=−2 y c=−1. Los sustituimos en la fórmula del discriminante:
Δ= 𝑏2 −4⋅a⋅c
Δ =(−2)2−4⋅3⋅(−1) No olvidéis escribir los coeficientes negativos entre paréntesis.
Δ=16 Entonces 16 es mayor que cero por lo que la ecuación tendrá dos soluciones R distintas
Fijación 2:
Calcular el discriminante de las siguientes ecuaciones cuadráticas y determinar su número de soluciones:
a) 3+4x−𝑥 2 =0 b) 9𝑥 2 +2=0 c) 2𝑥 2 −4x+2=0 d) 6𝑥 2 −2x=0
Métodos de resolución
Los métodos de resolución utilizados son más de uno y dependerán del tipo de la ecuación, como ya hemos visto una situación puede
resolverse con más de un método o modo pero en este módulo trataremos y trabajaremos específicamente los siguientes:
Para las ecuaciones del tipo INCOMPLETA
Tipo 1: Si b=0 y c=0, la ecuación tiene la forma 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 Método: DESPEJE
Tipo 2: Si c=0, la ecuación tiene la forma 𝟐
𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 = 𝟎 Método: FACTOREO
Tipo 3: Si b=0, la ecuación tiene la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 Método: DESPEJE/MODULO
Tipo 1: 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 Tipo 2: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 Tipo 3: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎
Resuelve: 2𝒙𝟐=0 Resuelve−x: 𝒙𝟐=0 Resuelve: 𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 = 𝟎
2
𝑥 = 0 : 2 pasa 𝑥 2 = 25 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥
2 dividiendo x⋅(x−1)=0 sacamos factor
𝑥 2 = 0 Las soluciones de la común x, recuerdo que producto es √𝑥 2 = √25 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧 2 𝑎
ecuación son los números igual a 0 si alguno de sus factores vale 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 2
cuyo cuadrado es 0. El único 0, es decir,
número que cumple esto es el |𝑥| = 5
0. x=0 O bien ( x−1) =0 𝐷𝑖𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 𝑒𝑠 5
Por tanto, la ecuación tiene 𝑥1 = 0 y x−1 =0
una Entonces: 𝑥1 = −5 𝑦 𝑥2 = 5
𝑥2 = 0 +1
OBSERVAR ESTE OTRO EJEMPLO
única solución: 𝑥1,2= 0 𝑥2 = 1 −5𝑋 2 − 25 = 0
25
𝑋2 =
−5
𝑋 2 = −5
√𝑋 2 = √−5 En este punto ya podemos afirmar
Observar: ∆< 0 ∄ solc R, si Solc. COMPLEJAS
Las trataremos en 6to
Fijación 3:
a) Observar e indicar término faltante y método de resolución conveniente.
b)Resuelve las ecuaciones usando el método indicado en inciso a)
𝑋2 𝑋 𝑋2 1
I) 2𝑋 2 − 5x = 0 II) 3
= 2
III) 3𝑋 2 + 48 = 0 IV) 9
=3
Para las ecuaciones del tipo COMPLETA
Recordemos la forma general de una ecuación cuadrática completa: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒 𝒂 𝒄
Las soluciones vienen dadas por la siguiente fórmula: 𝒙𝟏,𝟐 = 𝟐𝒂
Formula de BASKARA lleva el nombre del matemático indu que la
descubrió, comúnmente se la llama FORMULA RESOLVENTE
Observar que la formula contiene la forma del DISCRIMINANTE Δ=𝒃𝟐 −4⋅a⋅c, entonces acá también podemos anticipar el tipo de solución que
vendrá en la ecuación
Si Δ es negativo, no hay soluciones (reales).
Si Δ=0, hay una única solución (y es real).
Si Δ es positivo, hay dos soluciones distintas (y son reales).
Unidad #3: Algebra y Funciones- Función Cuadrática
Contenidos:
Ecuación de 2do grado: Definición y forma General
Tipos: Completa e Incompleta.
Discriminante y cantidad de soluciones.
Métodos de resolución
Modelización de la Función Cuadrática
Función Cuadrática: PUNTOS NOTABLES
Tipos de func Cuadrática: Polinomica- Factoreada- Canónica.
Resolución Analítica y Grafica usando puntos notables
Análisis de la gráfica
Sistema de ecuación mixto: Resolución Analítica y Grafica.
Ecuación de 2do grado: Definición y forma General
Una ecuación de SEGUNDO GRADO o ECUACIÓN CUADRÁTICA es una ecuación polinómica de grado 2.
Todas las ecuaciones cuadráticas pueden escribirse de la siguiente forma (llamada forma general): 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Las letras a, b y c son los coeficientes de los monomios y representan a números cualesquiera, pero siendo siempre a≠0.
El coeficiente a se denomina coeficiente principal o cuadrático, b es el coeficiente lineal y c se denomina término independiente.
La letra x es la incógnita de la ecuación y representa al número (o números) desconocido que hace que la igualdad sea verdadera.
DATO! El grado 2 de la ecuación indica la cantidad máxima de soluciones reales (R).
Que quiere decir esto? …que podría tener 2 soluciones reales (iguales o distintas) o ninguna solución real, en tal caso serían 2 soluciones
pertenecientes al campo numérico de los COMPLEJOS (C) o también llamados IMAGINARIOS, este caso será tratado en profundidad en 6to año.
Resolver la ecuación consiste en encontrar la solución de la ecuación, Mas adelante veremos los métodos usados.
Tipos: Completa e Incompleta.
Las ecuaciones cuadráticas se clasifican en dos tipos según sus coeficientes a, b y c en completas e incompletas.
La ecuación es COMPLETA La ecuación es Incompleta
Cuando tiene los tres coeficientes a, b y c. Cuando uno o los dos coeficientes b y c son 0. Por tanto, tenemos tres subtipos:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 Si b=0 y c=0, la ecuación tiene la forma:
Ejemplos:
𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 Ej: −𝟑𝒙𝟐 = 𝟎
𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 = 𝟎 𝒂=𝟏 𝒃=𝟏 𝒄=𝟏
Si c=0, la ecuación tiene la forma
𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟑 = 𝟎 𝒂=𝟐 𝒃 = −𝟏 𝒄=𝟑 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 Ej: 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 = 𝟎
Si b=0, la ecuación tiene la forma
−𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑 = 𝟎 𝒂 = −𝟏 𝒃=𝟓 𝒄 = −𝟑
𝟏
𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 Ej: 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟕 = 𝟎
ATENCION!
En algunos casos la forma puede aparecer desordenada o con términos para unificar, en tal caso se unificara y se ordenara llevándola a la forma
general ya sea completa o incompleta.
Ej 1: 3𝑥 + 4 − 𝑥 2 = 0 Entonces: −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟒 = 𝟎
Ej 2: −𝟕 = −𝟓𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 Entonces: −𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟕 = 𝟎
Ej 3: 𝟒𝒙 − 𝟓 − 𝒙 = 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙𝟐 − 𝟏 Entonces: Igualo a cero y unifico términos semejantes
4𝑥 − 5 − 𝑥 − 𝑥 2 + 8𝑥 2 + 1 = 0 Luego: 7𝑥 2 + 3𝑥 − 4 = 0
Fijación 1:
1) Determinar cuáles de las siguientes ecuaciones son de segundo grado. Justificar
3x + 4 − 𝑥 2 = 0…………………………. 𝑥 3 − 𝑥 2 + 1 = 0……………………………….. 𝑥 2 + 2 = 0………………………………..
X + 3x – 2 = 0 …………………………. 𝑥 2 + 2x − 𝑥 2 + x = 0 …………………………. 3𝑥 3 + 𝑥 2 = 3𝑥 3 −1………………………….
2) Determinar los coeficientes 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 de las siguientes ecuaciones cuadráticas. Recordar que 𝑎 es el coeficiente del monomio de grado 2, b el
del monomio de grado 1 y c el del monomio de grado 0.
3+4x – 𝑥 2 =0 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 2x –𝑥 2 = 0 𝑎= 𝑏= 𝑐= 9𝑥 2 + 2 = 0 𝑎= 𝑏= 𝑐=
3)Escribir las siguientes ecuaciones cuadráticas en su forma general:
a) X + 5 − 𝑋 2 = 2x b) x(x−1) = 2(x−1) c) (𝑥 − 1)2 = 0
4) Determinar si las siguientes ecuaciones de segundo grado en su forma general son completas o incompletas en tal caso indicar termino faltante
𝑥 2 − 2x+1= 0.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
𝑥 2 − 1= 0----------------------------------------------------------------.----------------------------------------------
3𝑥 2 −2x = 0---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5) Comprobar que x1 y x2 son soluciones de las ecuaciones cuadráticas siguientes.
Recordar que para comprobar que x1 y x2 son soluciones, tenemos que sustituirlas en la ecuación y ver si ésta se cumple:
𝑥 2 −2x−3 = 0 3𝑥 2 +6x−9= 0 3𝑥 2 −6x= 0
x1=−1, x2=3 x1=−3, x2=1 x1=0, x2=2
, Discriminante y cantidad de soluciones.
El discriminante de una ecuación de segundo grado se denota por la letra griega delta mayúscula Δ, y es un número que se calcula con los
coeficientes de la ecuación: Δ=𝑏2 −4⋅a⋅c
Para calcular el discriminante, la ecuación tiene que estar en su forma general y no hay que olvidar los signos de los coeficientes.
El discriminante de la ecuación siempre se puede calcular y es importante porque su signo nos informa del número de soluciones de la ecuación:
Si Δ es positivo (Δ>0), la ecuación tiene dos soluciones REALES distintas.
Si Δ es nulo (Δ=0), la ecuación tiene una única solución REAL, en realidad son dos pero ambas dan el mismo número R.
Si Δ es negativo (Δ<0), la ecuación no tiene soluciones reales, tiene dos soluciones COMPLEJAS O IMAGINARIAS, que como lo
aclaramos anteriormente, las trataremos en 6to año.
Ejemplo:
Calculamos el discriminante de la siguiente ecuación cuadrática completa: 3𝑥 2 −2x−1=0
Los coeficientes de la ecuación son a=3, b=−2 y c=−1. Los sustituimos en la fórmula del discriminante:
Δ= 𝑏2 −4⋅a⋅c
Δ =(−2)2−4⋅3⋅(−1) No olvidéis escribir los coeficientes negativos entre paréntesis.
Δ=16 Entonces 16 es mayor que cero por lo que la ecuación tendrá dos soluciones R distintas
Fijación 2:
Calcular el discriminante de las siguientes ecuaciones cuadráticas y determinar su número de soluciones:
a) 3+4x−𝑥 2 =0 b) 9𝑥 2 +2=0 c) 2𝑥 2 −4x+2=0 d) 6𝑥 2 −2x=0
Métodos de resolución
Los métodos de resolución utilizados son más de uno y dependerán del tipo de la ecuación, como ya hemos visto una situación puede
resolverse con más de un método o modo pero en este módulo trataremos y trabajaremos específicamente los siguientes:
Para las ecuaciones del tipo INCOMPLETA
Tipo 1: Si b=0 y c=0, la ecuación tiene la forma 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 Método: DESPEJE
Tipo 2: Si c=0, la ecuación tiene la forma 𝟐
𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 = 𝟎 Método: FACTOREO
Tipo 3: Si b=0, la ecuación tiene la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 Método: DESPEJE/MODULO
Tipo 1: 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 Tipo 2: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 Tipo 3: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎
Resuelve: 2𝒙𝟐=0 Resuelve−x: 𝒙𝟐=0 Resuelve: 𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 = 𝟎
2
𝑥 = 0 : 2 pasa 𝑥 2 = 25 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥
2 dividiendo x⋅(x−1)=0 sacamos factor
𝑥 2 = 0 Las soluciones de la común x, recuerdo que producto es √𝑥 2 = √25 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑟𝑎𝑖𝑧 2 𝑎
ecuación son los números igual a 0 si alguno de sus factores vale 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 2
cuyo cuadrado es 0. El único 0, es decir,
número que cumple esto es el |𝑥| = 5
0. x=0 O bien ( x−1) =0 𝐷𝑖𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 𝑒𝑠 5
Por tanto, la ecuación tiene 𝑥1 = 0 y x−1 =0
una Entonces: 𝑥1 = −5 𝑦 𝑥2 = 5
𝑥2 = 0 +1
OBSERVAR ESTE OTRO EJEMPLO
única solución: 𝑥1,2= 0 𝑥2 = 1 −5𝑋 2 − 25 = 0
25
𝑋2 =
−5
𝑋 2 = −5
√𝑋 2 = √−5 En este punto ya podemos afirmar
Observar: ∆< 0 ∄ solc R, si Solc. COMPLEJAS
Las trataremos en 6to
Fijación 3:
a) Observar e indicar término faltante y método de resolución conveniente.
b)Resuelve las ecuaciones usando el método indicado en inciso a)
𝑋2 𝑋 𝑋2 1
I) 2𝑋 2 − 5x = 0 II) 3
= 2
III) 3𝑋 2 + 48 = 0 IV) 9
=3
Para las ecuaciones del tipo COMPLETA
Recordemos la forma general de una ecuación cuadrática completa: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒 𝒂 𝒄
Las soluciones vienen dadas por la siguiente fórmula: 𝒙𝟏,𝟐 = 𝟐𝒂
Formula de BASKARA lleva el nombre del matemático indu que la
descubrió, comúnmente se la llama FORMULA RESOLVENTE
Observar que la formula contiene la forma del DISCRIMINANTE Δ=𝒃𝟐 −4⋅a⋅c, entonces acá también podemos anticipar el tipo de solución que
vendrá en la ecuación
Si Δ es negativo, no hay soluciones (reales).
Si Δ=0, hay una única solución (y es real).
Si Δ es positivo, hay dos soluciones distintas (y son reales).
