Sumario Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Notas de Ecuaciones Diferenciales


1. Separación de variables
1) Despejar y ′
2) Veri
car es separable
3) Separar variables
4) Integrar
dy
= f (x)g(y)
dx
Ejemplos:
dy ln(y) = 4ln(x) + c1
1) x = 4y
dx ln(y) = ln(x)4 + c1
xdy = 4ydx 4
R dy R dx y = eln(x) +c1
4
= y = eln(x) ec1
4y x
1 y = x4 c
ln(y) = ln(x) + c1
4
dy 2
2) = e3x+2y −e−2y = e3x + 2c
dx 3
dy R dy −2y 2 3x
= − e − 2c
R 3x
= e3x e2y −→ = e dx e
Rdx −2y R 3x e2y 3
dye = e dx 2
ln(− e3x − 2c)
1 −2y 1 3x y=− 3
− e = e +c 2
2 3
−2y e3x
−e = 2[ + c]
3

2. Factor integrante
dy
+ P (x)y = Q(x)
dx
R
P (x)dx
I(x) = e
Ejemplos:




1

, 1) dy + (3x2 y − x2 )dx = 0
3 3
d[ex y] R= ex x2
3 3
dy dy ex y = ex x2 dx
+ 3x2 y − x2 = 0 −→ + 3x2 y = x2
dx dx 3 1 3
R R 2
eR p(x)dx −→ e 3x dx −→ ex
3 ex y = ex + c
3
3 −3
3x2 dx = x3 ex c 1 c cex
3 dy
y = x3 + x3 = + x3 =
ex
3 3
+ ex 3x2 y = ex x2 3e e 3 e 3
dx
2) x2 y ′ + xy = 1 1
d[xy] =
dy 1 1 dy x
+ y = 2 −→ + x−1 y = x−2 R 1
dx x x dx xy = dx
x
R R −1
e p(x)dx −→ e x dx −→ eln(x) = x
R −1 R dx xy = ln(x) + c
x dx = −→ ln(x) ln(x) c
x y= +
dy 1 1 dy 1 x x
x + x( y) = 2 x −→ x + y =
dx x x dx x

3. Ecuaciones exactas
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0
∂M ∂N
1) Veri
car =
∂y ∂x
2) Entonces ∃f (x, y)|
∂f
= M (x, y) ...(a)
∂x
Encontrar f integrando (a) f (x, y) = M (x, y)dx + g(y) ...(b)
R
∂f
3) Diferenciamos (b) con respecto a y y consideramos = N (x, y)
∂y
Z
∂f ∂
= = [ M (x, y)dx + g(y)] = N (x, y)
∂y ∂y
Z
∂ dg(y)
−→ [ M (x, y)dx] + = N (x, y)
∂y dy
Z
dg ∂
−→ = N (x, y) − [ M (x, y)dx]
dy ∂y
....(c)
4) Integramos (c) y sustituimos en (b)
5) La solución la encontramos de forma ímplicita en f(x,y)=c

Ejemplos:

1) (y 2 cosx − 3x2 y − 2x)dx + (2ysenx − x3 + lny)dy = 0 y(0) = e




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