Samenvatting verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Hoofdstuk 1: samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel, een percentage geeft de
verhouding aan tussen een deel en geheel dat op honderd is gesteld. Absolute gegevens
zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden verwijzen (er zitten 536 studenten op de
pabo). Relatieve gegevens over hoeveelheden zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet
direct het daadwerkelijke aantal kunt aflezen (1 op 4 pabo studenten is een man).
Bij het strookmodel staan absolute (aantallen) en relatieve (percentage) gegevens. Om te
voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is het verstandig om de
getallen benoemd te noteren.
Kinderen leren de betekenis van bewerkingen met verhoudingen te doorzien:
- 1/5 x 10 betekent 1/5 deel nemen van 10;
- 20% ergens van is hetzelfde als 1/5 deel daarvan nemen;
- 1/5 is gelijk aan 1 gedeeld door 5.
Breuken en kommagetallen komen met elkaar overeen dat het allebei gebroken getallen zijn.
De notatie verschilt: kommagetallen lijken juist op hele getallen en niet op breuken.
Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en breuken allemaal rationele getallen
met verschillende notatiewijzen.
Qua verschijningsvormen in de realiteit is de opvallendste overeenkomst dat je zowel
breuken als kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. Breuken komen vaker voor als deel
van een geheel van een hoeveelheid; kommagetallen bijna nooit. (pagina 19).
Een manier om inzichtelijk er mee om te gaan, is het gebruik van verschillende ondermaten
die de kinderen zelf kunne beredeneren. De breuk 1/7 heet een repeterende breuk en die
sliert 142857 heet het repetendum (pagina 20, van kommagetal naar breuk).
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een breuk als absoluut getal
kun je weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een heel getal. Een operator doet
iets met een getal, hoeveelheid of prijs. Als een heel konijnenvoer 1 kilogram weegt, geeft
3/5 aan wat er met 1 gebeurt, delen door 5 en het resultaat met 3 vermenigvuldigen.
Een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is altijd een operator. 20/100 en 1/5
zijn absolute getallen en 20% is een operator.
Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn.
Hoofdstuk 2: verhoudingen
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of
meetkundige beschrijvingen. Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel
keer zo groot (of klein) wordt, het andere getal ook zoveel keer groot wordt.
Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte, gewicht en inhoud.
Verschijningsvormen als snelheid en dichtheid zijn samengestelde grootheden. Ook schaal
is een verhouding. Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op
, honderd gesteld. Bij niet-gestandaardiseerde verhoudingen kan het totaal van alles zijn,
zoals bij 2 op de 7 of 1 op de 2 miljoen. Ze zijn lastig te vergelijken dan procenten.
Wanverhoudingen worden gebruikt om informatie over te brengen of om de aandacht te
trekken. Je komt dit tegen in reclame, cartoons of kunst.
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Verhoudingen worden aangegeven met getallen: 1 op de 6 is klein terwijl 1 op de 3 groot is
in Afrika en Azië ondervloed is en deze kaart heeft een schaal van 1: 80.000. Dit zijn
kwantitatieve verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen. We
spreken van kwalitatieve verhoudingen als er geen getal aan de pas komt. Ze worden
uitgedrukt in woorden: de schoenendoos is naar verhouding te groot, of een kind is te lang
voor zijn leeftijd. Het is een meetkundig verband.
Interne en externe verhoudingen
Een verhouding kan betrekking hebben op grootheden, maar ook op andere zaken waar een
getal aan kan worden toegekend. Bijvoorbeeld: het aantal mannelijke en het totale aantal
pabo studenten bij de verhouding ‘1 op de 4 pabo studenten is een jongen’. Het gaat hier om
de eenheid pabo student. Als een verhouding op één grootheid of eenheid betreft, spreek je
van een interne verhouding.
Een externe verhouding betreft twee verschillende grootheden. Voorbeelden hiervan zijn
afgelegde afstand in een bepaalde tijd en prijs per gewicht.
Verhoudingsdeling en verdelingsdeling
Bij een verhoudingsdeling kun je denken aan het volgende: er zijn 12 snoepjes. Hoeveel
groepjes van 4 kan ik maken? Bij de verhoudingsdeling representeren deeltal en deler
hetzelfde: 12 (snoepjes) : 4 (snoepjes). De uitkomst is hier 3 groepjes. Het gaat dus om de
(interne) verhouding van het deel ten opzichte van het geheel.
Een verdelingsdeling is bijvoorbeeld: 3 kinderen verdelen 12 snoepjes. Hoeveel snoepjes
krijgt ieder kind. Bij de verdelingsdeler representeren deeltal en deler elk iets anders: 12
snoepjes : 3 kinderen.
Lineair verband
Een lineair verband is een verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn
heeft. Gaat die grafiek door de oorsprong (het snijpunt van de verticale en de horizontale as),
dan is het verband een evenredig verband ofwel een verhouding.
Als iets twee keer zo groot wordt, betekent dat de lengte verdubbelt, maar de oppervlakte
wordt dus vier keer zo groot. De inhoud wordt in drie richtingen verdubbeld (lengte, breedte
en hoogte) en wordt dus acht keer zo groot (pagina 33 en 34). Het woord meer duidt op een
additieve betekenis en het woord keer past in een multiplicatieve context past.
Hoofdstuk 1: samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
Een breuk geeft de verhouding aan tussen een deel en een geheel, een percentage geeft de
verhouding aan tussen een deel en geheel dat op honderd is gesteld. Absolute gegevens
zijn getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden verwijzen (er zitten 536 studenten op de
pabo). Relatieve gegevens over hoeveelheden zijn verhoudingsmatige gegevens waar je niet
direct het daadwerkelijke aantal kunt aflezen (1 op 4 pabo studenten is een man).
Bij het strookmodel staan absolute (aantallen) en relatieve (percentage) gegevens. Om te
voorkomen dat kinderen getallen en percentages door elkaar halen, is het verstandig om de
getallen benoemd te noteren.
Kinderen leren de betekenis van bewerkingen met verhoudingen te doorzien:
- 1/5 x 10 betekent 1/5 deel nemen van 10;
- 20% ergens van is hetzelfde als 1/5 deel daarvan nemen;
- 1/5 is gelijk aan 1 gedeeld door 5.
Breuken en kommagetallen komen met elkaar overeen dat het allebei gebroken getallen zijn.
De notatie verschilt: kommagetallen lijken juist op hele getallen en niet op breuken.
Wiskundig gezien zijn hele getallen, kommagetallen en breuken allemaal rationele getallen
met verschillende notatiewijzen.
Qua verschijningsvormen in de realiteit is de opvallendste overeenkomst dat je zowel
breuken als kommagetallen tegenkomt als meetgetallen. Breuken komen vaker voor als deel
van een geheel van een hoeveelheid; kommagetallen bijna nooit. (pagina 19).
Een manier om inzichtelijk er mee om te gaan, is het gebruik van verschillende ondermaten
die de kinderen zelf kunne beredeneren. De breuk 1/7 heet een repeterende breuk en die
sliert 142857 heet het repetendum (pagina 20, van kommagetal naar breuk).
Een breuk kan zowel een absoluut getal als een operator zijn. Een breuk als absoluut getal
kun je weergeven als een punt op de getallenlijn, net als een heel getal. Een operator doet
iets met een getal, hoeveelheid of prijs. Als een heel konijnenvoer 1 kilogram weegt, geeft
3/5 aan wat er met 1 gebeurt, delen door 5 en het resultaat met 3 vermenigvuldigen.
Een percentage geeft altijd een relatief gegeven aan en is altijd een operator. 20/100 en 1/5
zijn absolute getallen en 20% is een operator.
Allerlei relaties moeten uiteindelijk in de vorm van declaratieve kennis beschikbaar zijn.
Hoofdstuk 2: verhoudingen
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige of
meetkundige beschrijvingen. Een evenredig verband betekent dat als het ene getal zoveel
keer zo groot (of klein) wordt, het andere getal ook zoveel keer groot wordt.
Veel verhoudingen hebben betrekking op grootheden, zoals lengte, gewicht en inhoud.
Verschijningsvormen als snelheid en dichtheid zijn samengestelde grootheden. Ook schaal
is een verhouding. Een percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op
, honderd gesteld. Bij niet-gestandaardiseerde verhoudingen kan het totaal van alles zijn,
zoals bij 2 op de 7 of 1 op de 2 miljoen. Ze zijn lastig te vergelijken dan procenten.
Wanverhoudingen worden gebruikt om informatie over te brengen of om de aandacht te
trekken. Je komt dit tegen in reclame, cartoons of kunst.
Kwalitatieve en kwantitatieve verhoudingen
Verhoudingen worden aangegeven met getallen: 1 op de 6 is klein terwijl 1 op de 3 groot is
in Afrika en Azië ondervloed is en deze kaart heeft een schaal van 1: 80.000. Dit zijn
kwantitatieve verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen. We
spreken van kwalitatieve verhoudingen als er geen getal aan de pas komt. Ze worden
uitgedrukt in woorden: de schoenendoos is naar verhouding te groot, of een kind is te lang
voor zijn leeftijd. Het is een meetkundig verband.
Interne en externe verhoudingen
Een verhouding kan betrekking hebben op grootheden, maar ook op andere zaken waar een
getal aan kan worden toegekend. Bijvoorbeeld: het aantal mannelijke en het totale aantal
pabo studenten bij de verhouding ‘1 op de 4 pabo studenten is een jongen’. Het gaat hier om
de eenheid pabo student. Als een verhouding op één grootheid of eenheid betreft, spreek je
van een interne verhouding.
Een externe verhouding betreft twee verschillende grootheden. Voorbeelden hiervan zijn
afgelegde afstand in een bepaalde tijd en prijs per gewicht.
Verhoudingsdeling en verdelingsdeling
Bij een verhoudingsdeling kun je denken aan het volgende: er zijn 12 snoepjes. Hoeveel
groepjes van 4 kan ik maken? Bij de verhoudingsdeling representeren deeltal en deler
hetzelfde: 12 (snoepjes) : 4 (snoepjes). De uitkomst is hier 3 groepjes. Het gaat dus om de
(interne) verhouding van het deel ten opzichte van het geheel.
Een verdelingsdeling is bijvoorbeeld: 3 kinderen verdelen 12 snoepjes. Hoeveel snoepjes
krijgt ieder kind. Bij de verdelingsdeler representeren deeltal en deler elk iets anders: 12
snoepjes : 3 kinderen.
Lineair verband
Een lineair verband is een verband tussen twee grootheden dat als grafiek een rechte lijn
heeft. Gaat die grafiek door de oorsprong (het snijpunt van de verticale en de horizontale as),
dan is het verband een evenredig verband ofwel een verhouding.
Als iets twee keer zo groot wordt, betekent dat de lengte verdubbelt, maar de oppervlakte
wordt dus vier keer zo groot. De inhoud wordt in drie richtingen verdubbeld (lengte, breedte
en hoogte) en wordt dus acht keer zo groot (pagina 33 en 34). Het woord meer duidt op een
additieve betekenis en het woord keer past in een multiplicatieve context past.
