GEOMETRIJA V RAVNINI
Ukvarjali se bomo le z evklidsko geometrijo v ravnini, najprej pa bomo spoznali osnove geometrije.
1. Osnove geometrije
Osnovni pojmi geometrije so trije, in sicer: točka, premica in ravnina. Hkrati so tudi te trije pojmi
geometrijski elementi.
Evklid jih je definiral v delu Elementi, približno tako:
- točka je tisto, kar nima delov.
- črta je dolžina brez širine.
- ploskev je tisto, kar ima dolžino in širino.
Pri tem je potrebno omeniti tudi to, da v geometriji obstajajo za objasnitev nekaterih pojmov tri stvari:
aksiom, izrek in definicija. Pri vsakem pojmu je potek objasnitve enak, in sicer gre na takšen način:
- najprej sledi pojem, ki mu dodamo nek aksiom (temeljna resnica); to je trditev, ki jo ne dokazujemo,
temveč je prevzamemo kot veljavno hipotezo (npr. Zemlja kroži okrog Sonca)
- nato sledijo izreki, ki jih dokazujemo z aksiomi in že dokazanimi izreki (npr. Pitagorov izrek je dokazljiv
preko Evklidovega)
- na koncu pa sledijo definicije, ki so opisi novih pojmov in določenih lastnosti. Definicije lahko obstajajo
le, če vsi predhodni dokazi za nek pojem res držijo (npr. kaj je krožnica).
2. Geometrijski elementi
Osnovni geometrijski elementi so: točka, premica in ravnina. Pri tem velja omeniti tudi ostale geometrijske
elemente, vendar se bomo posvetili vsem po malo:
a) TOČKA
Za točko v resnici ne obstaja prave definicije razen Evklidove. Lahko pa rečemo, da je točka nekaj, kar nima
razsežnosti. Točke se vedno označuje z velikimi tiskanimi črkami. (primer: A, B in C)
Poznamo več vrst točk, in sicer:
kolinearne- točke, ki ležijo na isti premici (ploščina je v tem primeru enaka 0)
nekolinearne- točke, ki ne ležijo na isti premici
komplanarne- točke, ki ležijo na isti ravnini
nekomplanarne- točke, ki ležijo na isti ravnini
b) DALJICA
Daljica AB ali zveznica točk A in B je množica vseh točk na premici skozi A in B (vključno s točkama A in B).
V tem primeru sta točki A in B krajišči daljice. Za daljico lahko rečemo tudi, da je na obeh straneh omejena/
sklenjena ravna črta. Daljice se označuje z malimi pisanimi črkami.
c) POLTRAK
Poltrak je v tem primeru na eni strani omejena ravna črta, na drugi strani pa je neomejena. Točka, ki
poltrak omejuje z ene strani imenujemo izhodišče. Ena točka lahko premico razdeli na dva poltraka.
Premica , na kateri leži daljica oz. poltrak, je nosilka daljice oz. poltraka.
d) PREMICA
,Premica je na obeh straneh neomejena ravna črta. Za premico obstaja veliko aksiomov in lastnosti:
- aksiom 1: Skozi dve točki lahko poteka natanko in zgolj ena premica.Iz tega lahko dobimo definicijo, in
sicer kaj so kolinearne točke- to so točke, ki ležijo na isti premici.
- aksiom 2: čez eno točko lahko neskončno mnogo premic
- aksiom 3: če imata ravnina in premica več kot 1 skupno točko, potem premica v celoti leži na ravnini
- aksiom 4: skozi tri poljubne nekolinearne točke poteka 1 ravnina; takim točkam rečemo, da so
komplanarne
aksiom kaj pravi ta aksiom? vizualni dokaz aksioma
Skozi dve točki lahko poteka natanko in
zgolj ena premica.
1
Čez eno točko lahko neskončno mnogo
premic
2
Če imata ravnina in premica več kot 1
skupno točko, potem premica v celoti
3
leži na ravnini
Skozi tri poljubne nekolinearne točke
poteka 1 ravnina
4
- Medsebojni odnosi premic in njihove lastnosti:
Dve različni premici imata seboj dve skupne lastnosti: imata lahko eno skupno točko ali pa nobene.
1 Če imata skupno eno samo točko, pravimo, da se sekata in tvorita šop premic. Skupno točko
imenujemo presečišče.
2 Če nimata nobene skupne točke, sta vzporedni in tvorita snop premic. Vsaka premica pa je lahko
tudi vzporedna sama sebi z vzporednim premikom. Skozi poljubno točko v ravnini lahko narišemo
zgolj eno vzporednico k dani premici.
premici se sekata in tvorita šop premic premici sta vzporedni in tvorita snop premic
e) RAVNINA
Ravnina je del ploskve, ki jo določa:
, kaj lahko določa ravnino vizualna podoba ravnina za ta primer
Ravnino lahko enolično določajo 3 točke, ki so
nekolinearne.
Ravnino lahko enolično določita točka in premica.
Ravnino lahko enolično določita 2 sekajoči premici.
Ravnino lahko enolično določita 2 vzporedni
premici.
f) KOTI IN VRSTE KOTOV
Definicija: Dva poltraka s skupnim izhodiščem določata natanko dva kota. Poltraka pri tem ne ležita na isti
premici tako, da je en kot konveksen, drugi pa konkaven.
V tem primeru V predstavlja vrh obeh krakov, ki sta
označena s črko r. Kot φ v tem primeru predstavlja
notranji kot, ki skupaj z zunanjim kotom tvorita 180°.
Črka l predstavlja lok, ki ga naredi nek posamezen kot.
Iz tega loka lahko trikotniku naredimo včrtan krog.
V nadaljevanju bomo spoznali vrste kotov, ki so
prisotni v geometriji.
Osnovna enota za kot je stopinja ali tudi radiana.
Vrste kotov, definicije in vizualna podoba vseh vrst kotov:
Vrsta/ime kota Velikost definicija kota vizualna podoba kota
kot, kjer se kraka prekrivata
med seboj
NIČELNI 0°
kot, kjer se kraka prekrivata
med seboj
POLNI 360°
(polni kot je večji)
kot, kjer se kraka
dopolnjujeta v premico
IZTEGNJENI 180°
kot, pri čemer se kraka ne
dopolnjujeta v premico in
OSTRI pod 90° in
sta usmerjena v isto
nad 0°
orientacijo
Ukvarjali se bomo le z evklidsko geometrijo v ravnini, najprej pa bomo spoznali osnove geometrije.
1. Osnove geometrije
Osnovni pojmi geometrije so trije, in sicer: točka, premica in ravnina. Hkrati so tudi te trije pojmi
geometrijski elementi.
Evklid jih je definiral v delu Elementi, približno tako:
- točka je tisto, kar nima delov.
- črta je dolžina brez širine.
- ploskev je tisto, kar ima dolžino in širino.
Pri tem je potrebno omeniti tudi to, da v geometriji obstajajo za objasnitev nekaterih pojmov tri stvari:
aksiom, izrek in definicija. Pri vsakem pojmu je potek objasnitve enak, in sicer gre na takšen način:
- najprej sledi pojem, ki mu dodamo nek aksiom (temeljna resnica); to je trditev, ki jo ne dokazujemo,
temveč je prevzamemo kot veljavno hipotezo (npr. Zemlja kroži okrog Sonca)
- nato sledijo izreki, ki jih dokazujemo z aksiomi in že dokazanimi izreki (npr. Pitagorov izrek je dokazljiv
preko Evklidovega)
- na koncu pa sledijo definicije, ki so opisi novih pojmov in določenih lastnosti. Definicije lahko obstajajo
le, če vsi predhodni dokazi za nek pojem res držijo (npr. kaj je krožnica).
2. Geometrijski elementi
Osnovni geometrijski elementi so: točka, premica in ravnina. Pri tem velja omeniti tudi ostale geometrijske
elemente, vendar se bomo posvetili vsem po malo:
a) TOČKA
Za točko v resnici ne obstaja prave definicije razen Evklidove. Lahko pa rečemo, da je točka nekaj, kar nima
razsežnosti. Točke se vedno označuje z velikimi tiskanimi črkami. (primer: A, B in C)
Poznamo več vrst točk, in sicer:
kolinearne- točke, ki ležijo na isti premici (ploščina je v tem primeru enaka 0)
nekolinearne- točke, ki ne ležijo na isti premici
komplanarne- točke, ki ležijo na isti ravnini
nekomplanarne- točke, ki ležijo na isti ravnini
b) DALJICA
Daljica AB ali zveznica točk A in B je množica vseh točk na premici skozi A in B (vključno s točkama A in B).
V tem primeru sta točki A in B krajišči daljice. Za daljico lahko rečemo tudi, da je na obeh straneh omejena/
sklenjena ravna črta. Daljice se označuje z malimi pisanimi črkami.
c) POLTRAK
Poltrak je v tem primeru na eni strani omejena ravna črta, na drugi strani pa je neomejena. Točka, ki
poltrak omejuje z ene strani imenujemo izhodišče. Ena točka lahko premico razdeli na dva poltraka.
Premica , na kateri leži daljica oz. poltrak, je nosilka daljice oz. poltraka.
d) PREMICA
,Premica je na obeh straneh neomejena ravna črta. Za premico obstaja veliko aksiomov in lastnosti:
- aksiom 1: Skozi dve točki lahko poteka natanko in zgolj ena premica.Iz tega lahko dobimo definicijo, in
sicer kaj so kolinearne točke- to so točke, ki ležijo na isti premici.
- aksiom 2: čez eno točko lahko neskončno mnogo premic
- aksiom 3: če imata ravnina in premica več kot 1 skupno točko, potem premica v celoti leži na ravnini
- aksiom 4: skozi tri poljubne nekolinearne točke poteka 1 ravnina; takim točkam rečemo, da so
komplanarne
aksiom kaj pravi ta aksiom? vizualni dokaz aksioma
Skozi dve točki lahko poteka natanko in
zgolj ena premica.
1
Čez eno točko lahko neskončno mnogo
premic
2
Če imata ravnina in premica več kot 1
skupno točko, potem premica v celoti
3
leži na ravnini
Skozi tri poljubne nekolinearne točke
poteka 1 ravnina
4
- Medsebojni odnosi premic in njihove lastnosti:
Dve različni premici imata seboj dve skupne lastnosti: imata lahko eno skupno točko ali pa nobene.
1 Če imata skupno eno samo točko, pravimo, da se sekata in tvorita šop premic. Skupno točko
imenujemo presečišče.
2 Če nimata nobene skupne točke, sta vzporedni in tvorita snop premic. Vsaka premica pa je lahko
tudi vzporedna sama sebi z vzporednim premikom. Skozi poljubno točko v ravnini lahko narišemo
zgolj eno vzporednico k dani premici.
premici se sekata in tvorita šop premic premici sta vzporedni in tvorita snop premic
e) RAVNINA
Ravnina je del ploskve, ki jo določa:
, kaj lahko določa ravnino vizualna podoba ravnina za ta primer
Ravnino lahko enolično določajo 3 točke, ki so
nekolinearne.
Ravnino lahko enolično določita točka in premica.
Ravnino lahko enolično določita 2 sekajoči premici.
Ravnino lahko enolično določita 2 vzporedni
premici.
f) KOTI IN VRSTE KOTOV
Definicija: Dva poltraka s skupnim izhodiščem določata natanko dva kota. Poltraka pri tem ne ležita na isti
premici tako, da je en kot konveksen, drugi pa konkaven.
V tem primeru V predstavlja vrh obeh krakov, ki sta
označena s črko r. Kot φ v tem primeru predstavlja
notranji kot, ki skupaj z zunanjim kotom tvorita 180°.
Črka l predstavlja lok, ki ga naredi nek posamezen kot.
Iz tega loka lahko trikotniku naredimo včrtan krog.
V nadaljevanju bomo spoznali vrste kotov, ki so
prisotni v geometriji.
Osnovna enota za kot je stopinja ali tudi radiana.
Vrste kotov, definicije in vizualna podoba vseh vrst kotov:
Vrsta/ime kota Velikost definicija kota vizualna podoba kota
kot, kjer se kraka prekrivata
med seboj
NIČELNI 0°
kot, kjer se kraka prekrivata
med seboj
POLNI 360°
(polni kot je večji)
kot, kjer se kraka
dopolnjujeta v premico
IZTEGNJENI 180°
kot, pri čemer se kraka ne
dopolnjujeta v premico in
OSTRI pod 90° in
sta usmerjena v isto
nad 0°
orientacijo
