Gedetailleerde samenvatting Dynamische Systemen (in kleur en met uitgewerkte voorbeelden)

Matthijs Kamst
Studentnummer: 2144464
Cohort: 2022-2023




Samenvatting




Fontys Hogeschool
Tilburg
Master Wiskunde


Docent: Jan Essers

,Algemene voorkennis voor deze cursus
Periodiciteit, symmetrie en verschuivingen:




Gelijkheden voor de som en het verschil van twee hoeken:




Gelijkheden voor de dubbele hoek




Halveringsformules




Eenheidscirkel
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝟎 𝝅 𝝅 𝝅 𝝅
𝟔 𝟒 𝟑 𝟐
1 1 1
𝐬𝐢𝐧 𝜽 0 √2 √3 1
2 2 2
1 1 1
𝐜𝐨𝐬 𝜽 1 √3 √2 0
2 2 2
1
𝐭𝐚𝐧 𝜽 0 √3 1 √3
4


Regels logaritme 3e Macht ontbinden

log(𝑎) + log(𝑏) = log(𝑎 ⋅ 𝑏) 𝑥 3 + 𝑦 3 = (𝑥 + 𝑦) (𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
𝑎
log(𝑎) − log(𝑏) = log (𝑏) 𝑥 3 − 𝑦 3 = (𝑥 − 𝑦) (𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 )
𝑛 ⋅ log(𝑎) = log (𝑎𝑛 )
log(𝑎)
log𝑔 𝑎 =
log(𝑔)

, Machtreeksen




Taylorreeks:




Standaard afgeleiden Standaard primitieven
Functie Afgeleide Functie Primitieve
𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑓′(𝑥) = 0 𝑓(𝑥) = 1 𝐹(𝑥) = 𝑥 + 𝐶
𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓′(𝑥) = 1 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 𝐹(𝑥) = 𝑥 𝑛+1 + 𝐶
𝑛+1
𝑔𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 𝑓′(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛−1 𝑓(𝑥) = 𝑔 𝑥 𝐹(𝑥) = +𝐶
ln 𝑔
1 1 1
𝑓(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) = − 𝑓(𝑥) = 𝐹(𝑥) = ln|𝑥| + 𝐶
𝑥 𝑥2 𝑥
1
𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑥 ∙ ln|𝑥| − 𝑥 + 𝐶
2√𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝐹(𝑥) = 𝑒 𝑥 + 𝐶
𝑔 1
𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = ln 𝑏 ∙ 𝑏 𝑥 𝑓(𝑥) = log 𝑥 𝐹(𝑥) = ∙ (𝑥 ∙ ln|𝑥| − 𝑥) + 𝐶
ln 𝑔
1
𝑓(𝑥) = ln 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) = sin (𝑥) 𝐹(𝑥) = − cos(𝑥) + 𝐶
𝑥
1
𝑓(𝑥) = 𝑏log 𝑥 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) = cos (𝑥) 𝐹(𝑥) = sin(𝑥) + C
ln 𝑏 ∙ 𝑥
𝑓(𝑥) = sin (𝑥) 𝑓′(𝑥) = cos (𝑥) 𝑓(𝑥) = tan (𝑥) 𝐹(𝑥) = − ln|cos 𝑥| + 𝐶
𝑓(𝑥) = cos (𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = −sin (𝑥)
1
𝑓(𝑥) = tan (𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) = 1 + tan2 𝑥 =
cos 2 𝑥
1 Kettingregel differentiëren
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 sin (𝑥) 𝑓′(𝑥) =
√1 − 𝑥 2 𝐴𝑙𝑠 𝑓(𝑥) = 𝑔(ℎ(𝑥)) 𝑑𝑎𝑛: 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑔′(ℎ(𝑥)) ∙ ℎ′(𝑥)
1
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 cos (𝑥) 𝑓′(𝑥) = −
√1 − 𝑥 2
1 Productregel differentiëren
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐 tan (𝑥) 𝑓′(𝑥) =
1 + 𝑥2 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝑥) ⟹ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑔′ (𝑥) ∙ ℎ(𝑥) + ℎ′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)

Partieel integreren
∫ 𝑓 ′ ⋅ 𝑔 = 𝑓 ⋅ 𝑔 − ∫ 𝑓 ⋅ 𝑔′

, Week 1: Inleiding differentiaalvergelijkingen
Wat is een differentiaalvergelijking ?
Een differentiaalvergelijking (kortweg DV) is een vergelijking die afgeleiden van een functie bevat: Een
vergelijking die te schrijven is in de vorm 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , … ) = 0 .

Uitgangspunt
𝑑𝑦 𝑑𝑛 𝑦
Een n-de orde gewone DV: 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑑𝑥 , … , 𝑑𝑥 𝑛 ) = 0 en een open interval 𝐼 waarop de DV is
gedefinieerd.
Wat is een lineaire DV ?
Een lineaire differentiaalvergelijking van de n-de orde heeft de algemene vorm:
𝑑𝑛 𝑦 𝑑𝑦
𝑎𝑛 (𝑥) + . . . +𝑎1 (𝑥) + 𝑎0 (𝑥) 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑥
• 𝑦 is de onbekende functie,
• 𝑎0 (𝑥), 𝑎1 (𝑥), … , 𝑎𝑛 (𝑥) zijn functies van 𝑥, die de coëfficiënten van de vergelijking vormen,
• 𝑓(𝑥) is een bekende functie van 𝑥.

Oplossingen van DV’s
Definitie 1
Een functie 𝜙(𝑥) heet een expliciete oplossing op 𝐼 als deze na substitutie voor 𝑦 in de DV voldoet
aan de DV ∀𝑥 ∈ 𝐼. (Een expliciete oplossing is altijd in de vorm waarbij één variabele vrijgeschreven
is, bijvoorbeeld: 𝑦 = … )

Definitie 2
Een relatie 𝐺(𝑥, 𝑦) = 0 heet een impliciete oplossing van de DV op 𝐼 als deze een of meerdere
expliciete oplossingen definieert op 𝐼. (Een impliciete oplossing is altijd in de vorm waar 𝑦 nog niet is
vrijgeschreven.)
Oplossingen controleren
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑥
Vb 1. = 7𝑦 Vb. 2 = − 2𝑦
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Een expliciete oplossing op ℝ is 𝑦 = −6𝑒 7𝑥 Een impliciete oplossing (−4, 4) is 𝑥 2 + 2𝑦 2 = 16.
𝑑𝑦
Want 𝑑𝑥 = −6 ⋅ 7𝑒 7𝑥 = 7 ∙ −6𝑒 7𝑥 = 7𝑦 𝑥 2 + 2𝑦 2 = 16 Differentiëren naar 𝑥 geeft:
𝑑𝑦
2𝑥 + 2 ∙ 2𝑦 𝑑𝑥 = 0
𝑑𝑦
4𝑦 𝑑𝑥 = −2𝑥
𝑑𝑦 2𝑥 𝑥
= − 4𝑦 = − 2𝑦
𝑑𝑥
𝑎
Vb. 3 Voor welke 𝑎 is 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 een oplossing Vb. 4 Laat zien dat 𝑦 2 − 𝑥 3 + 8 = 0 een oplossing
𝑑𝑦 3𝑥 2
van 𝑦 ′ = 1 + 2𝑥𝑦 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ? heeft tot de niet lineaire vergelijking: 𝑑𝑥 = .
2𝑦
𝑑𝑦
(Oftewel: 𝑑𝑥 = 1 + 2𝑥𝑦 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ) 𝑦2 − 𝑥3 + 8 = 0 → 𝑦2 = 𝑥3 − 8
𝑎
Bereken van 𝑦 → 𝑦 ′ = 1 − 𝑥 2 en vul dit in: 𝑦 = ± √𝑥 3 − 8
𝑎 𝑎 𝑎 2 𝑑𝑦 3𝑥 3 3𝑥 2
1 − 𝑥 2 = 1 + 2𝑥 (𝑥 + 𝑥 ) − 𝑥 2 − (𝑥 + 𝑥 ) = =
𝑑𝑥 2⋅√𝑥 3 −8 2𝑦
𝑎 𝑎2
1 − 𝑥 2 = 1 + 2𝑥 2 + 2𝑎 − 𝑥 2 − 𝑥 2 −2𝑎 − 𝑥 2 OF
𝑎 𝑎2
1 − 𝑥 2 = 1 + 2𝑥 2 + 2𝑎 − 2𝑥 2 −2𝑎 − 𝑥 2 𝑦 2 − 𝑥 3 + 8 = 0 Differentiëren naar 𝑥 geeft:
𝑎 𝑎2 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 3𝑥 2
= 𝑥 2 → 𝑎 = 𝑎2 → 𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1 2𝑦 𝑑𝑥 − 3𝑥 2 = 0 → 2𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑥 2 → =
𝑥2 𝑑𝑥 2𝑦