Hoofdstuk 1 Hele getallen
1.1 Getallen zie je overal
• Getallen helpen je om de wereld te ordenen, te structureren en te organiseren. Getallen
komen in het dagels leven in vele verschillende situaties voor > betekenis van getallen.
• De betekenis van een getal hangt af van de verschijningsvorm of de functie van
getallen > getallen gebruik je om te nummeren, te tellen en aantallen aan te geven.
• Een telgetal of ordinaalgetal > geeft een rangorde aan, zoals 1,2,3,4,5, maar ook
nummer de eerste, de tweede, de derde.
• Een hoeveelheidsgetal of kardinaalgetal > geeft een bepaalde hoeveelheid aan.
• Bij een naamgetal > geeft het een naam aan > buslijn 4.
• Een meetgetal > geeft een maat aan > Luuk is vijf jaar, van de deur tot het hek is vier
meter, het is buiten zeven graden.
• Een formeel getal > is een kaal rekengetal. Je komt dit tegen in een rekenopgave > 36 x
125 = 4.500
• De getallen waarmee we tellen in de wiskunde worden dat de natuurlijke getallen
genoemd.
1.2 Getal systeem
• Het systeem om getallen in een rij cijfers weer te geven > talstelsel, getallenstelsel of
getal systeem. Ons getal systeem is omstreeks 1202 geïntroduceerd.
• Het arabische getal systeem kent een decimale structuur. Decimaal betekent tientallig.
Het bestaat uit de cijfers 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Hiermee kunnen alle getallen geschreven
worden.
• Een getal bestaat uit één of meerdere cijfersymbolen > het getal 359 bestaat uit de
cijfers 3, 5 en 9. De plaats waarde of positie waarde de 3 = 300 waard, 5 = 50 waard.
• Het Egyptische en het Romeinse getalsysteem zijn voorbeelden van additief systeem
waarin de waarde van het voorgestelde getal bepaald wordt door het totaal van de
symbolen. Bij het Romeinse getalsysteem werd ook gebruikt van het substractief
principe > als een symbool met een kleinere waarde voor een symbool met een hoge
waarde staat, zoals bij IX, wordt de waarde van het eerste symbool afgetrokken van de
waarde van het tweede symbool.
• Naast ons decimale (tientallig) talstelsel heb je ook andere getal sysytemen. De
computer wereld draait op het binaire talstelsel (tweetallig) en hexadecimale talstelsel
(zestientallig). Ook het sexagesimale talstelsel (zestigtallig) en Babylonische
talstelsel. Het octale talstel (achttallig).
• Tijdens de Franse revolutie werd het metriek stelsel ingevoerd. Kenmerkend voor het
metriek stelsel is dat elke eenheid in stappen van tien groter of kleiner wordt.
,1.3 Eigenschappen van getallen
• Splitsen en ontbinden zijn belangrijke vaardigheden bij het rekenen met hele getallen. Bij
het ontbinden kun je handig gebruik maken van de deelbaarheid met hele getallen:
o Delen door 0 kan niet
o Delen door 1 alle getallen
o Delen door 2 getallen die eindigen op een even getal eindigen
o Delen door 3 als je de cijfers bij elkaar optelt en dat is deelbaar door 3
o Delen door 4 als de laatste 2 cijfers deelbaar is door 4 kan je t delen (dus niet optellen)
o Delen door 5 als een getal eindig op een 0 of 5
o Delen door 6 deelbaar door 2 en 3
o Delen door 7 geen manier voor
o Delen door 8 als de laatste 3 cijfers deelbaar zijn door 8 (dus niet optellen)
o Delen door 9 als je de getallen bij elkaar op telt kan en je kan t delen door 9
o Delen door 10 als een getal eindigt op een 0
o Regel 3 en 9 lijken op elkaar en regel 4 en 8
• Een priemgetal is een getal dat alleen zichzelf en het getal 1 als deler heeft. Dit zijn de volgende
priemgetallen tot en met 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89, 97,
• Ontbinden in factoren > het zoeken naar getallen die met elkaar vermenigvuldigd weer het
oorspronkelijk getal opleveren. Je rekent dat uit door welke priemgetallen je het getal kunt
delen.
• De GGD > grootste gemene deler. Het gaat om het grootste getal dat deler is van twee of meer
hele getallen. Bij het zoeken naar de GGD kun je gebruik maken van de ontbinding in
priemfactoren.
18 2 1
--- <-- breuk -- = -- De GGD is 18
72 8 4
Wat is de GGD van 30 en 66
Ontbinden in factoren::
30 Kijken naar de kleinste priemgetallen. 30:2 = 15, 15 : 3 = 5. 5:5=1
--------
2 – 15
3–5
5–1 Dus 30 = 2 x 3 x 6
66
-------
2 – 33
3 – 11
11 – 1 Dus 66 = 2 x 3 x 11
, De gemeenschappelijke zijn 2 en 3 en dat is dus 6. Dus de GGD is 6.
30 : 6 = 5
--- ---
66 : 6 = 11
• De KGV > kleinste gemene veelvoud. Het gaat om het kleinste getal dat veelvoud is van
twee of meer getallen.
1 2
--- + -----
18 105
Hiervoor moet je de nummers gelijk maken
Je gaat hiervoor de 18 en 105 ontbinden in factoren.
18 = 2 x 3 x 3
105= 3 x 5 x 7
2 x 3 x 3 x 5 x 7 (je neemt die van 18, maar dan heb je een dubbele drie van eronder dus
die overlapt elkaar en daardoor vervalt die 3 van 105)
Vereenvoudigen= 2 x 9 x 35 = 630
Dus de noemer is wordt 630
De 18 past 35 in 630 en 105 past 630
35 12 47
--- + ---- = ----
630 630 630
1.1 Getallen zie je overal
• Getallen helpen je om de wereld te ordenen, te structureren en te organiseren. Getallen
komen in het dagels leven in vele verschillende situaties voor > betekenis van getallen.
• De betekenis van een getal hangt af van de verschijningsvorm of de functie van
getallen > getallen gebruik je om te nummeren, te tellen en aantallen aan te geven.
• Een telgetal of ordinaalgetal > geeft een rangorde aan, zoals 1,2,3,4,5, maar ook
nummer de eerste, de tweede, de derde.
• Een hoeveelheidsgetal of kardinaalgetal > geeft een bepaalde hoeveelheid aan.
• Bij een naamgetal > geeft het een naam aan > buslijn 4.
• Een meetgetal > geeft een maat aan > Luuk is vijf jaar, van de deur tot het hek is vier
meter, het is buiten zeven graden.
• Een formeel getal > is een kaal rekengetal. Je komt dit tegen in een rekenopgave > 36 x
125 = 4.500
• De getallen waarmee we tellen in de wiskunde worden dat de natuurlijke getallen
genoemd.
1.2 Getal systeem
• Het systeem om getallen in een rij cijfers weer te geven > talstelsel, getallenstelsel of
getal systeem. Ons getal systeem is omstreeks 1202 geïntroduceerd.
• Het arabische getal systeem kent een decimale structuur. Decimaal betekent tientallig.
Het bestaat uit de cijfers 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Hiermee kunnen alle getallen geschreven
worden.
• Een getal bestaat uit één of meerdere cijfersymbolen > het getal 359 bestaat uit de
cijfers 3, 5 en 9. De plaats waarde of positie waarde de 3 = 300 waard, 5 = 50 waard.
• Het Egyptische en het Romeinse getalsysteem zijn voorbeelden van additief systeem
waarin de waarde van het voorgestelde getal bepaald wordt door het totaal van de
symbolen. Bij het Romeinse getalsysteem werd ook gebruikt van het substractief
principe > als een symbool met een kleinere waarde voor een symbool met een hoge
waarde staat, zoals bij IX, wordt de waarde van het eerste symbool afgetrokken van de
waarde van het tweede symbool.
• Naast ons decimale (tientallig) talstelsel heb je ook andere getal sysytemen. De
computer wereld draait op het binaire talstelsel (tweetallig) en hexadecimale talstelsel
(zestientallig). Ook het sexagesimale talstelsel (zestigtallig) en Babylonische
talstelsel. Het octale talstel (achttallig).
• Tijdens de Franse revolutie werd het metriek stelsel ingevoerd. Kenmerkend voor het
metriek stelsel is dat elke eenheid in stappen van tien groter of kleiner wordt.
,1.3 Eigenschappen van getallen
• Splitsen en ontbinden zijn belangrijke vaardigheden bij het rekenen met hele getallen. Bij
het ontbinden kun je handig gebruik maken van de deelbaarheid met hele getallen:
o Delen door 0 kan niet
o Delen door 1 alle getallen
o Delen door 2 getallen die eindigen op een even getal eindigen
o Delen door 3 als je de cijfers bij elkaar optelt en dat is deelbaar door 3
o Delen door 4 als de laatste 2 cijfers deelbaar is door 4 kan je t delen (dus niet optellen)
o Delen door 5 als een getal eindig op een 0 of 5
o Delen door 6 deelbaar door 2 en 3
o Delen door 7 geen manier voor
o Delen door 8 als de laatste 3 cijfers deelbaar zijn door 8 (dus niet optellen)
o Delen door 9 als je de getallen bij elkaar op telt kan en je kan t delen door 9
o Delen door 10 als een getal eindigt op een 0
o Regel 3 en 9 lijken op elkaar en regel 4 en 8
• Een priemgetal is een getal dat alleen zichzelf en het getal 1 als deler heeft. Dit zijn de volgende
priemgetallen tot en met 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89, 97,
• Ontbinden in factoren > het zoeken naar getallen die met elkaar vermenigvuldigd weer het
oorspronkelijk getal opleveren. Je rekent dat uit door welke priemgetallen je het getal kunt
delen.
• De GGD > grootste gemene deler. Het gaat om het grootste getal dat deler is van twee of meer
hele getallen. Bij het zoeken naar de GGD kun je gebruik maken van de ontbinding in
priemfactoren.
18 2 1
--- <-- breuk -- = -- De GGD is 18
72 8 4
Wat is de GGD van 30 en 66
Ontbinden in factoren::
30 Kijken naar de kleinste priemgetallen. 30:2 = 15, 15 : 3 = 5. 5:5=1
--------
2 – 15
3–5
5–1 Dus 30 = 2 x 3 x 6
66
-------
2 – 33
3 – 11
11 – 1 Dus 66 = 2 x 3 x 11
, De gemeenschappelijke zijn 2 en 3 en dat is dus 6. Dus de GGD is 6.
30 : 6 = 5
--- ---
66 : 6 = 11
• De KGV > kleinste gemene veelvoud. Het gaat om het kleinste getal dat veelvoud is van
twee of meer getallen.
1 2
--- + -----
18 105
Hiervoor moet je de nummers gelijk maken
Je gaat hiervoor de 18 en 105 ontbinden in factoren.
18 = 2 x 3 x 3
105= 3 x 5 x 7
2 x 3 x 3 x 5 x 7 (je neemt die van 18, maar dan heb je een dubbele drie van eronder dus
die overlapt elkaar en daardoor vervalt die 3 van 105)
Vereenvoudigen= 2 x 9 x 35 = 630
Dus de noemer is wordt 630
De 18 past 35 in 630 en 105 past 630
35 12 47
--- + ---- = ----
630 630 630
