Statistiek samenvatting
CH1 Introductie
Statistiek = inductie (specifiek > algemeen). Door middel van een bepaalde (steekproef-)
uitkomst iets zeggen over populatie.
Statistiek = wetenschap van het verzamelen, organiseren, interpreteren van numerieke
feiten, die gegevens of data worden genoemd.
Kansrekening > deductie (algemeen > specifiek): alle details weten van bepaalde populatie
en op basis daarvan uitspraken doen van bepaalde steekproefuitkomst
BIJ STATISTIEK ANDERSOM! > inductie (specifiek > algemeen): mbv bepaalde
steekproefuitkomst uitspraken doen over populatie
Methodologie: systematische wijze van hoe je onderzoek zou moeten uitvoeren
Statistiek: instrumentarium (‘’gereedschap’’) om empirisch (zintuigelijk) onderzoek uit de
kunnen voeren
Deze twee kunnen niet zonder elkaar, maar zijn wel verschillend!
Trekken van conclusies op basis van weerleggen = falsificatie (bewijs tegen de hypothese)
CH2 Sampling and Measurement
Twee soorten statistiek
1. Beschrijvend = data van populatie/steekproef met nummers, tabellen en grafieken
2. Inferentiële = voorspellingen over populatie parameters, gebaseerd op
steekproefdata (inductie) > uitspraken doen over populatie
Meetschalen: NOIR
Categorie > Nominaal: ongeordend (kleur ogen, geslacht, bloedgroep, politieke partij)
Ordinaal: geordend (opleidingsniveau, inkomensgroepen, goud/zilver/brons)
Kwantitatief > Interval: gelijke afstand tussen opeenvolgende waarden (graden Celsius, IQ)
Ratio: gelijke afstand met absoluut nulpunt (alle percentages, leeftijd,
gewicht, inkomen in euro’s)
Discreet = ondeelbaar (aantal broers/zussen, aantal keer dat je met dobbelsteen gooit)
Continu = deelbaar (lengte, gewicht)
Steekproefproblemen met inferentiële statistiek
Sampling error: toevallige steekproefverschillen
Sampling bias: selectieve werving
Response bias: incorrect antwoord
Non-response bias: selectieve deelname
Data: observaties van karakteristieken
Populatie: voorbeeld parameters = gemiddeld aantal uren online zelfstudie van
alle studenten
Steekproef: voorbeeld steekproefgrootheid = gemiddeld aantal uren online
zelfstudie van de studenten in de steekproef
,Betrouwbaarheid: hoe betrouwbaar is je meting
Valide: als je niet meet wat je denkt dat het is
Doel: steekproefgrootheden dienen niet te verschillen van populatiegrootheden
Steekproefmethoden
1. Enkelvoudige steekproef
2. Systematische aselecte steekproef
3. Gestratificeerde steekproef
4. Cluster steekproef
5. Getrapte steekproef
Randomiseren > representatieve steekproef trekken
Verschil cluster en gestratificeerde steekproef
Gestratificeerde steekproef (karakteristieken > meisje/jongen)
- Hele groep ondervragen, gaat meestal om bestaande groepen (klas, team)
- Binnen ieder stratum steekproef getrokken
- Proportioneel of disproportioneel
- Handig bij duidelijke categorieën die verschillen in omgeving
Cluster steekproef (geen verschillen in categorieën > scholen)
- Groep opdelen in deelpopulaties (groep wijkbewoners verder opdelen in
bijvoorbeeld alle vrouwen uit de wijk)
- Niet vergelijken: praktische overwegingen
- Verdeel populatie in clusters & trek aselect aantal clusters
- Alle subjecten van getrokken cluster kiezen
- Handig als het moeilijk is om alle clusters te bereiken voor steekproef
CH3 Beschrijvende Statistiek
Beschrijvende statistiek
Centrum (typische observatie)
Variatie (spreiding van observaties)
Positie (relatieve positie van observaties)
Centrummaten
Gemiddelde = som waarnemingen / n
Modus = meest gegeven antwoord
Mediaan = middelste antwoord
,Spreidingsmaten
Bereik = range
Standaarddeviatie
Interkwartielafstand = maat voor spreiding van een verdeling; mate waarin waarden
onderling verschillen
Positiematen
Percentielscore
Kwartiel
Minimum/maximum
Mediaan
Z-score
Univariaat = één variabele
Bivariaat = twee variabalen (correlatie)
1 punt in scatterplot = 1 observatie
Hoe groter steekproef, hoe kleiner steekproeffout
Box-and-whiskler plot > dataset
CH4 Kansverdelingen
Waarschijnlijkheid > bepaalde uitkomst: proportie van aantal keer dat uitkomst voorkomt in
meerdere observaties
Kansen: regels
P (A): kans dat A plaatsvindt
P (not A) = 1 – P(A): kans dat A niet plaatsvindt
P (A or B) = P(A) + P(B): kans dat A of B plaatsvindt
P (A&B) = P(A) x P(B): kans dat A en B plaatsvindt
,Discreet > bepaalde set aan mogelijkheden: kans voor elke apart waarde kan berekend
worden (dobbelsteen)
Continu > oneindig aantal mogelijkheden: kans voor intervallen (lengte)
Populatieverdeling: kansverdeling van de verschillende uitkomstmogelijkheden van
een variabele, zoals in totale populatie waargenomen (, , N)
Steekproefverdeling: kansverdeling van een specifieke steekproef (ȳ, s, n)
Steekproevenverdeling: kansverdeling voor verschillende waarden van een
steekproefgrootheid > groot aantal willekeurige steekproeven getrokken uit
populatie (ȳ, ȳ (= /n), )
Bij symmetrie in grafiek = gemiddelde en mediaan hetzelfde!
Centrale Limietstelling: als je steekproefomvang groot genoeg is; resulterende
steekproevenverdeling zal zelf convergeren naar normaal verdeelde variabelen.
Voor willekeurige steekproeven met grote sample size n, nadert steekproevenverdeling van
steekproefgemiddelde ȳ een normaalverdeling.
Steekproevenverdeling (continue maat) versus populatieverdeling
Goed = kleine standaarddeviatie & kleine
standaardfout > hogere betrouwbaarheid
(sample size)
Centrale Limietstelling
, Ongeacht vorm van de populatieverdeling > steekproevenverdeling zal bij benadering
normaal verdeeld zijn (significantie-toetsing & betrouwbaarheidsinvallen)
Populatieverdeling scheef? > grotere steekproefomvang (N)
Standaarddeviatie vd steekproevenverdeling (standaardfout) neemt toe als variantie
in y toeneemt & af als steekproefomvang toeneemt: ȳ (= /n),
Dus: verkleinen variantie steekproef & vergroten steekproefomvang vergroot validiteit &
betrouwbaarheid van steekproefdata voor inferentiële statistiek.
Normaalverdeling
Symmetrisch (vorm van bel)
&
1 stand.dev. > 0.68
2 stand.dev. > 0.95
3 stand.dev. > 0.997
Positiemaat: Z-score = aantal stand.dev. dat y van af is (z = (y - ) / )
Als waarde y bekend is en bijbehorende kans gezocht wordt, converteert y-waarde naar z-
score > cumulatieve kans (vb: hoeveel % vd NL vrouwen is korter of gelijk aan 170 cm?)
Cumulatieve kans berekend > converteer naar z-score en zoek y-waarde op (vb: vind 99ste
percentielscore van IQ)
Standaardnormaalverdeling > = 0 met stand.dev. = 1
Wanneer y-waardes uit normaalverdeling omgezet worden in z-score:
Verdeling z = standaardnormaalverdeling
Alle cumulatieve kansen van normaalverdeling bekend
Gebruikt voor hypothesetoetsing in inferentiële statistiek
CH5 Inferentiële statistiek: schatting
Parameterschattingen
Testen van hypothese voor populatie
Gebaseerd op de verdeling van steekproefdata
1. ȳ is bekend en willen iets zeggen over
2. verdeling ȳ is bekend, aannemende waarde voor
3. afgaand op schatter ȳ, bepaal hoe onwaarschijnlijk hypothese of aanname voor is
Parameterschatting
Puntschatter = enkel getal dat als beste schatter dient voor parameter >
standaardfout geeft aan hoe precies schatter is
Intervalschatter = interval rondom puntschatter, waarbinnen parameter naar
waarschijnlijkheid zal liggen > breedte geeft aan hoe precies schatting is
Goede schatters!
Valide: zuiver (unbiased) > onzuiver bij over- of onderschatting van parameter
Betrouwbaar: doeltreffend (efficiënt) > kleinere standaardfout = goed!
Verschillende vormen van kansverdelingen
,Steekproevenverdeling voor grote steekproeven kan worden benaderd door
normaalverdeling (z-verdeling)
Steekproef niet voldoende om effect te hebben en normaalverdeling benadering is
ongeschikt
T distribution (t)
Chi square distribution (2)
Binominal distribution (B)
Standaardnormaalverdeling (z-verdeling)
o Benadert steekproevenverdeling van steekproefproportie met relatief grote
samples
o Identiek voor verschillende sample sizes
o Standaarddeviatie = 1
o Symmetrisch rond gemiddelde = 0
o Populatiestandaarddeviatie = bekend
o Z-toets > steekproefproportie
Student t-verdeling
o Van toepassing op steekproefverdeling van het steekproefgemiddelde
o Is verschillend voor verschillende steekproefgrootten
o Dikkere staart en meer gespreid dan standaardnormaalverdeling (kleine
steekproeven)
o Symmetrisch rond gemiddelde
o Populatiestandaarddeviatie = onbekend
o Convergeert naar standaardnormaalverdeling bij grotere steekproefgrootte
o T-toets > voor kwantitatieve variabelen (steekproef gemiddelden)
Chi-squared variabele > kwalitatief (categorieën)
o Van toepassing op steekproefverdeling van de som van relatieve kwadraat
deviaties van verwachte frequenties (2)
o Scheef naar rechts, vooral wanneer paar deviaties worden opgeteld
o Convergeert naar normaalverdeling bij meerdere deviaties
o Chi-kwadraattoets > voor categorische variabele frequenties
Binominaal
o Fixed sample size n
o Bij elke proef > even of interest komt voor of niet > gem: n x p,
standaarddeviatie: √ np(1− p)
o Probability (p) van voorkomen is bij elke proef anders
o Proeven afhankelijk van elkaar
o Convergeert tot normaalverdeling als sample size groter wordt
o Binominale toets > voor proporties met kleine steekproefgrootten
BI = betrouwbaarheidsinterval
BI (95%) voor populatieproportie
1. Bereken puntschatter (π)̂
2. Bepaal Z-score
, π^ ( 1− π^ )
3. Bereken standaardfout van puntschatter se =
4. Vul formule BI in: π̂ +/- z x se
√ n
Z = X −❑¿ ¿
Empirische regel:
68% binnen +/- 1 van gemiddelde
95% binnen +/- 2 van gemiddelde
Bijna 100% binnen +/- 3 van gemiddelde
BI (95%) voor populatiegemiddelde
1. Bereken puntschatter (ȳ)
2. Bepaal t-score (bijv. t = 1.96) behorende bij betrouwbaarheidsniveau én
vrijheidsgraden df = n -1
s
3. Bereken standaardfout se =
n
4. ȳ +/- t x se = 95% BI
Correcte interpretatie BI (95%)
- Populatiegrootheid ligt vast, maar is onbekend
- Steekproef (n) geeft puntschatter met bijbehorend betrouwbaarheidsinterval
- Herhaalde steekproeven
- 95% van de steekproeven zal BI opleveren dat daadwerkelijk populatiegrootheid
bevat
Foutmarge M van BI:
- Medebepaald door standaardfout vd schatter > hangt af van standaarddeviatie in
populatie & steekproefomvang
- Medebepaald door gewenste betrouwbaarheidsniveau (level of confidence)
Soorten frequenties:
- Absoluut: aantal keer dat het is geobserveerd
- Relatief: percentage vh totale aantal
- Valid: bijvoorbeeld > geen antwoord/blanco ingevuld = niet meetellen!
- Cumulatief: relatieve frequenties bij elkaar optellen van vorige waarde
Wanneer je steekproefgemiddelde gebruikt > steekproefcorrectie (n-1) toepassen
Fouten steekproef
1. Natuurlijke variatie tussen steekproeven
2. Door problemen/fouten binnen steekproef
Skipnumber k = N/n
N > populatie, n > steekproef
CH1 Introductie
Statistiek = inductie (specifiek > algemeen). Door middel van een bepaalde (steekproef-)
uitkomst iets zeggen over populatie.
Statistiek = wetenschap van het verzamelen, organiseren, interpreteren van numerieke
feiten, die gegevens of data worden genoemd.
Kansrekening > deductie (algemeen > specifiek): alle details weten van bepaalde populatie
en op basis daarvan uitspraken doen van bepaalde steekproefuitkomst
BIJ STATISTIEK ANDERSOM! > inductie (specifiek > algemeen): mbv bepaalde
steekproefuitkomst uitspraken doen over populatie
Methodologie: systematische wijze van hoe je onderzoek zou moeten uitvoeren
Statistiek: instrumentarium (‘’gereedschap’’) om empirisch (zintuigelijk) onderzoek uit de
kunnen voeren
Deze twee kunnen niet zonder elkaar, maar zijn wel verschillend!
Trekken van conclusies op basis van weerleggen = falsificatie (bewijs tegen de hypothese)
CH2 Sampling and Measurement
Twee soorten statistiek
1. Beschrijvend = data van populatie/steekproef met nummers, tabellen en grafieken
2. Inferentiële = voorspellingen over populatie parameters, gebaseerd op
steekproefdata (inductie) > uitspraken doen over populatie
Meetschalen: NOIR
Categorie > Nominaal: ongeordend (kleur ogen, geslacht, bloedgroep, politieke partij)
Ordinaal: geordend (opleidingsniveau, inkomensgroepen, goud/zilver/brons)
Kwantitatief > Interval: gelijke afstand tussen opeenvolgende waarden (graden Celsius, IQ)
Ratio: gelijke afstand met absoluut nulpunt (alle percentages, leeftijd,
gewicht, inkomen in euro’s)
Discreet = ondeelbaar (aantal broers/zussen, aantal keer dat je met dobbelsteen gooit)
Continu = deelbaar (lengte, gewicht)
Steekproefproblemen met inferentiële statistiek
Sampling error: toevallige steekproefverschillen
Sampling bias: selectieve werving
Response bias: incorrect antwoord
Non-response bias: selectieve deelname
Data: observaties van karakteristieken
Populatie: voorbeeld parameters = gemiddeld aantal uren online zelfstudie van
alle studenten
Steekproef: voorbeeld steekproefgrootheid = gemiddeld aantal uren online
zelfstudie van de studenten in de steekproef
,Betrouwbaarheid: hoe betrouwbaar is je meting
Valide: als je niet meet wat je denkt dat het is
Doel: steekproefgrootheden dienen niet te verschillen van populatiegrootheden
Steekproefmethoden
1. Enkelvoudige steekproef
2. Systematische aselecte steekproef
3. Gestratificeerde steekproef
4. Cluster steekproef
5. Getrapte steekproef
Randomiseren > representatieve steekproef trekken
Verschil cluster en gestratificeerde steekproef
Gestratificeerde steekproef (karakteristieken > meisje/jongen)
- Hele groep ondervragen, gaat meestal om bestaande groepen (klas, team)
- Binnen ieder stratum steekproef getrokken
- Proportioneel of disproportioneel
- Handig bij duidelijke categorieën die verschillen in omgeving
Cluster steekproef (geen verschillen in categorieën > scholen)
- Groep opdelen in deelpopulaties (groep wijkbewoners verder opdelen in
bijvoorbeeld alle vrouwen uit de wijk)
- Niet vergelijken: praktische overwegingen
- Verdeel populatie in clusters & trek aselect aantal clusters
- Alle subjecten van getrokken cluster kiezen
- Handig als het moeilijk is om alle clusters te bereiken voor steekproef
CH3 Beschrijvende Statistiek
Beschrijvende statistiek
Centrum (typische observatie)
Variatie (spreiding van observaties)
Positie (relatieve positie van observaties)
Centrummaten
Gemiddelde = som waarnemingen / n
Modus = meest gegeven antwoord
Mediaan = middelste antwoord
,Spreidingsmaten
Bereik = range
Standaarddeviatie
Interkwartielafstand = maat voor spreiding van een verdeling; mate waarin waarden
onderling verschillen
Positiematen
Percentielscore
Kwartiel
Minimum/maximum
Mediaan
Z-score
Univariaat = één variabele
Bivariaat = twee variabalen (correlatie)
1 punt in scatterplot = 1 observatie
Hoe groter steekproef, hoe kleiner steekproeffout
Box-and-whiskler plot > dataset
CH4 Kansverdelingen
Waarschijnlijkheid > bepaalde uitkomst: proportie van aantal keer dat uitkomst voorkomt in
meerdere observaties
Kansen: regels
P (A): kans dat A plaatsvindt
P (not A) = 1 – P(A): kans dat A niet plaatsvindt
P (A or B) = P(A) + P(B): kans dat A of B plaatsvindt
P (A&B) = P(A) x P(B): kans dat A en B plaatsvindt
,Discreet > bepaalde set aan mogelijkheden: kans voor elke apart waarde kan berekend
worden (dobbelsteen)
Continu > oneindig aantal mogelijkheden: kans voor intervallen (lengte)
Populatieverdeling: kansverdeling van de verschillende uitkomstmogelijkheden van
een variabele, zoals in totale populatie waargenomen (, , N)
Steekproefverdeling: kansverdeling van een specifieke steekproef (ȳ, s, n)
Steekproevenverdeling: kansverdeling voor verschillende waarden van een
steekproefgrootheid > groot aantal willekeurige steekproeven getrokken uit
populatie (ȳ, ȳ (= /n), )
Bij symmetrie in grafiek = gemiddelde en mediaan hetzelfde!
Centrale Limietstelling: als je steekproefomvang groot genoeg is; resulterende
steekproevenverdeling zal zelf convergeren naar normaal verdeelde variabelen.
Voor willekeurige steekproeven met grote sample size n, nadert steekproevenverdeling van
steekproefgemiddelde ȳ een normaalverdeling.
Steekproevenverdeling (continue maat) versus populatieverdeling
Goed = kleine standaarddeviatie & kleine
standaardfout > hogere betrouwbaarheid
(sample size)
Centrale Limietstelling
, Ongeacht vorm van de populatieverdeling > steekproevenverdeling zal bij benadering
normaal verdeeld zijn (significantie-toetsing & betrouwbaarheidsinvallen)
Populatieverdeling scheef? > grotere steekproefomvang (N)
Standaarddeviatie vd steekproevenverdeling (standaardfout) neemt toe als variantie
in y toeneemt & af als steekproefomvang toeneemt: ȳ (= /n),
Dus: verkleinen variantie steekproef & vergroten steekproefomvang vergroot validiteit &
betrouwbaarheid van steekproefdata voor inferentiële statistiek.
Normaalverdeling
Symmetrisch (vorm van bel)
&
1 stand.dev. > 0.68
2 stand.dev. > 0.95
3 stand.dev. > 0.997
Positiemaat: Z-score = aantal stand.dev. dat y van af is (z = (y - ) / )
Als waarde y bekend is en bijbehorende kans gezocht wordt, converteert y-waarde naar z-
score > cumulatieve kans (vb: hoeveel % vd NL vrouwen is korter of gelijk aan 170 cm?)
Cumulatieve kans berekend > converteer naar z-score en zoek y-waarde op (vb: vind 99ste
percentielscore van IQ)
Standaardnormaalverdeling > = 0 met stand.dev. = 1
Wanneer y-waardes uit normaalverdeling omgezet worden in z-score:
Verdeling z = standaardnormaalverdeling
Alle cumulatieve kansen van normaalverdeling bekend
Gebruikt voor hypothesetoetsing in inferentiële statistiek
CH5 Inferentiële statistiek: schatting
Parameterschattingen
Testen van hypothese voor populatie
Gebaseerd op de verdeling van steekproefdata
1. ȳ is bekend en willen iets zeggen over
2. verdeling ȳ is bekend, aannemende waarde voor
3. afgaand op schatter ȳ, bepaal hoe onwaarschijnlijk hypothese of aanname voor is
Parameterschatting
Puntschatter = enkel getal dat als beste schatter dient voor parameter >
standaardfout geeft aan hoe precies schatter is
Intervalschatter = interval rondom puntschatter, waarbinnen parameter naar
waarschijnlijkheid zal liggen > breedte geeft aan hoe precies schatting is
Goede schatters!
Valide: zuiver (unbiased) > onzuiver bij over- of onderschatting van parameter
Betrouwbaar: doeltreffend (efficiënt) > kleinere standaardfout = goed!
Verschillende vormen van kansverdelingen
,Steekproevenverdeling voor grote steekproeven kan worden benaderd door
normaalverdeling (z-verdeling)
Steekproef niet voldoende om effect te hebben en normaalverdeling benadering is
ongeschikt
T distribution (t)
Chi square distribution (2)
Binominal distribution (B)
Standaardnormaalverdeling (z-verdeling)
o Benadert steekproevenverdeling van steekproefproportie met relatief grote
samples
o Identiek voor verschillende sample sizes
o Standaarddeviatie = 1
o Symmetrisch rond gemiddelde = 0
o Populatiestandaarddeviatie = bekend
o Z-toets > steekproefproportie
Student t-verdeling
o Van toepassing op steekproefverdeling van het steekproefgemiddelde
o Is verschillend voor verschillende steekproefgrootten
o Dikkere staart en meer gespreid dan standaardnormaalverdeling (kleine
steekproeven)
o Symmetrisch rond gemiddelde
o Populatiestandaarddeviatie = onbekend
o Convergeert naar standaardnormaalverdeling bij grotere steekproefgrootte
o T-toets > voor kwantitatieve variabelen (steekproef gemiddelden)
Chi-squared variabele > kwalitatief (categorieën)
o Van toepassing op steekproefverdeling van de som van relatieve kwadraat
deviaties van verwachte frequenties (2)
o Scheef naar rechts, vooral wanneer paar deviaties worden opgeteld
o Convergeert naar normaalverdeling bij meerdere deviaties
o Chi-kwadraattoets > voor categorische variabele frequenties
Binominaal
o Fixed sample size n
o Bij elke proef > even of interest komt voor of niet > gem: n x p,
standaarddeviatie: √ np(1− p)
o Probability (p) van voorkomen is bij elke proef anders
o Proeven afhankelijk van elkaar
o Convergeert tot normaalverdeling als sample size groter wordt
o Binominale toets > voor proporties met kleine steekproefgrootten
BI = betrouwbaarheidsinterval
BI (95%) voor populatieproportie
1. Bereken puntschatter (π)̂
2. Bepaal Z-score
, π^ ( 1− π^ )
3. Bereken standaardfout van puntschatter se =
4. Vul formule BI in: π̂ +/- z x se
√ n
Z = X −❑¿ ¿
Empirische regel:
68% binnen +/- 1 van gemiddelde
95% binnen +/- 2 van gemiddelde
Bijna 100% binnen +/- 3 van gemiddelde
BI (95%) voor populatiegemiddelde
1. Bereken puntschatter (ȳ)
2. Bepaal t-score (bijv. t = 1.96) behorende bij betrouwbaarheidsniveau én
vrijheidsgraden df = n -1
s
3. Bereken standaardfout se =
n
4. ȳ +/- t x se = 95% BI
Correcte interpretatie BI (95%)
- Populatiegrootheid ligt vast, maar is onbekend
- Steekproef (n) geeft puntschatter met bijbehorend betrouwbaarheidsinterval
- Herhaalde steekproeven
- 95% van de steekproeven zal BI opleveren dat daadwerkelijk populatiegrootheid
bevat
Foutmarge M van BI:
- Medebepaald door standaardfout vd schatter > hangt af van standaarddeviatie in
populatie & steekproefomvang
- Medebepaald door gewenste betrouwbaarheidsniveau (level of confidence)
Soorten frequenties:
- Absoluut: aantal keer dat het is geobserveerd
- Relatief: percentage vh totale aantal
- Valid: bijvoorbeeld > geen antwoord/blanco ingevuld = niet meetellen!
- Cumulatief: relatieve frequenties bij elkaar optellen van vorige waarde
Wanneer je steekproefgemiddelde gebruikt > steekproefcorrectie (n-1) toepassen
Fouten steekproef
1. Natuurlijke variatie tussen steekproeven
2. Door problemen/fouten binnen steekproef
Skipnumber k = N/n
N > populatie, n > steekproef
