UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
Facultad de Ciencias y Educación
Licenciatura En Fı́sica
Protocolo No 10
Luis Ángel Miranda Martı́nez 1 - código: 20182135016
Mecánica Teórica - Carlos Efraı́n Jácome
Fecha de sesión: 01 de Marzo de 2023
Aclaraciones
Se da inicio a la clase haciendo un paréntesis del curso de Probabilidad para aclarar de donde surge la fórmula
que nos da cuenta del número de ligaduras que se tiene de un sistema de N partı́culas;
N
(1)
2
pues dicha expresión es la interpretación de un coeficiente binomial.
Por lo tanto, se expresa el teorema del binomio o el teorema de Newton como
n
n
X n k n−k
(x + y) = x y
k
k=0
Donde los coeficientes que aparecen en el teorema del binomio, son los mismos coeficientes que surgen de
una combinatoria (forma de conteo en probabilidad) en donde su interpretación es que el término
n
k
nos quiere decir el número de grupos que se pueden formar de k maneras de un número total de n. De esta
forma, se hace el siguiente ejemplo para aclarar la idea. Se considera que n=5 y k=2, ası́
5 5!
=
2 (5 − 2!2!
Dejando de lado el valor numérico, decimos que su interpretación es encontrar de cuantas formas puedo
relacionar de grupos de a 2 de un total de 5 elementos de un conjunto (en este caso, cartas de una baraja).
Con estas ideas, se da fin al paréntesis.
Es ası́ como en un modelo de cuerpo rı́gido de N partı́culas (ver Fig. 1) cuando nos interesa hallar las
ecuaciones de ligadura, hallamos el número de parejas (ya que para cada pareja se tiene una ecuación de
ligadura) usamos la forma descrita anteriormente por la ecuación (1) dando como resultado
N 1
= N (N − 1)
2 2
1
, Figura 1: Concepto de Cuerpo rı́gido
donde ∼ N 2 ≫ 3N es decir, un número muy grande que depende del número de partı́culas.
Esta afirmación trae como consecuencia un problema ya que N 2 crecerá de forma cuadrática mientras que
3N crecerá como una función lineal haciendo que los grados de libertad sean negativos. Dicho inconveniente
es que todas las ecuaciones de ligadura no son independientes; es decir que hay ecuaciones que no nos dicen
nada adicional de lo que un conjunto más pequeño nos dice fı́sicamente.
Es ası́ como se busca construir las ecuaciones de ligadura que son independientes. De esta forma, del sistema
donde tenemos las siguientes 3 partı́culas (ver Fig. 2), podemos decir que estas ecuaciones no se deducen de
ningún lado. Por lo tanto, las ecuaciones de ligadura son las 3 siguientes
Figura 2: Sistema de tres partı́culas
r12 = C12
r13 = C13
r23 = C23
Donde C son simplemente distancias.
Ahora, si tenemos el sistema de N partı́culas (ver Fig. 3) y sabiendo que el restante de partı́culas de di-
cho sistema es (N-3) y que este estará simbolizada por la i-ésima partı́cula, podemos saber las coordenadas
x, y e z de esta con solo el hecho de saber las distancias de las partı́culas 1, 2 y 3 con respecto a la i-ésima
partı́cula (lineas rojas). De la misma forma, si tenemos la j-ésima partı́cula (ver Fig. 3), podemos saber sus
coordenadas x, y e z aplicando el mismo criterio mencionado anteriormente; es decir, sabiendo la distancia
respecto a las partı́culas 1, 2 y 3 (lineas azules).
Las ecuaciones de ligadura de la i-ésima partı́cula son
2
Facultad de Ciencias y Educación
Licenciatura En Fı́sica
Protocolo No 10
Luis Ángel Miranda Martı́nez 1 - código: 20182135016
Mecánica Teórica - Carlos Efraı́n Jácome
Fecha de sesión: 01 de Marzo de 2023
Aclaraciones
Se da inicio a la clase haciendo un paréntesis del curso de Probabilidad para aclarar de donde surge la fórmula
que nos da cuenta del número de ligaduras que se tiene de un sistema de N partı́culas;
N
(1)
2
pues dicha expresión es la interpretación de un coeficiente binomial.
Por lo tanto, se expresa el teorema del binomio o el teorema de Newton como
n
n
X n k n−k
(x + y) = x y
k
k=0
Donde los coeficientes que aparecen en el teorema del binomio, son los mismos coeficientes que surgen de
una combinatoria (forma de conteo en probabilidad) en donde su interpretación es que el término
n
k
nos quiere decir el número de grupos que se pueden formar de k maneras de un número total de n. De esta
forma, se hace el siguiente ejemplo para aclarar la idea. Se considera que n=5 y k=2, ası́
5 5!
=
2 (5 − 2!2!
Dejando de lado el valor numérico, decimos que su interpretación es encontrar de cuantas formas puedo
relacionar de grupos de a 2 de un total de 5 elementos de un conjunto (en este caso, cartas de una baraja).
Con estas ideas, se da fin al paréntesis.
Es ası́ como en un modelo de cuerpo rı́gido de N partı́culas (ver Fig. 1) cuando nos interesa hallar las
ecuaciones de ligadura, hallamos el número de parejas (ya que para cada pareja se tiene una ecuación de
ligadura) usamos la forma descrita anteriormente por la ecuación (1) dando como resultado
N 1
= N (N − 1)
2 2
1
, Figura 1: Concepto de Cuerpo rı́gido
donde ∼ N 2 ≫ 3N es decir, un número muy grande que depende del número de partı́culas.
Esta afirmación trae como consecuencia un problema ya que N 2 crecerá de forma cuadrática mientras que
3N crecerá como una función lineal haciendo que los grados de libertad sean negativos. Dicho inconveniente
es que todas las ecuaciones de ligadura no son independientes; es decir que hay ecuaciones que no nos dicen
nada adicional de lo que un conjunto más pequeño nos dice fı́sicamente.
Es ası́ como se busca construir las ecuaciones de ligadura que son independientes. De esta forma, del sistema
donde tenemos las siguientes 3 partı́culas (ver Fig. 2), podemos decir que estas ecuaciones no se deducen de
ningún lado. Por lo tanto, las ecuaciones de ligadura son las 3 siguientes
Figura 2: Sistema de tres partı́culas
r12 = C12
r13 = C13
r23 = C23
Donde C son simplemente distancias.
Ahora, si tenemos el sistema de N partı́culas (ver Fig. 3) y sabiendo que el restante de partı́culas de di-
cho sistema es (N-3) y que este estará simbolizada por la i-ésima partı́cula, podemos saber las coordenadas
x, y e z de esta con solo el hecho de saber las distancias de las partı́culas 1, 2 y 3 con respecto a la i-ésima
partı́cula (lineas rojas). De la misma forma, si tenemos la j-ésima partı́cula (ver Fig. 3), podemos saber sus
coordenadas x, y e z aplicando el mismo criterio mencionado anteriormente; es decir, sabiendo la distancia
respecto a las partı́culas 1, 2 y 3 (lineas azules).
Las ecuaciones de ligadura de la i-ésima partı́cula son
2
