PROTOCOLO DE LA CLASE 22/02/2023
Juan Pablo Sánchez Trujillo (20192135041)
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Mecánica Teórica
27 de febrero del 2023
1 Inicio y aclaraciones
Se dio inicio a la clase con la lectura del protocolo correspondiente de la misma, del cual se discutieron varios
aspectos y se aclararon algunas dudas, donde resaltó lo siguiente:
Considerando los siguientes grados de libertad para describir la posición de la partı́cula, que se mueve en el
espacio y libre de ligaduras
f (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = 0 (1)
Sin embargo, si se desea establecer una ligadura, es posible describir una coordenada en términos de las otras
dos, es decir a través de una función g tal que:
g(ξ1 , ξ2 ) = ξ3 (2)
En otras palabras, escoger una de las tres variables y colocarlas en función de las otras dos, de ahı́ que por
ejemplo en termodinámica en el diagrama P V solamente es necesario usar la presión y el volumen para dar
cuenta de la temperatura, gracias a la ecuación del gas ideal. Sin embargo, retomando el tratadamiento sobre
ξ3 solo es posible escribirlo en como función de las démas coordenadas , si se cumple con el ”teorema de la
función implı́cita”, es decir si:
∂f
̸= 0 (3)
∂ξ3
Por ejemplo al tener:
ξ12 + ξ22 + ξ32 − a2 = 0 (4)
Luego:
f (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = 0 (5)
Entonces:
∂f
= 2ξ3 ̸= 0 (6)
∂ξ3
Por tanto es posible escribir ξ3 en función de ξ1 y ξ2 .
1
, Por otra parte, se puede observar de lo anterior que el número de grados de libertad disminuye debido a la
ligadura, porque se necesitan dos coordenadas para expresar la posición de la partı́cula (véase la ecuación
2); además se puede construir el siguiente espacio de configuraciones:
Figura 1: f (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = 0
Donde la superficie, no está estrictamente en el espacio real, lo estarı́a si se trataran de las coordenadas
cartesianas de lo contrario serı́a otra superficie; se puede restringir el movimiento de la partı́cula en una
esfera y obedecerı́a a x2 + y 2 + z 2 = 1 (una ecuación de ligadura) y en la figura 1 se escribirı́an r, θ, ϕ y con
r = 1,lo que produce un plano con r = 1 y paralelo al plano θ, ϕ (véase la figura 1).
Cuando se hace referencia al desplazmiento virtual, se tiene:
∂f ∂f ∂f
δξ1 + δξ2 + δξ3 = 0 (7)
∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξ3
∇f = λR (8)
R · δr = 0 (9)
Es decir, un gradiente el cual será perpendicular a la superficie y en consecuencia, los desplazamientos
virtuales son perpendiculares al gradiente de la función en el espacio de configuraciones y proporcional a la
fuerza de ligadura.
2 Ejercicio
Posteriormente luego de finalización de la lectura del protocolo, se planteó un ejercicio para la clase, que
consistı́a en dadas cuatro barras (cuya longitud es L) de algún material que forman un romboide, una barra
incrustada en el centro cuya masa es despreciable, y una masa colgante de uno de los vértices de la siguinete
manera:
2
Juan Pablo Sánchez Trujillo (20192135041)
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Mecánica Teórica
27 de febrero del 2023
1 Inicio y aclaraciones
Se dio inicio a la clase con la lectura del protocolo correspondiente de la misma, del cual se discutieron varios
aspectos y se aclararon algunas dudas, donde resaltó lo siguiente:
Considerando los siguientes grados de libertad para describir la posición de la partı́cula, que se mueve en el
espacio y libre de ligaduras
f (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = 0 (1)
Sin embargo, si se desea establecer una ligadura, es posible describir una coordenada en términos de las otras
dos, es decir a través de una función g tal que:
g(ξ1 , ξ2 ) = ξ3 (2)
En otras palabras, escoger una de las tres variables y colocarlas en función de las otras dos, de ahı́ que por
ejemplo en termodinámica en el diagrama P V solamente es necesario usar la presión y el volumen para dar
cuenta de la temperatura, gracias a la ecuación del gas ideal. Sin embargo, retomando el tratadamiento sobre
ξ3 solo es posible escribirlo en como función de las démas coordenadas , si se cumple con el ”teorema de la
función implı́cita”, es decir si:
∂f
̸= 0 (3)
∂ξ3
Por ejemplo al tener:
ξ12 + ξ22 + ξ32 − a2 = 0 (4)
Luego:
f (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = 0 (5)
Entonces:
∂f
= 2ξ3 ̸= 0 (6)
∂ξ3
Por tanto es posible escribir ξ3 en función de ξ1 y ξ2 .
1
, Por otra parte, se puede observar de lo anterior que el número de grados de libertad disminuye debido a la
ligadura, porque se necesitan dos coordenadas para expresar la posición de la partı́cula (véase la ecuación
2); además se puede construir el siguiente espacio de configuraciones:
Figura 1: f (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) = 0
Donde la superficie, no está estrictamente en el espacio real, lo estarı́a si se trataran de las coordenadas
cartesianas de lo contrario serı́a otra superficie; se puede restringir el movimiento de la partı́cula en una
esfera y obedecerı́a a x2 + y 2 + z 2 = 1 (una ecuación de ligadura) y en la figura 1 se escribirı́an r, θ, ϕ y con
r = 1,lo que produce un plano con r = 1 y paralelo al plano θ, ϕ (véase la figura 1).
Cuando se hace referencia al desplazmiento virtual, se tiene:
∂f ∂f ∂f
δξ1 + δξ2 + δξ3 = 0 (7)
∂ξ1 ∂ξ2 ∂ξ3
∇f = λR (8)
R · δr = 0 (9)
Es decir, un gradiente el cual será perpendicular a la superficie y en consecuencia, los desplazamientos
virtuales son perpendiculares al gradiente de la función en el espacio de configuraciones y proporcional a la
fuerza de ligadura.
2 Ejercicio
Posteriormente luego de finalización de la lectura del protocolo, se planteó un ejercicio para la clase, que
consistı́a en dadas cuatro barras (cuya longitud es L) de algún material que forman un romboide, una barra
incrustada en el centro cuya masa es despreciable, y una masa colgante de uno de los vértices de la siguinete
manera:
2
