Protocolo #18
Mecánica teórica
Sofı́a Estrada Babativa∗
Clase 28 Marzo 2023
Se da inicio a la clase haciendo la lectura del protocolo anterior. A partir de allı́, se procede a finalizar el
último ejercicio propuesto, que consta de hallar las ecuaciones de movimiento de un péndulo cuya longitud varı́a
con la elongación de un resorte como se muestra en la Figura 1.
Figure 1: Ejercicio péndulo con resorte.
En un primer momento, se soluciona el ejercicio por medio de la ecuación de segunda especie de Euler-
Langrange (ecuación (1)).
d ∂L ∂L
− =0 (1)
dt ∂ q̇j ∂qj
Recordando que el lagrangiano L=T-V, se escriben entonces las expresiones para las energı́as cinética y poten-
cial. Del ejercicio anterior se tiene que, como lo expresa la ecuación (2):
1
T = m(ṙ2 + r2 θ̇2 ) (2)
2
Y para la energı́a potencial, ahora se debe considerar, además de la energı́a potencial gravitacional, también
la energı́a potencial elástica, de tal manera que:
V = V1 + V2 (3)
V1 = −mgy = −mgrcosθ (4)
1 2 1
kx = k∆2
V2 = (5)
2 2
Reconociendo a delta como la elongación del resorte, se plantea ∆ = r − r0 , quedando entonces:
1
V2 = k(r − r0 )2 (6)
2
Y, por lo tanto:
1
V = −mgrcosθ + k(r − r0 )2 (7)
2
∗ Licenciada en Fı́sica en formación. Código 20201135020.
1
, Teniendo en cuenta la ecuación (2) y la ecuación (7), se plantea el lagrangiano:
1 2 2 2 1 2
L = m(ṙ + r θ̇ ) − −mgrcosθ + k(r − r0 ) (8)
2 2
1 1
L= m(ṙ2 + r2 θ̇2 ) + mgrcosθ − k(r − r0 )2 (9)
2 2
Dado que deben tenerse tantas ecuaciones de movimiento como grados de libertad, y que, en este caso, estos
corresponden a θ y a r, deben realizarse el ejercicio, tomando qj = q1 ≡ r y qj = q2 ≡ θ.
Entonces, para qj = q1 ≡ r, se considera la ecuación (10) y se realizan las derivadas correspondientes:
d ∂L ∂L
− =0 (10)
dt ∂ ṙ ∂r
∂L
= mrθ̇2 + mgcosθ − k(r − r0 ) (11)
∂r
∂L
= mṙ (12)
∂ ṙ
d ∂L
= mr̈ (13)
dt ∂ ṙ
Reemplazando (11) y (13) en la ecuación (10), se obtiene que:
mr̈ − (mrθ̇2 + mgcosθ − k(r − r0 )) = 0 (14)
Operando signos:
mr̈ − mrθ̇2 − mgcosθ + k(r − r0 ) = 0 (15)
Ası́, la ecuación (15) representa una ecuación de movimiento para el problema.
Ahora, para qj = q1 ≡ θ, se considera la ecuación (16) y se realizan las derivadas correspondientes:
d ∂L ∂L
− =0 (16)
dt ∂ θ̇ ∂θ
∂L
= −mgrsenθ (17)
∂θ
∂L
= mθ̇r2 (18)
∂ θ̇
d ∂L
= mr2 θ̈ + 2mrṙθ̇ (19)
dt ∂ θ̇
Reemplazando (17) y (19) en (16):
mr2 θ̈ + 2mrṙθ̇ − (−mgrsenθ) = 0 (20)
mr2 θ̈ + 2mrṙθ̇ + mgrsenθ = 0 (21)
Se obtiene la ecuación (21) correspondiente a la segunda ecuación de movimiento del problema planteado. Se
tiene entonces que las ecuaciones (15) y (21), son un sistema de ecuaciones no lineales acopladas. Ahora, si se
desean plantear estas ecuaciones para cuando el péndulo se mueve con pequeñas oscilaciones, entonces se puede
asimilar esta situación con la de un resorte suspendido al cual se le agrega un objeto, el peso de este objeto
es el que causa que el resorte se elongue y vuelva después de un tiempo, a quedar en reposo. Se habla de una
elongación estática. Teniendo presente esto, y recordando que para θ <<, senθ ≈ θ y cosθ ≈ 1, entonces las
ecuaciones de movimiento quedan:
mr̈ − mrθ̇2 − mg + k(r − r0 ) = 0 (22)
mr2 θ̈ + 2mrṙθ̇ + mgrθ = 0 (23)
Estas ecuaciones siguen siendo un sistema de ecuaciones no lineales acopladas.
Para la segunda parte de este ejercicio, se hallan las fuerzas generalizadas, que, teniendo en cuenta los grados
de libertad, serán dos Qr y Qθ . Recordando la definición de fuerza generalizada:
N
X ∂xk ∂yk ∂zk
Qj = Fkx + Fky + Fkz (24)
∂qj ∂qj ∂qj
k=1
2
Mecánica teórica
Sofı́a Estrada Babativa∗
Clase 28 Marzo 2023
Se da inicio a la clase haciendo la lectura del protocolo anterior. A partir de allı́, se procede a finalizar el
último ejercicio propuesto, que consta de hallar las ecuaciones de movimiento de un péndulo cuya longitud varı́a
con la elongación de un resorte como se muestra en la Figura 1.
Figure 1: Ejercicio péndulo con resorte.
En un primer momento, se soluciona el ejercicio por medio de la ecuación de segunda especie de Euler-
Langrange (ecuación (1)).
d ∂L ∂L
− =0 (1)
dt ∂ q̇j ∂qj
Recordando que el lagrangiano L=T-V, se escriben entonces las expresiones para las energı́as cinética y poten-
cial. Del ejercicio anterior se tiene que, como lo expresa la ecuación (2):
1
T = m(ṙ2 + r2 θ̇2 ) (2)
2
Y para la energı́a potencial, ahora se debe considerar, además de la energı́a potencial gravitacional, también
la energı́a potencial elástica, de tal manera que:
V = V1 + V2 (3)
V1 = −mgy = −mgrcosθ (4)
1 2 1
kx = k∆2
V2 = (5)
2 2
Reconociendo a delta como la elongación del resorte, se plantea ∆ = r − r0 , quedando entonces:
1
V2 = k(r − r0 )2 (6)
2
Y, por lo tanto:
1
V = −mgrcosθ + k(r − r0 )2 (7)
2
∗ Licenciada en Fı́sica en formación. Código 20201135020.
1
, Teniendo en cuenta la ecuación (2) y la ecuación (7), se plantea el lagrangiano:
1 2 2 2 1 2
L = m(ṙ + r θ̇ ) − −mgrcosθ + k(r − r0 ) (8)
2 2
1 1
L= m(ṙ2 + r2 θ̇2 ) + mgrcosθ − k(r − r0 )2 (9)
2 2
Dado que deben tenerse tantas ecuaciones de movimiento como grados de libertad, y que, en este caso, estos
corresponden a θ y a r, deben realizarse el ejercicio, tomando qj = q1 ≡ r y qj = q2 ≡ θ.
Entonces, para qj = q1 ≡ r, se considera la ecuación (10) y se realizan las derivadas correspondientes:
d ∂L ∂L
− =0 (10)
dt ∂ ṙ ∂r
∂L
= mrθ̇2 + mgcosθ − k(r − r0 ) (11)
∂r
∂L
= mṙ (12)
∂ ṙ
d ∂L
= mr̈ (13)
dt ∂ ṙ
Reemplazando (11) y (13) en la ecuación (10), se obtiene que:
mr̈ − (mrθ̇2 + mgcosθ − k(r − r0 )) = 0 (14)
Operando signos:
mr̈ − mrθ̇2 − mgcosθ + k(r − r0 ) = 0 (15)
Ası́, la ecuación (15) representa una ecuación de movimiento para el problema.
Ahora, para qj = q1 ≡ θ, se considera la ecuación (16) y se realizan las derivadas correspondientes:
d ∂L ∂L
− =0 (16)
dt ∂ θ̇ ∂θ
∂L
= −mgrsenθ (17)
∂θ
∂L
= mθ̇r2 (18)
∂ θ̇
d ∂L
= mr2 θ̈ + 2mrṙθ̇ (19)
dt ∂ θ̇
Reemplazando (17) y (19) en (16):
mr2 θ̈ + 2mrṙθ̇ − (−mgrsenθ) = 0 (20)
mr2 θ̈ + 2mrṙθ̇ + mgrsenθ = 0 (21)
Se obtiene la ecuación (21) correspondiente a la segunda ecuación de movimiento del problema planteado. Se
tiene entonces que las ecuaciones (15) y (21), son un sistema de ecuaciones no lineales acopladas. Ahora, si se
desean plantear estas ecuaciones para cuando el péndulo se mueve con pequeñas oscilaciones, entonces se puede
asimilar esta situación con la de un resorte suspendido al cual se le agrega un objeto, el peso de este objeto
es el que causa que el resorte se elongue y vuelva después de un tiempo, a quedar en reposo. Se habla de una
elongación estática. Teniendo presente esto, y recordando que para θ <<, senθ ≈ θ y cosθ ≈ 1, entonces las
ecuaciones de movimiento quedan:
mr̈ − mrθ̇2 − mg + k(r − r0 ) = 0 (22)
mr2 θ̈ + 2mrṙθ̇ + mgrθ = 0 (23)
Estas ecuaciones siguen siendo un sistema de ecuaciones no lineales acopladas.
Para la segunda parte de este ejercicio, se hallan las fuerzas generalizadas, que, teniendo en cuenta los grados
de libertad, serán dos Qr y Qθ . Recordando la definición de fuerza generalizada:
N
X ∂xk ∂yk ∂zk
Qj = Fkx + Fky + Fkz (24)
∂qj ∂qj ∂qj
k=1
2
