Protocolo No 17
Mecánica Teorica - Carlos Efraı́n Jácome
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas
Licenciatura en Fı́sica
Fabian Camilo Garcia Gonzalez - 20192135006
Clase del 27 de marzo de 2023
Se inicia la sesión con la finalidad de desarrollar dos ejercicios.
Problema del péndulo
Figura 1: Diagrama de fuerzas del péndulo simple
Se tiene un péndulo simple para el cual se requiere hallar las ecuaciones de movimiento con los métodos
de Lagrange de primera y segunda especie. Por lo tanto si la ecuación de Lagrange de segunda especie
indica:
d ∂L ∂L
( )− =0 (1)
dt ∂ q̇1 ∂q1
Por lo tanto es necesario hallar el Lagrangiano, que esta dado por:
L=T −V (2)
Por lo que se hallara la energı́a cinética para el péndulo de la forma que indica las siguientes ecuaciones,
estableciendo las coordenadas del objetos en los siguientes puntos, de acuerdo al eje de coordenadas
establecido:
1
, Figura 2:Diagrama para hallar la energia cinetica
x = rsen(θ) (3)
y = rcos(θ)
Derivando se obtiene:
ẋ = ṙsen(θ) + rθ̇cos(θ) (4)
ẏ = ṙcos(θ) − rθ̇sen(θ)
Reemplazando estos valores de velocidad en la ecuación de energı́a cinética ??.
m 2
T = (ẋ + ẏ 2 ) (5)
2
m
T = ((ṙsen(θ) + rθ̇cos(θ))2 + (rcos(θ) − rθ̇sen(θ))2 ) (6)
2
m 2
T = (ṙ sen2 (θ)+r2 θ̇2 cos2 (θ)+2ṙ2 sen(θ)θ̇cos(θ)+r2 cos2 (θ)+r2 θ̇2 sen2 (θ)−2r2 cos(θ)θ̇sen(θ)) (7)
2
Simplificando, se obtienen la energı́a cinética para un sistema de coordenadas polares.
m 2
T = (ṙ + r2 θ̇2 ) (8)
2
Debido a que la longitud del péndulo es l = r, se sabe que la derivada de una constante es igual a 0,
por lo tanto de esta queda lo siguiente:
m
T = (r2 θ̇2 ) (9)
2
Si se sabe que la partı́cula cuenta con una fuerza potencial gravitacional, se tiene que:
d(U )
= mg (10)
dy
U = mgy (11)
Reemplazando en la ecuación de Lagrange de segunda especie 1:
m 2 2
L= (l θ̇ ) − mglcos(θ) (12)
2
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Mecánica Teorica - Carlos Efraı́n Jácome
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas
Licenciatura en Fı́sica
Fabian Camilo Garcia Gonzalez - 20192135006
Clase del 27 de marzo de 2023
Se inicia la sesión con la finalidad de desarrollar dos ejercicios.
Problema del péndulo
Figura 1: Diagrama de fuerzas del péndulo simple
Se tiene un péndulo simple para el cual se requiere hallar las ecuaciones de movimiento con los métodos
de Lagrange de primera y segunda especie. Por lo tanto si la ecuación de Lagrange de segunda especie
indica:
d ∂L ∂L
( )− =0 (1)
dt ∂ q̇1 ∂q1
Por lo tanto es necesario hallar el Lagrangiano, que esta dado por:
L=T −V (2)
Por lo que se hallara la energı́a cinética para el péndulo de la forma que indica las siguientes ecuaciones,
estableciendo las coordenadas del objetos en los siguientes puntos, de acuerdo al eje de coordenadas
establecido:
1
, Figura 2:Diagrama para hallar la energia cinetica
x = rsen(θ) (3)
y = rcos(θ)
Derivando se obtiene:
ẋ = ṙsen(θ) + rθ̇cos(θ) (4)
ẏ = ṙcos(θ) − rθ̇sen(θ)
Reemplazando estos valores de velocidad en la ecuación de energı́a cinética ??.
m 2
T = (ẋ + ẏ 2 ) (5)
2
m
T = ((ṙsen(θ) + rθ̇cos(θ))2 + (rcos(θ) − rθ̇sen(θ))2 ) (6)
2
m 2
T = (ṙ sen2 (θ)+r2 θ̇2 cos2 (θ)+2ṙ2 sen(θ)θ̇cos(θ)+r2 cos2 (θ)+r2 θ̇2 sen2 (θ)−2r2 cos(θ)θ̇sen(θ)) (7)
2
Simplificando, se obtienen la energı́a cinética para un sistema de coordenadas polares.
m 2
T = (ṙ + r2 θ̇2 ) (8)
2
Debido a que la longitud del péndulo es l = r, se sabe que la derivada de una constante es igual a 0,
por lo tanto de esta queda lo siguiente:
m
T = (r2 θ̇2 ) (9)
2
Si se sabe que la partı́cula cuenta con una fuerza potencial gravitacional, se tiene que:
d(U )
= mg (10)
dy
U = mgy (11)
Reemplazando en la ecuación de Lagrange de segunda especie 1:
m 2 2
L= (l θ̇ ) − mglcos(θ) (12)
2
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