Protocolo No. 16
Mecánica Teórica - Carlos Efraı́n Jácome
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Licenciatura en Fı́sica
Melanie Andrea Leal Rojas - 20192135057
Clase 22 de marzo de 2023
La clase inicia recalcando la ecuación número 28 del prótocolo anterior
Å ã Å ã
δxk δyk δzk d δT δT
Fkx + Fky + Fkz = −
δqj δqj δqj dt δ q̇j δqj
Habiendo usado en la deducción matemática las propiedades de intercambio y de eliminación de
términos, y en la deducción fı́sica el carácter ideal de las ligaduras, esto implica que podamos escribir
la ecuación (28) como Å ã
δ δT δT
− = Qj (1)
δt δ q̇j δqj
Siendo j = 1, 2, ..., n y n = 3N − m.
Ası́ mismo, se ha considerado en la transformación de coordenadas que las ligaduras pueden ser de
naturaleza reonómica pero exclusivamente holonómica. xk = xk (q1 , ..., qn , t).
La implicación de que las ligaduras sean holonomicas se ve en la disminución de números de grados
de libertad, pasando de 3N coordenadas a m coordenadas, siendo n el número de ligaduras y 3N el
número inicial de grados de libertad (n = 3N − m).
Por otro lado, el término t tiene que ver con:
La ligadura además de ser holonomica es reonomica.
El sistema es movil, en partı́cular no inercial, siendo este no un único caso.
Por lo tanto, la ecuación (1) es valı́da para sistemas no inerciales. Sin embargo, la energı́a cinética
solo se mide en el sistema inercial. Esto nos ha llevado a
Å ã N Å ã
δ δT δT X δxk δyk δzk
− = Fkx + Fky + Fkz (2)
δt δ q̇j δqj δqj δqj δqj
k=1
Escribiendolo como producto punto
N
X δ⃗rk
F⃗k · = Qj
δqj
k=1
Siendo Qj la fuerza generalizada, la cual solo depende de j.
Llegando a lo anteriormente obtenido
Å ã
δ δT δT
− = Qj (3)
δt δ q̇j δqj
1
, donde j = 1, 2, ..., n − 3, n y n = 3N − m. Pasando de 3N ecuaciones a n ecuaciones. Esta ecuación
(3) se conoce como ecuación de Euler-Lagrange de primera especie.
[L] [aj ] = [F ]
qj
Qj
[ang] [aj ] = [M ]
Qj tiene que ver con la dimensión que tenga la coordenada generalizada, es decir, Qj y qj son conjuga-
das, sı́ la dimensión es radial, la fuerza generalizada tiene magnitudes de momento de fuerza. Pueden
dar otras magnitudes dependiendo de la magnitud que tenga qj .
¿Qué sucede sı́ Fk es conservativa?
Lo primero que debemos saber es que la fuerza conservativa es un gradiente de potencial (vease la
ecuación (4)), teniendo como consecuencia que el trabajo realizado por esa fuerza sea independiente
del camino que se sigue para llevar la partı́cula de un punto A a un punto B, siendo lo único importante
el punto inicial (A) y el punto final (B). Otro punto a destacar es que la energı́a mecánica se conserva.
F⃗k = −∇V
⃗ (4)
Teniendo en cuenta la siguiente función
V (r1 , r2 , ..., rN ) (5)
Es un error decir que la fuerza es
F = −∇V (r, t) (6)
Ya que, sı́ tenemos una fuerza conservativa, y sabemos que la energı́a es igual a la energı́a cinética
más la potencial
F = T + V = cte (7)
Pero si la energı́a potencial depende del tiempo
F = T + V (t) ̸= cte (8)
Estamos diciendo que no conserva energı́a. Por esto, la función no puede depender del tiempo.
En este orden de ideas, lo primero que debemos tener en cuenta es que
F⃗ = −∇V
⃗ (⃗r) (9)
Sı́ tenemos n partı́culas, vamos a suponer lo siguiente
F⃗k = −∇ ⃗ kV
Å ã
⃗ δV δV δV
Fk = î + ĵ + k̂ (10)
δxk δyk δzk
2
Mecánica Teórica - Carlos Efraı́n Jácome
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Licenciatura en Fı́sica
Melanie Andrea Leal Rojas - 20192135057
Clase 22 de marzo de 2023
La clase inicia recalcando la ecuación número 28 del prótocolo anterior
Å ã Å ã
δxk δyk δzk d δT δT
Fkx + Fky + Fkz = −
δqj δqj δqj dt δ q̇j δqj
Habiendo usado en la deducción matemática las propiedades de intercambio y de eliminación de
términos, y en la deducción fı́sica el carácter ideal de las ligaduras, esto implica que podamos escribir
la ecuación (28) como Å ã
δ δT δT
− = Qj (1)
δt δ q̇j δqj
Siendo j = 1, 2, ..., n y n = 3N − m.
Ası́ mismo, se ha considerado en la transformación de coordenadas que las ligaduras pueden ser de
naturaleza reonómica pero exclusivamente holonómica. xk = xk (q1 , ..., qn , t).
La implicación de que las ligaduras sean holonomicas se ve en la disminución de números de grados
de libertad, pasando de 3N coordenadas a m coordenadas, siendo n el número de ligaduras y 3N el
número inicial de grados de libertad (n = 3N − m).
Por otro lado, el término t tiene que ver con:
La ligadura además de ser holonomica es reonomica.
El sistema es movil, en partı́cular no inercial, siendo este no un único caso.
Por lo tanto, la ecuación (1) es valı́da para sistemas no inerciales. Sin embargo, la energı́a cinética
solo se mide en el sistema inercial. Esto nos ha llevado a
Å ã N Å ã
δ δT δT X δxk δyk δzk
− = Fkx + Fky + Fkz (2)
δt δ q̇j δqj δqj δqj δqj
k=1
Escribiendolo como producto punto
N
X δ⃗rk
F⃗k · = Qj
δqj
k=1
Siendo Qj la fuerza generalizada, la cual solo depende de j.
Llegando a lo anteriormente obtenido
Å ã
δ δT δT
− = Qj (3)
δt δ q̇j δqj
1
, donde j = 1, 2, ..., n − 3, n y n = 3N − m. Pasando de 3N ecuaciones a n ecuaciones. Esta ecuación
(3) se conoce como ecuación de Euler-Lagrange de primera especie.
[L] [aj ] = [F ]
qj
Qj
[ang] [aj ] = [M ]
Qj tiene que ver con la dimensión que tenga la coordenada generalizada, es decir, Qj y qj son conjuga-
das, sı́ la dimensión es radial, la fuerza generalizada tiene magnitudes de momento de fuerza. Pueden
dar otras magnitudes dependiendo de la magnitud que tenga qj .
¿Qué sucede sı́ Fk es conservativa?
Lo primero que debemos saber es que la fuerza conservativa es un gradiente de potencial (vease la
ecuación (4)), teniendo como consecuencia que el trabajo realizado por esa fuerza sea independiente
del camino que se sigue para llevar la partı́cula de un punto A a un punto B, siendo lo único importante
el punto inicial (A) y el punto final (B). Otro punto a destacar es que la energı́a mecánica se conserva.
F⃗k = −∇V
⃗ (4)
Teniendo en cuenta la siguiente función
V (r1 , r2 , ..., rN ) (5)
Es un error decir que la fuerza es
F = −∇V (r, t) (6)
Ya que, sı́ tenemos una fuerza conservativa, y sabemos que la energı́a es igual a la energı́a cinética
más la potencial
F = T + V = cte (7)
Pero si la energı́a potencial depende del tiempo
F = T + V (t) ̸= cte (8)
Estamos diciendo que no conserva energı́a. Por esto, la función no puede depender del tiempo.
En este orden de ideas, lo primero que debemos tener en cuenta es que
F⃗ = −∇V
⃗ (⃗r) (9)
Sı́ tenemos n partı́culas, vamos a suponer lo siguiente
F⃗k = −∇ ⃗ kV
Å ã
⃗ δV δV δV
Fk = î + ĵ + k̂ (10)
δxk δyk δzk
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