Protocolo No 15 Mecánica Teorica
Stiven Madrid Terán a 20201135062
Docente: Carlos Efraı́n Jácome
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Tenemos N partı́culas caracterizadas por sus respectivos vectores posición ⃗r1 , ..., ⃗rN .
Tomamos la k − ésima partı́cula y le aplicamos la segunda ley de Newton, la expresamos
escalarmente
Fkx + Rkx = mk ẍk (1)
Fky + Rky = mk ÿk (2)
Fkz + Rkz = mk z̈k (3)
En las ecuaciones (1),(2) y (3) las respectivas Rk dan razón de las fuerzas de ligaduras, las
cuales son ideales.
∂yk
Si multiplicamos las ecuaciones (1), (2) y (3) por los términos ∂x ∂zk
∂qj , ∂qj y ∂qj , respectiva-
k
mente nos queda que
∂xk ∂xk ∂xk
Fkx + Rkx = mk ẍk (4)
∂qj ∂qj ∂qj
∂yk ∂yk ∂yk
Fky + Rky = mk ÿk (5)
∂qj ∂qj ∂qj
∂zk ∂zk ∂zk
Fkz + Rkz = mk z̈k (6)
∂qj ∂qj ∂qj
Sumando las ecuaciones (4), (5) y (6) resulta
∂xk ∂xk ∂yk ∂yk ∂zk ∂zk ∂xk ∂yk ∂zk
Fkx + Rkx + Fky + Rky + Fkz + Rkz = mk ẍk + ÿk + z̈k
∂qj ∂qj ∂qj ∂qj ∂qj ∂qj ∂qj ∂qj ∂qj
(7)
Volveremos a la ecuación (7) mas adelante, por lo pronto se demostrarán dos propiedades
de las derivadas parciales, dichas propiedades serán importantes en lo que sigue.
Propiedad de eliminación de punto:
∂ ẋk ∂xk
= (8)
∂ q̇i ∂qi
Demostración:
1
, dxk
ẋk =
dt
Pero se sabe que xk = xk (q1 , ..., qn , t) por lo que al aplicar la regla de la cadena nos
queda
n n
dxk X ∂xk dqi ∂xx X ∂xk ∂xx
ẋk = = + = q˙i +
dt i=1
∂qi dt ∂t i=1
∂qi ∂t
Si derivamos ẋk parcialmente con respecto a q̇j
n
∂ ẋk ∂ X ∂xk ∂ ∂xx
= q˙i +
∂ q̇j ∂ q̇j i=1 ∂qi ∂ q̇j ∂t
n
∂ ẋk X ∂xk ∂ q˙i ∂ ∂xx
= +
∂ q̇j i=1
∂qi ∂ q̇j ∂ q̇j ∂t
Como xk = xk (q1 , ..., qn , t) se sigue que la derivada parcial con respecto al tiempo de xk
será función también de (q1 , ..., qn , t), luego, si a este resultado se le deriva parcialmente
con respecto a q̇j se verifica que dicha derivada será cero, este es precisamente el caso
del segundo término del lado derecho de la ecuación anterior, por lo tanto, este término
en dicha ecuación se anula. Respecto al primer miembro del lado derecho de la ecuación
anterior se tiene que el término ∂∂q̇q̇ji dentro de la sumatoria sólo será diferente de cero
cuando i = j, en el caso de que se verifique i = j el término en cuestión valdrá uno,
empero, como ∂∂q̇q̇ji está multiplicando a cada término en la sumatoria para cada valor de
i, se sigue que de la suma, en virtud de lo dicho anteriormente, solo quedará el término
∂xk
∂qj . Por lo tanto nos queda que
∂ ẋk ∂xk
=
∂ q̇j ∂qj
Esto verifica (8).
Propiedad de intercambio:
d ∂xk ∂ ẋk
= (9)
dt ∂qj ∂qj
Demostración: Se sabe que
n n
dxk X ∂xk dqi ∂xx X ∂xk ∂xx
ẋk = = + = q˙i +
dt i=1
∂qi dt ∂t i=1
∂qi ∂t
y
2
Stiven Madrid Terán a 20201135062
Docente: Carlos Efraı́n Jácome
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Tenemos N partı́culas caracterizadas por sus respectivos vectores posición ⃗r1 , ..., ⃗rN .
Tomamos la k − ésima partı́cula y le aplicamos la segunda ley de Newton, la expresamos
escalarmente
Fkx + Rkx = mk ẍk (1)
Fky + Rky = mk ÿk (2)
Fkz + Rkz = mk z̈k (3)
En las ecuaciones (1),(2) y (3) las respectivas Rk dan razón de las fuerzas de ligaduras, las
cuales son ideales.
∂yk
Si multiplicamos las ecuaciones (1), (2) y (3) por los términos ∂x ∂zk
∂qj , ∂qj y ∂qj , respectiva-
k
mente nos queda que
∂xk ∂xk ∂xk
Fkx + Rkx = mk ẍk (4)
∂qj ∂qj ∂qj
∂yk ∂yk ∂yk
Fky + Rky = mk ÿk (5)
∂qj ∂qj ∂qj
∂zk ∂zk ∂zk
Fkz + Rkz = mk z̈k (6)
∂qj ∂qj ∂qj
Sumando las ecuaciones (4), (5) y (6) resulta
∂xk ∂xk ∂yk ∂yk ∂zk ∂zk ∂xk ∂yk ∂zk
Fkx + Rkx + Fky + Rky + Fkz + Rkz = mk ẍk + ÿk + z̈k
∂qj ∂qj ∂qj ∂qj ∂qj ∂qj ∂qj ∂qj ∂qj
(7)
Volveremos a la ecuación (7) mas adelante, por lo pronto se demostrarán dos propiedades
de las derivadas parciales, dichas propiedades serán importantes en lo que sigue.
Propiedad de eliminación de punto:
∂ ẋk ∂xk
= (8)
∂ q̇i ∂qi
Demostración:
1
, dxk
ẋk =
dt
Pero se sabe que xk = xk (q1 , ..., qn , t) por lo que al aplicar la regla de la cadena nos
queda
n n
dxk X ∂xk dqi ∂xx X ∂xk ∂xx
ẋk = = + = q˙i +
dt i=1
∂qi dt ∂t i=1
∂qi ∂t
Si derivamos ẋk parcialmente con respecto a q̇j
n
∂ ẋk ∂ X ∂xk ∂ ∂xx
= q˙i +
∂ q̇j ∂ q̇j i=1 ∂qi ∂ q̇j ∂t
n
∂ ẋk X ∂xk ∂ q˙i ∂ ∂xx
= +
∂ q̇j i=1
∂qi ∂ q̇j ∂ q̇j ∂t
Como xk = xk (q1 , ..., qn , t) se sigue que la derivada parcial con respecto al tiempo de xk
será función también de (q1 , ..., qn , t), luego, si a este resultado se le deriva parcialmente
con respecto a q̇j se verifica que dicha derivada será cero, este es precisamente el caso
del segundo término del lado derecho de la ecuación anterior, por lo tanto, este término
en dicha ecuación se anula. Respecto al primer miembro del lado derecho de la ecuación
anterior se tiene que el término ∂∂q̇q̇ji dentro de la sumatoria sólo será diferente de cero
cuando i = j, en el caso de que se verifique i = j el término en cuestión valdrá uno,
empero, como ∂∂q̇q̇ji está multiplicando a cada término en la sumatoria para cada valor de
i, se sigue que de la suma, en virtud de lo dicho anteriormente, solo quedará el término
∂xk
∂qj . Por lo tanto nos queda que
∂ ẋk ∂xk
=
∂ q̇j ∂qj
Esto verifica (8).
Propiedad de intercambio:
d ∂xk ∂ ẋk
= (9)
dt ∂qj ∂qj
Demostración: Se sabe que
n n
dxk X ∂xk dqi ∂xx X ∂xk ∂xx
ẋk = = + = q˙i +
dt i=1
∂qi dt ∂t i=1
∂qi ∂t
y
2
