UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN FÍSICA
PROTOCOLO #14
Miércoles 15 de marzo
Samuel E. Quevedo R.
Mecánica teórica.
La clase inicia con la lectura del protocolante, luego de esto, el docente menciona el tema a trabajar para
la clase, en este caso, el teorema de Euler para funciones homogéneas, cuya definición es:
Sea f(x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ) homogénea de orden r en las variables x1 , ..., xn ; Entonces:
∂f ∂f ∂f
x1 + x2 + ... + xn = rf (x1 , ..., xn , y1 , ..., ym )
∂x1 ∂x2 ∂xn
O de otra forma
n
X ∂f
xi = rf (x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ) (1)
∂xi
i=1
Aclaración: r es orden de homogeneidad
Después de plantear lo anterior, se propuso el siguiente ejercicio de aplicación para el teorema.
Haciendo uso del teorema de Euler, mostrar que la energı́a cinética es homogénea de orden dos en las
velocidades generalizadas teniendo en cuenta que el sistema de referencia es inercial (fijo) y el sistema
mecánico es holónomo y esclerónomo.
Para resolverlo, partimos de la ecuación (7) del protocolo #12 de la energı́a cinética, ya que en ella se ve
explı́citamente la dependencia de las derivadas parciales de las posiciones con respecto al tiempo para lo
que se llamó T0 (términos constantes) y T1 (términos lineales), lo que rápidamente lleva a la conclusión
de que dichas expresiones se pueden cancelar por las condiciones del ejercicio, quedando solo ası́ las
cuadráticas (Ec. 2)
3N k=1
1X X mk ∂xk ∂xk
T = q̇i q̇j [( )( )] (2)
2 2 ∂qi ∂qj
i=1 N
1
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
LICENCIATURA EN FÍSICA
PROTOCOLO #14
Miércoles 15 de marzo
Samuel E. Quevedo R.
Mecánica teórica.
La clase inicia con la lectura del protocolante, luego de esto, el docente menciona el tema a trabajar para
la clase, en este caso, el teorema de Euler para funciones homogéneas, cuya definición es:
Sea f(x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ) homogénea de orden r en las variables x1 , ..., xn ; Entonces:
∂f ∂f ∂f
x1 + x2 + ... + xn = rf (x1 , ..., xn , y1 , ..., ym )
∂x1 ∂x2 ∂xn
O de otra forma
n
X ∂f
xi = rf (x1 , ..., xn , y1 , ..., ym ) (1)
∂xi
i=1
Aclaración: r es orden de homogeneidad
Después de plantear lo anterior, se propuso el siguiente ejercicio de aplicación para el teorema.
Haciendo uso del teorema de Euler, mostrar que la energı́a cinética es homogénea de orden dos en las
velocidades generalizadas teniendo en cuenta que el sistema de referencia es inercial (fijo) y el sistema
mecánico es holónomo y esclerónomo.
Para resolverlo, partimos de la ecuación (7) del protocolo #12 de la energı́a cinética, ya que en ella se ve
explı́citamente la dependencia de las derivadas parciales de las posiciones con respecto al tiempo para lo
que se llamó T0 (términos constantes) y T1 (términos lineales), lo que rápidamente lleva a la conclusión
de que dichas expresiones se pueden cancelar por las condiciones del ejercicio, quedando solo ası́ las
cuadráticas (Ec. 2)
3N k=1
1X X mk ∂xk ∂xk
T = q̇i q̇j [( )( )] (2)
2 2 ∂qi ∂qj
i=1 N
1
