Apuntes de mecánica teórica

Mecánica teórica
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Licenciatura en fı́sica

Protocolo No 12
Sesión del 13 de marzo de 2023

Laura Tatiana Cobos Valbuena - 20201135036



Se inicia la sesión haciendo mención a la energı́a cinética para sistemas incerciales en una partı́cula y se
propone ahora un sistema de N partı́culas haciendo una transformación en coordenadas generalizadas. De
manera que las expresiones de la k-ésima partı́cula se definen de la siguiente manera.

xk = xk (q1 , q2 , ..., q3N , t)
yk = yk (q1 , q2 , ..., q3N , t)
zk = zk (q1 , q2 , ..., q3N , t)

La energı́a cinética entonces, será la suma de las energı́as de las N partı́culas definida por la ecuación 1.
N
X mk
T = (x˙k 2 + y˙k 2 + z˙k 2 ) (1)
2
k=1

Se aplica una transformación generalizada como en la ecuación 2 para cada una de las coordenadas.
3N
X ∂xk ∂xk
x˙k = q˙i + (2)
i=1
∂qi ∂t

Se eleva cada uno de los términos al cuadrado para llevarlos a la forma general.
( 3N )  3N 
X ∂xk ∂x X ∂x ∂x 
x˙2k =
k k k
q˙i + q˙j + (3)
i=1
∂qi ∂t  j=1 ∂qj ∂t 

3N X
3N    3N 3N  2
∂xk ∂xk ∂xk ∂xk X ∂xk ∂xk ∂xk
x˙2k =
X X
q˙i q˙j + q˙i + q˙j + (4)
i=1 j=1
∂qi ∂qj i=1
∂qi ∂t j=1
∂qj ∂t ∂t

El valor de la suma es independiente del ı́ndice de la sumatoria, por lo que este es un ı́ndice mudo y se
puede reescribir como j → i.
3N X
3N    3N     2
∂xk ∂xk ∂xk ∂xk ∂xk
x˙2k =
X X
q˙i q˙j + 2 q˙i + (5)
i=1 j=1
∂qi ∂qj i=1
∂qi ∂t ∂t

Luego se hace lo mismo para el resto de coordenadas y se reemplaza en la ecuación 1 obteniendo lo
siguiente. 
N 3N    3N   
1 X X ∂xk ∂xk X ∂yk ∂yk
T = mk  q˙i q˙j + q˙i q˙j (6)
2 i,j=1
∂qi ∂qj i,j=1
∂qi ∂qj
k=1

3N    3N    3N   
X ∂zk ∂zk X ∂xk ∂xk X ∂yk ∂yk
+ q˙i q˙j + 2 q˙i + 2 q˙i
i,j=1
∂qi ∂qj i=1
∂qi ∂t i=1
∂qi ∂t


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