Protocolo No 11
Mecánica Teorica - Carlos Efraı́n Jácome
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas
Licenciatura en Fı́sica
Fabián Camilo Garcı́a González - 20192135006
Clase del 30 de mayo de 2023
Se inicia la clase con la tematica de la invarianza Lagrangiana, con la discusion acerca del problema
de braquistócrona, relacionado desde su significado al minimo tiempo, donde se considera que una
particula en un plano se mueve a lo largo de un alambre sin fricción, bajo la acción de la gravedad,
considerando una trabajo ideal, como se observa en la Figura 1.
Figura 1: Diagrama de la braquistócrona.
Entonces si se tiene la rapidez:
ds
v= (1)
dt
vdt = ds (2)
ds
dt = (3)
v
El tiempo total estara definido de la siguiente manera, buscando llegar al mı́nimo tiempo:
Z T Z t=T
ds
T = dt = (4)
0 t=0 v
1
, Partiendo del principio de conservación de la energia.
Considerando una energia potencial equivalente a:
Ei p = mgy0 (5)
Además la energı́a en cuualquier instante de tiempo se establece como:
1
E = mgy + m(ẋ2 + ẏ 2 ) (6)
2
Despejando la velocidad: r
2
v= (E − mgy) (7)
m
Definiendo el diferencial de arco: p
ds = dx2 + dy 2 (8)
Que es equivalente a: r
dy 2
ds = 1+(
) (9)
dx
Remplazando en la ecuación de la acción o tiempo total descrito en la ecuación 4:
Z xf p
1 + y ′2
T = q dx (10)
2
x0
m (E − mgy)
Ası́ las cosas la ecuación a minimizar es 10,su correspondiente en matemáticas esto se define lo anterior
se define como el Lagrangiano y ı́ndice de ejecución. Para lograr minimizar la ecuación es necesario
que la variación sea igual a cero.
xf
p
1 + y ′2
Z
δT = 0 = q dx = 0 (11)
2
x0
m (E − mgy)
En forma funcional se define el Lagrangiano como F:
p
1 + y ′2
F =q (12)
2
m (E − mgy)
Z xf
J[y] = F (y, y ′ , x)dx (13)
x0
Analogo a lo observado en el curso se ´puede definir de la ecuación 13, donde y hace las veces de q,
y ′ las veces de q̇ y x actua como el tiempo.
J[y + δy] − J[y] ≥ 0 (14)
El valor de la ecuación 14 debe ser mayor o igual a cero con el fin de que se hallar un mı́nimo.
σy = ϵh(x) (15)
Por series de Taylor se tiene que:
∆x2 ′′ ∆x3 ′′′
f (x + ∆x) − f (x) = ∆xf ′ (x) + f (x) + f (x) + ... (16)
2! 3!
2
Mecánica Teorica - Carlos Efraı́n Jácome
Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas
Licenciatura en Fı́sica
Fabián Camilo Garcı́a González - 20192135006
Clase del 30 de mayo de 2023
Se inicia la clase con la tematica de la invarianza Lagrangiana, con la discusion acerca del problema
de braquistócrona, relacionado desde su significado al minimo tiempo, donde se considera que una
particula en un plano se mueve a lo largo de un alambre sin fricción, bajo la acción de la gravedad,
considerando una trabajo ideal, como se observa en la Figura 1.
Figura 1: Diagrama de la braquistócrona.
Entonces si se tiene la rapidez:
ds
v= (1)
dt
vdt = ds (2)
ds
dt = (3)
v
El tiempo total estara definido de la siguiente manera, buscando llegar al mı́nimo tiempo:
Z T Z t=T
ds
T = dt = (4)
0 t=0 v
1
, Partiendo del principio de conservación de la energia.
Considerando una energia potencial equivalente a:
Ei p = mgy0 (5)
Además la energı́a en cuualquier instante de tiempo se establece como:
1
E = mgy + m(ẋ2 + ẏ 2 ) (6)
2
Despejando la velocidad: r
2
v= (E − mgy) (7)
m
Definiendo el diferencial de arco: p
ds = dx2 + dy 2 (8)
Que es equivalente a: r
dy 2
ds = 1+(
) (9)
dx
Remplazando en la ecuación de la acción o tiempo total descrito en la ecuación 4:
Z xf p
1 + y ′2
T = q dx (10)
2
x0
m (E − mgy)
Ası́ las cosas la ecuación a minimizar es 10,su correspondiente en matemáticas esto se define lo anterior
se define como el Lagrangiano y ı́ndice de ejecución. Para lograr minimizar la ecuación es necesario
que la variación sea igual a cero.
xf
p
1 + y ′2
Z
δT = 0 = q dx = 0 (11)
2
x0
m (E − mgy)
En forma funcional se define el Lagrangiano como F:
p
1 + y ′2
F =q (12)
2
m (E − mgy)
Z xf
J[y] = F (y, y ′ , x)dx (13)
x0
Analogo a lo observado en el curso se ´puede definir de la ecuación 13, donde y hace las veces de q,
y ′ las veces de q̇ y x actua como el tiempo.
J[y + δy] − J[y] ≥ 0 (14)
El valor de la ecuación 14 debe ser mayor o igual a cero con el fin de que se hallar un mı́nimo.
σy = ϵh(x) (15)
Por series de Taylor se tiene que:
∆x2 ′′ ∆x3 ′′′
f (x + ∆x) − f (x) = ∆xf ′ (x) + f (x) + f (x) + ... (16)
2! 3!
2
