Protocolo - Mecánica Teórica
Jean Paul Rodríguez Agredo
Fecha de la clase: 23/05/2023
1. Máquina de Atwood pero con masa variable
La clase da inicio con un ejemplo sobre un ejercicio ampliamente conocido en cursos
de mecánica clásica, donde se estudia un sistema llamado la máquina de Atwood,
que consiste básicamente de dos objetos atados a cada extremo de una cuerda, la cual
pasa por una polea sostenida por el techo. Ahora, si se considera que uno de estos dos
objetos es un balde o cubeta llena de agua, el cual tiene dos orificios opuestos entre sí
por donde se expulsa agua (véase la Figura 1), ¿cómo es el movimiento de este
nuevo sistema?
Figura 1: Representación de la máquina de Atwood pero con masa variable. Fuente: el
autor.
En la Figura 1 se evidencia este sistema particular, donde además de tomarse que
hacia abajo es positivo, se tiene que: l es la longitud total de la cuerda, x es la posición
del fondo del balde con agua siendo expulsada de él, junto con las variables ma como
la masa del agua (que está en el balde, no es la que sale), mc la masa del balde que
guarda el agua (esta no varía), y l − x como la posición del fondo del otro objeto con
masa M2 (esta tampoco cambia).
Aunque ya descrito el problema en esencia, se deben aclarar ciertas características
para su resolución, tales como:
1
, La polea es de tipo ideal, es decir, no tiene fricción con la cuerda ni tampoco
importa su radio.
La polea de igual forma es simplemente un dispositivo que cambia la dirección de
la fuerza.
La cuerda no posee masa y es inextensible.
Luego, se parte de la ecuación de Euler-Lagrange de primera especie, como se ve en
la expresión (1)
d ∂T ∂T
− = Qj + ψj , (1)
dt ∂ q˙j ∂qj
pero si supone que Qj es conservativa, dada por la ecuación (2), es decir, viene de
un potencial
∂V
Qj = − , (2)
∂qj
entonces la ecuación (1) se transforma en la expresión (3) obteniendo
d ∂T ∂T
− = ψj , (3)
dt ∂ q˙j ∂qj
donde esta ecuación de Euler-Lagrange solo tendrá en cuenta al intercambio de mo-
mentum ψj y no a la fuerza generalizada Qj .
Ahora, ¿cómo viene dado el intercambio de momentum? Por la expresiones (4) o (5)
X
ψj dt = εα r (4)
α
∂r
ψj = ṁu · (5)
∂qj
En este punto de la clase se hace una aclaración sobre qué ocurre dentro del balde
que tiene agua. Se presenta a continuación las conclusiones a las que se llega en este
apartado.
En primer lugar, el hecho de tapar un agujero de aquel balde provoca un cambio
en su desplazamiento horizontal (dependiendo de cuál se tape, será en un sentido o
en otro). Pero como este cubo tiene dos agujeros, los desplazamientos provocados por
estos compensan los movimientos en direcciones opuestas y de esta forma solamente se
desplaza en el eje vertical. Esto ocurre porque en ambos agujeros hay el mismo inter-
cambio de momentum.
En segundo, como se interesa saber el cómo es el movimiento del sistema, este
dependerá principalmente del vaciado del balde que tiene dos agujeros. Una forma de
caracterizar cómo se vacía dicho balde es a través de su rapidez de vaciado, por lo que
se analiza la expresión que permite esto, dada por la ecuación (6)
2
Jean Paul Rodríguez Agredo
Fecha de la clase: 23/05/2023
1. Máquina de Atwood pero con masa variable
La clase da inicio con un ejemplo sobre un ejercicio ampliamente conocido en cursos
de mecánica clásica, donde se estudia un sistema llamado la máquina de Atwood,
que consiste básicamente de dos objetos atados a cada extremo de una cuerda, la cual
pasa por una polea sostenida por el techo. Ahora, si se considera que uno de estos dos
objetos es un balde o cubeta llena de agua, el cual tiene dos orificios opuestos entre sí
por donde se expulsa agua (véase la Figura 1), ¿cómo es el movimiento de este
nuevo sistema?
Figura 1: Representación de la máquina de Atwood pero con masa variable. Fuente: el
autor.
En la Figura 1 se evidencia este sistema particular, donde además de tomarse que
hacia abajo es positivo, se tiene que: l es la longitud total de la cuerda, x es la posición
del fondo del balde con agua siendo expulsada de él, junto con las variables ma como
la masa del agua (que está en el balde, no es la que sale), mc la masa del balde que
guarda el agua (esta no varía), y l − x como la posición del fondo del otro objeto con
masa M2 (esta tampoco cambia).
Aunque ya descrito el problema en esencia, se deben aclarar ciertas características
para su resolución, tales como:
1
, La polea es de tipo ideal, es decir, no tiene fricción con la cuerda ni tampoco
importa su radio.
La polea de igual forma es simplemente un dispositivo que cambia la dirección de
la fuerza.
La cuerda no posee masa y es inextensible.
Luego, se parte de la ecuación de Euler-Lagrange de primera especie, como se ve en
la expresión (1)
d ∂T ∂T
− = Qj + ψj , (1)
dt ∂ q˙j ∂qj
pero si supone que Qj es conservativa, dada por la ecuación (2), es decir, viene de
un potencial
∂V
Qj = − , (2)
∂qj
entonces la ecuación (1) se transforma en la expresión (3) obteniendo
d ∂T ∂T
− = ψj , (3)
dt ∂ q˙j ∂qj
donde esta ecuación de Euler-Lagrange solo tendrá en cuenta al intercambio de mo-
mentum ψj y no a la fuerza generalizada Qj .
Ahora, ¿cómo viene dado el intercambio de momentum? Por la expresiones (4) o (5)
X
ψj dt = εα r (4)
α
∂r
ψj = ṁu · (5)
∂qj
En este punto de la clase se hace una aclaración sobre qué ocurre dentro del balde
que tiene agua. Se presenta a continuación las conclusiones a las que se llega en este
apartado.
En primer lugar, el hecho de tapar un agujero de aquel balde provoca un cambio
en su desplazamiento horizontal (dependiendo de cuál se tape, será en un sentido o
en otro). Pero como este cubo tiene dos agujeros, los desplazamientos provocados por
estos compensan los movimientos en direcciones opuestas y de esta forma solamente se
desplaza en el eje vertical. Esto ocurre porque en ambos agujeros hay el mismo inter-
cambio de momentum.
En segundo, como se interesa saber el cómo es el movimiento del sistema, este
dependerá principalmente del vaciado del balde que tiene dos agujeros. Una forma de
caracterizar cómo se vacía dicho balde es a través de su rapidez de vaciado, por lo que
se analiza la expresión que permite esto, dada por la ecuación (6)
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