Protocolo # 26.
Andrea Viviana Aranzalez Serrano1
Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Licenciatura en Física
Mecánica Teórica
La sesión da inicio con el problema de la máquina de Atwood que consta de dos cuerpos
en una polea ideal (dispositivo que cambia la dirección de la fuerza), que penden de una
cuerda de masa despreciable e inextensible. En un extremo de la cuerda se encuentra
una caneca con dos agujeros diametralmente opuestos por donde sale el agua, en el otro
extremo se encuentra un cuerpo de masa M2
Figura 1: Máquina de Atwood
Hallar el langrangiano y la ecuación de movimiento.
Para hallar la expresión del Langrangiano se debe hallar la energía cinética y potencial
teniendo en cuenta la dirección de cada componente que conforma el sistema. Partiendo
de la ecuación de Euler-Lagrange de primera especie,
d ∂T ∂T
( )− = Qj + ψj (1)
dt ∂ q̇j ∂qj
donde ψ es el intercambio de momento y suponiendo que Qj es conservativa es decir
que proviene de un potencial y es igual a a la expresión que da cuenta del potencial de la
fuerza generalizada.
∂V
Qj = −
∂qj
La ecuación (1) se transforma entonces en la siguiente expresión,
d ∂L ∂L
( )− = ψj (2)
dt ∂ q̇j ∂qj
1
Estudiante de Lic en Física.
1
, En las clases anteriores se llego a la expresión de ψ que establece el cambio de la masa
respecto a un tiempo en un sistema,
X ∂r
ψj dt = ϵα mα ṙα (3)
∂qj
Que es equivalente a,
∂⃗r
ψj = ṁ⃗u (4)
∂qj
Analizando más de cerca el problema antes de formular la expresión para la energía
cinética y potencial, la velocidad con la que sale el agua es horizontal y los agujeros son
de la misma naturales por lo tanto el caudal es el mismo o la cantidad de momento que
se arroja a la izquierda es la misma que a la derecha. Esto implica que en la componente
horizontal no haya variaciones pero si tiene efecto en la componente vertical por eso el
problema se trabaja en esta componente.
Figura 2: Locus del problema
ma es la masa de agua que se encuentra en el balde.
La velocidad con la que se mueve la caneca se obtiene a partir de,
d
(l − x) = −ẋ (5)
dt
Para expresar la velocidad del agua en el locus hay que mencionar que la ecuación
de Bernoulli para este caso no se tendría en cuenta porque es aplicable solo a fluidos de
régimen estacionario es decir que las condiciones del sistema no cambian, en el problema
la velocidad cambia si cambia en función de la posición y del tiempo.
Las capas del fluido se mueven hacia abajo y la dirección en la que crece el valor de
x es hacia abajo mientras que la dirección en que h aumenta es hacia arriba por lo tanto
las velocidades tienen signos opuestos,
Figura 3: Representación de la orientación de h y ḣ
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Andrea Viviana Aranzalez Serrano1
Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Licenciatura en Física
Mecánica Teórica
La sesión da inicio con el problema de la máquina de Atwood que consta de dos cuerpos
en una polea ideal (dispositivo que cambia la dirección de la fuerza), que penden de una
cuerda de masa despreciable e inextensible. En un extremo de la cuerda se encuentra
una caneca con dos agujeros diametralmente opuestos por donde sale el agua, en el otro
extremo se encuentra un cuerpo de masa M2
Figura 1: Máquina de Atwood
Hallar el langrangiano y la ecuación de movimiento.
Para hallar la expresión del Langrangiano se debe hallar la energía cinética y potencial
teniendo en cuenta la dirección de cada componente que conforma el sistema. Partiendo
de la ecuación de Euler-Lagrange de primera especie,
d ∂T ∂T
( )− = Qj + ψj (1)
dt ∂ q̇j ∂qj
donde ψ es el intercambio de momento y suponiendo que Qj es conservativa es decir
que proviene de un potencial y es igual a a la expresión que da cuenta del potencial de la
fuerza generalizada.
∂V
Qj = −
∂qj
La ecuación (1) se transforma entonces en la siguiente expresión,
d ∂L ∂L
( )− = ψj (2)
dt ∂ q̇j ∂qj
1
Estudiante de Lic en Física.
1
, En las clases anteriores se llego a la expresión de ψ que establece el cambio de la masa
respecto a un tiempo en un sistema,
X ∂r
ψj dt = ϵα mα ṙα (3)
∂qj
Que es equivalente a,
∂⃗r
ψj = ṁ⃗u (4)
∂qj
Analizando más de cerca el problema antes de formular la expresión para la energía
cinética y potencial, la velocidad con la que sale el agua es horizontal y los agujeros son
de la misma naturales por lo tanto el caudal es el mismo o la cantidad de momento que
se arroja a la izquierda es la misma que a la derecha. Esto implica que en la componente
horizontal no haya variaciones pero si tiene efecto en la componente vertical por eso el
problema se trabaja en esta componente.
Figura 2: Locus del problema
ma es la masa de agua que se encuentra en el balde.
La velocidad con la que se mueve la caneca se obtiene a partir de,
d
(l − x) = −ẋ (5)
dt
Para expresar la velocidad del agua en el locus hay que mencionar que la ecuación
de Bernoulli para este caso no se tendría en cuenta porque es aplicable solo a fluidos de
régimen estacionario es decir que las condiciones del sistema no cambian, en el problema
la velocidad cambia si cambia en función de la posición y del tiempo.
Las capas del fluido se mueven hacia abajo y la dirección en la que crece el valor de
x es hacia abajo mientras que la dirección en que h aumenta es hacia arriba por lo tanto
las velocidades tienen signos opuestos,
Figura 3: Representación de la orientación de h y ḣ
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