Protocolo #25: otra deducción de la extendida de Lagrange
Andrés Felipe Rodrı́guez Castro
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
17 de Mayo del 2023
Introducción
La clase da inicia con la remembranza de la ecuación de Lagrange extendida a la cuál se llegó la clase
anterior, la cual dice que:
d ∂T ∂T
− = Qj + Ψj
dt ∂ q˙j ∂qj
(1)
d ∂L ∂L
o − = QN
j
C
+ Ψj
dt ∂ q˙j ∂qj
en el caso de que se tenga en cuenta que Qj = QC
j + Qj
NC
. Donde Ψj es la tasa de intercambio de momentum
o fuerza generalizada de Mesherski, la cual puede ser escrita como:
d X ⃗ ∂⃗rα
Ψj = ϵα ṙα ·
dt α ∂qj
( (2)
1 si entra
con ϵα = .
−1 si sale
Luego, se establecen las siguientes actividades a realizar:
1. lectura del protocolo #24,1 con el objetivo de realizar un ejercicio de reflexión al respecto (preguntas,
aclaraciones y demás) y
2. la realización de otra deducción de la ecuación 1 empleando: ecuaciones iguales, soluciones iguales.
1. Preguntas y reflexiones respecto a la lectura
De la lectura queda la inquietud de cuáles son las consideraciones que llevan a que se llegue a la ecuación
6 del protocolo (ec. 3) entre las que se encuentra la acreción isotrópica y que las interacciones internas son
débiles.
d⃗u
F⃗m = m (3)
dt
Con el fin de responder a esta inquietud el profesor recurre a un ejemplo de una bala de cañón que está en
pleno vuelo. La bala, al no ser un objeto puntual (una partı́cula) atravieza la fontera del locus por partes
como se puede apreciar en la figura 1. Ahora bien, al ser un solo objeto, la totalidad de la bala se mueve con
una velocidad ⃗u por lo que esta no puede ser la causante del cambio del momentum del sistema fuera del
locus, por lo tanto es el cambio de masa el responsable de esto como sigue:
⃗uMA + ⃗udm = (M + dm) ⃗u . (4)
1
, 2
Entonces, el cambio en el momentum de la bala fuera del sistema es debida a la “absorción de masa” y no
debido a un cambio de velocidad de la misma1 .
t
t t
Figura 1: Representación gráfica de una bala de cañón alejándose de este después de haber sido disparada.
En rojo se encuentra la frontera del locus y se pretende mostrar cómo la bala la atraviesa representando tres
momentos t1 , t2 y t3 .
Por otro lado, tenemos el asunto de las fuerzas internas que no se hacen presentes en la ecuación 3,
se hace la aclaración de que éstas existan pero que son excluidas debido a que no representan un factor
significativo en el comportamiento del objeto (la bala). Por ejemplo, se sabe que entre el cañón y la bala hay
interacción gravitacional, pero su magnitud en comparación con la interacción gravitacional bala-tierra (que
es una fuerza externa) será despreciable.
1 La absorción de masa se refiere a que en el lapso desde t a t la bala pasa de estar parcialmente afuera (en t ) a estar
1 3 1
completamente afuera (en t3 ).
Andrés Felipe Rodrı́guez Castro
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
17 de Mayo del 2023
Introducción
La clase da inicia con la remembranza de la ecuación de Lagrange extendida a la cuál se llegó la clase
anterior, la cual dice que:
d ∂T ∂T
− = Qj + Ψj
dt ∂ q˙j ∂qj
(1)
d ∂L ∂L
o − = QN
j
C
+ Ψj
dt ∂ q˙j ∂qj
en el caso de que se tenga en cuenta que Qj = QC
j + Qj
NC
. Donde Ψj es la tasa de intercambio de momentum
o fuerza generalizada de Mesherski, la cual puede ser escrita como:
d X ⃗ ∂⃗rα
Ψj = ϵα ṙα ·
dt α ∂qj
( (2)
1 si entra
con ϵα = .
−1 si sale
Luego, se establecen las siguientes actividades a realizar:
1. lectura del protocolo #24,1 con el objetivo de realizar un ejercicio de reflexión al respecto (preguntas,
aclaraciones y demás) y
2. la realización de otra deducción de la ecuación 1 empleando: ecuaciones iguales, soluciones iguales.
1. Preguntas y reflexiones respecto a la lectura
De la lectura queda la inquietud de cuáles son las consideraciones que llevan a que se llegue a la ecuación
6 del protocolo (ec. 3) entre las que se encuentra la acreción isotrópica y que las interacciones internas son
débiles.
d⃗u
F⃗m = m (3)
dt
Con el fin de responder a esta inquietud el profesor recurre a un ejemplo de una bala de cañón que está en
pleno vuelo. La bala, al no ser un objeto puntual (una partı́cula) atravieza la fontera del locus por partes
como se puede apreciar en la figura 1. Ahora bien, al ser un solo objeto, la totalidad de la bala se mueve con
una velocidad ⃗u por lo que esta no puede ser la causante del cambio del momentum del sistema fuera del
locus, por lo tanto es el cambio de masa el responsable de esto como sigue:
⃗uMA + ⃗udm = (M + dm) ⃗u . (4)
1
, 2
Entonces, el cambio en el momentum de la bala fuera del sistema es debida a la “absorción de masa” y no
debido a un cambio de velocidad de la misma1 .
t
t t
Figura 1: Representación gráfica de una bala de cañón alejándose de este después de haber sido disparada.
En rojo se encuentra la frontera del locus y se pretende mostrar cómo la bala la atraviesa representando tres
momentos t1 , t2 y t3 .
Por otro lado, tenemos el asunto de las fuerzas internas que no se hacen presentes en la ecuación 3,
se hace la aclaración de que éstas existan pero que son excluidas debido a que no representan un factor
significativo en el comportamiento del objeto (la bala). Por ejemplo, se sabe que entre el cañón y la bala hay
interacción gravitacional, pero su magnitud en comparación con la interacción gravitacional bala-tierra (que
es una fuerza externa) será despreciable.
1 La absorción de masa se refiere a que en el lapso desde t a t la bala pasa de estar parcialmente afuera (en t ) a estar
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completamente afuera (en t3 ).
